Theorem metxptval 7770

Description: One case of the value of the distance function of the direct product of two metric spaces. Based on Definition 14-1.5 of [Gleason] p. 225.

Hypotheses

Ref	Expression
metxp.1	|- X = dom dom B
metxp.3	|- Y = dom dom C
metxp.5	|- B e. Met
metxp.6	|- C e. Met
metxp.7	|- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (X X. Y) /\ y e. (X X. Y)) /\ z = sup({((1st` x)B(1st` y)), ((2nd` x)C(2nd` y))}, RR, < ))}
metxpval.8	|- F = (1st` R)
metxpval.9	|- G = (2nd` R)
metxpval.10	|- H = (1st` S)
metxpval.11	|- J = (2nd` S)

Assertion

Ref	Expression
metxptval	|- (((R e. (X X. Y) /\ S e. (X X. Y)) /\ (GCJ) <_ (FBH)) -> (RDS) = (FBH))

Distinct variable groups:   x,y,z,B   x,C,y,z   x,R,y,z   x,S,y,z   x,X,y,z   x,Y,y,z   x,F,y,z   x,G,y,z   y,H,z   y,J,z

Proof of Theorem metxptval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloet 5491	. . . 4 |- (((GCJ) e. RR /\ (FBH) e. RR) -> ((GCJ) <_ (FBH) <-> ((GCJ) < (FBH) \/ (GCJ) = (FBH))))
2		metxp.6	. . . . 5 |- C e. Met
3		metxp.3	. . . . 5 |- Y = dom dom C
4		metxpval.9	. . . . 5 |- G = (2nd` R)
5		metxpval.11	. . . . 5 |- J = (2nd` S)
6	2, 3, 4, 5	metxplem2 7767	. . . 4 |- ((R e. (X X. Y) /\ S e. (X X. Y)) -> (GCJ) e. RR)
7		metxp.5	. . . . 5 |- B e. Met
8		metxp.1	. . . . 5 |- X = dom dom B
9		metxpval.8	. . . . 5 |- F = (1st` R)
10		metxpval.10	. . . . 5 |- H = (1st` S)
11	7, 8, 9, 10	metxplem1 7766	. . . 4 |- ((R e. (X X. Y) /\ S e. (X X. Y)) -> (FBH) e. RR)
12	1, 6, 11	sylanc 471	. . 3 |- ((R e. (X X. Y) /\ S e. (X X. Y)) -> ((GCJ) <_ (FBH) <-> ((GCJ) < (FBH) \/ (GCJ) = (FBH))))
13	12	biimpa 416	. 2 |- (((R e. (X X. Y) /\ S e. (X X. Y)) /\ (GCJ) <_ (FBH)) -> ((GCJ) < (FBH) \/ (GCJ) = (FBH)))
14		metxp.7	. . . 4 |- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (X X. Y) /\ y e. (X X. Y)) /\ z = sup({((1st` x)B(1st` y)), ((2nd` x)C(2nd` y))}, RR, < ))}
15	8, 3, 7, 2, 14, 9, 4, 10, 5	metxpdval 7769	. . 3 |- ((R e. (X X. Y) /\ S e. (X X. Y)) -> (RDS) = if((GCJ) < (FBH), (FBH), (GCJ)))
16		iftrue 2356	. . . 4 |- ((GCJ) < (FBH) -> if((GCJ) < (FBH), (FBH), (GCJ)) = (FBH))
17		ifeq2 2355	. . . . 5 |- ((GCJ) = (FBH) -> if((GCJ) < (FBH), (FBH), (GCJ)) = if((GCJ) < (FBH), (FBH), (FBH)))
18		ifid 2366	. . . . 5 |- if((GCJ) < (FBH), (FBH), (FBH)) = (FBH)
19	17, 18	syl6eq 1515	. . . 4 |- ((GCJ) = (FBH) -> if((GCJ) < (FBH), (FBH), (GCJ)) = (FBH))
20	16, 19	jaoi 341	. . 3 |- (((GCJ) < (FBH) \/ (GCJ) = (FBH)) -> if((GCJ) < (FBH), (FBH), (GCJ)) = (FBH))
21	15, 20	sylan9eq 1519	. 2 |- (((R e. (X X. Y) /\ S e. (X X. Y)) /\ ((GCJ) < (FBH) \/ (GCJ) = (FBH))) -> (RDS) = (FBH))
22	13, 21	syldan 467	1 |- (((R e. (X X. Y) /\ S e. (X X. Y)) /\ (GCJ) <_ (FBH)) -> (RDS) = (FBH))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  ifcif 2351  {cpr 2400   class class class wbr 2609   X. cxp 3158  dom cdm 3160  ` cfv 3172  (class class class)co 3948  {copab2 3949  1stc1st 4061  2ndc2nd 4062  supcsup 4547  RRcr 5205   <_ cle 5267   < clt 5458  Metcme 7728

This theorem is referenced by:  metxpcl 7772  metxplem4 7773  xplmi 7907

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-sup 4548  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-ltp 5062  df-enr 5138  df-nr 5139  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-c 5212  df-r 5216  df-lt 5219  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-met 7732

Copyright terms: Public domain