MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvec Unicode version

Theorem minvec 18748
Description: Minimizing vector theorem, or the Hilbert projection theorem. There is exactly one vector in a complete subspace  W that minimizes the distance to an arbitrary vector  A in a parent inner product space. Theorem 3.3-1 of [Kreyszig] p. 144, specialized to subspaces instead of convex subsets. (Contributed by NM, 11-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
Assertion
Ref Expression
minvec  |-  ( ph  ->  E! x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x, A, y    x, N, y    ph, x, y    x, U, y    x, X, y   
x, Y, y

Proof of Theorem minvec
StepHypRef Expression
1 minvec.x . 2  |-  X  =  ( Base `  U
)
2 minvec.m . 2  |-  .-  =  ( -g `  U )
3 minvec.n . 2  |-  N  =  ( norm `  U
)
4 minvec.u . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
5 minvec.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
6 minvec.w . 2  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
7 minvec.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
8 eqid 2256 . 2  |-  ( TopOpen `  U )  =  (
TopOpen `  U )
9 oveq2 5786 . . . . 5  |-  ( j  =  y  ->  ( A  .-  j )  =  ( A  .-  y
) )
109fveq2d 5448 . . . 4  |-  ( j  =  y  ->  ( N `  ( A  .-  j ) )  =  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
1110cbvmptv 4071 . . 3  |-  ( j  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  j ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
1211rneqi 4879 . 2  |-  ran  ( 
j  e.  Y  |->  ( N `  ( A 
.-  j ) ) )  =  ran  ( 
y  e.  Y  |->  ( N `  ( A 
.-  y ) ) )
13 eqid 2256 . 2  |-  sup ( ran  (  j  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  j ) ) ) ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( ran  ( 
j  e.  Y  |->  ( N `  ( A 
.-  j ) ) ) ,  RR ,  `'  <  )
14 eqid 2256 . 2  |-  ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) )  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 14minveclem7 18747 1  |-  ( ph  ->  E! x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2516   E!wreu 2518   class class class wbr 3983    e. cmpt 4037    X. cxp 4645   `'ccnv 4646   ran crn 4648    |` cres 4649   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   supcsup 7147   RRcr 8690    < clt 8821    <_ cle 8822   Basecbs 13096   ↾s cress 13097   distcds 13165   TopOpenctopn 13274   -gcsg 14313   LSubSpclss 15637   normcnm 18047   CPreHilccph 18550  CMetSpccms 18702
This theorem is referenced by:  pjthlem2  18750
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769  ax-addf 8770  ax-mulf 8771
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-iin 3868  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-tpos 6154  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-oadd 6437  df-er 6614  df-map 6728  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-fi 7119  df-sup 7148  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-4 9760  df-5 9761  df-6 9762  df-7 9763  df-8 9764  df-9 9765  df-10 9766  df-n0 9919  df-z 9978  df-dec 10078  df-uz 10184  df-q 10270  df-rp 10308  df-xneg 10405  df-xadd 10406  df-xmul 10407  df-ico 10614  df-icc 10615  df-fz 10735  df-seq 10999  df-exp 11057  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-struct 13098  df-ndx 13099  df-slot 13100  df-base 13101  df-sets 13102  df-ress 13103  df-plusg 13169  df-mulr 13170  df-starv 13171  df-sca 13172  df-vsca 13173  df-tset 13175  df-ple 13176  df-ds 13178  df-rest 13275  df-topgen 13292  df-0g 13352  df-mnd 14315  df-mhm 14363  df-grp 14437  df-minusg 14438  df-sbg 14439  df-mulg 14440  df-subg 14566  df-ghm 14629  df-cmn 15039  df-abl 15040  df-mgp 15274  df-ring 15288  df-cring 15289  df-ur 15290  df-oppr 15353  df-dvdsr 15371  df-unit 15372  df-invr 15402  df-dvr 15413  df-rnghom 15444  df-drng 15462  df-subrg 15491  df-staf 15558  df-srng 15559  df-lmod 15577  df-lss 15638  df-lmhm 15727  df-lvec 15804  df-sra 15873  df-rgmod 15874  df-xmet 16321  df-met 16322  df-bl 16323  df-mopn 16324  df-cnfld 16326  df-phl 16478  df-top 16584  df-bases 16586  df-topon 16587  df-topsp 16588  df-cld 16704  df-ntr 16705  df-cls 16706  df-nei 16783  df-haus 16991  df-fbas 17468  df-fg 17469  df-fil 17489  df-flim 17582  df-xms 17833  df-ms 17834  df-nm 18053  df-ngp 18054  df-nlm 18057  df-clm 18509  df-cph 18552  df-cfil 18629  df-cmet 18631  df-cms 18705
  Copyright terms: Public domain W3C validator