MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvec Structured version   Unicode version

Theorem minvec 19329
Description: Minimizing vector theorem, or the Hilbert projection theorem. There is exactly one vector in a complete subspace  W that minimizes the distance to an arbitrary vector  A in a parent inner product space. Theorem 3.3-1 of [Kreyszig] p. 144, specialized to subspaces instead of convex subsets. (Contributed by NM, 11-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
Assertion
Ref Expression
minvec  |-  ( ph  ->  E! x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x, A, y    x, N, y    ph, x, y    x, U, y    x, X, y   
x, Y, y

Proof of Theorem minvec
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.x . 2  |-  X  =  ( Base `  U
)
2 minvec.m . 2  |-  .-  =  ( -g `  U )
3 minvec.n . 2  |-  N  =  ( norm `  U
)
4 minvec.u . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
5 minvec.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
6 minvec.w . 2  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
7 minvec.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
8 eqid 2435 . 2  |-  ( TopOpen `  U )  =  (
TopOpen `  U )
9 oveq2 6081 . . . . 5  |-  ( j  =  y  ->  ( A  .-  j )  =  ( A  .-  y
) )
109fveq2d 5724 . . . 4  |-  ( j  =  y  ->  ( N `  ( A  .-  j ) )  =  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
1110cbvmptv 4292 . . 3  |-  ( j  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  j ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
1211rneqi 5088 . 2  |-  ran  (
j  e.  Y  |->  ( N `  ( A 
.-  j ) ) )  =  ran  (
y  e.  Y  |->  ( N `  ( A 
.-  y ) ) )
13 eqid 2435 . 2  |-  sup ( ran  ( j  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  j ) ) ) ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( ran  ( j  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  j ) ) ) ,  RR ,  `'  <  )
14 eqid 2435 . 2  |-  ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) )  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 14minveclem7 19328 1  |-  ( ph  ->  E! x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E!wreu 2699   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   ran crn 4871    |` cres 4872   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   supcsup 7437   RRcr 8981    < clt 9112    <_ cle 9113   Basecbs 13461   ↾s cress 13462   distcds 13530   TopOpenctopn 13641   -gcsg 14680   LSubSpclss 16000   normcnm 18616   CPreHilccph 19121  CMetSpccms 19277
This theorem is referenced by:  pjthlem2  19331
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-tpos 6471  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-oppr 15720  df-dvdsr 15738  df-unit 15739  df-invr 15769  df-dvr 15780  df-rnghom 15811  df-drng 15829  df-subrg 15858  df-staf 15925  df-srng 15926  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lmhm 16090  df-lvec 16167  df-sra 16236  df-rgmod 16237  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-phl 16849  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-haus 17371  df-fil 17870  df-flim 17963  df-xms 18342  df-ms 18343  df-nm 18622  df-ngp 18623  df-nlm 18626  df-clm 19080  df-cph 19123  df-cfil 19200  df-cmet 19202  df-cms 19280
  Copyright terms: Public domain W3C validator