MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minvec Unicode version

Theorem minvec 18794
Description: Minimizing vector theorem, or the Hilbert projection theorem. There is exactly one vector in a complete subspace  W that minimizes the distance to an arbitrary vector  A in a parent inner product space. Theorem 3.3-1 of [Kreyszig] p. 144, specialized to subspaces instead of convex subsets. (Contributed by NM, 11-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
Assertion
Ref Expression
minvec  |-  ( ph  ->  E! x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,  .-    x, A, y    x, N, y    ph, x, y    x, U, y    x, X, y   
x, Y, y
Dummy variable  j is distinct from all other variables.

Proof of Theorem minvec
StepHypRef Expression
1 minvec.x . 2  |-  X  =  ( Base `  U
)
2 minvec.m . 2  |-  .-  =  ( -g `  U )
3 minvec.n . 2  |-  N  =  ( norm `  U
)
4 minvec.u . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
5 minvec.y . 2  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
6 minvec.w . 2  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
7 minvec.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
8 eqid 2284 . 2  |-  ( TopOpen `  U )  =  (
TopOpen `  U )
9 oveq2 5827 . . . . 5  |-  ( j  =  y  ->  ( A  .-  j )  =  ( A  .-  y
) )
109fveq2d 5489 . . . 4  |-  ( j  =  y  ->  ( N `  ( A  .-  j ) )  =  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
1110cbvmptv 4112 . . 3  |-  ( j  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  j ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
1211rneqi 4904 . 2  |-  ran  ( 
j  e.  Y  |->  ( N `  ( A 
.-  j ) ) )  =  ran  ( 
y  e.  Y  |->  ( N `  ( A 
.-  y ) ) )
13 eqid 2284 . 2  |-  sup ( ran  (  j  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  j ) ) ) ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( ran  ( 
j  e.  Y  |->  ( N `  ( A 
.-  j ) ) ) ,  RR ,  `'  <  )
14 eqid 2284 . 2  |-  ( (
dist `  U )  |`  ( X  X.  X
) )  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 13, 14minveclem7 18793 1  |-  ( ph  ->  E! x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A 
.-  x ) )  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2544   E!wreu 2546   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078    X. cxp 4686   `'ccnv 4687   ran crn 4689    |` cres 4690   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   supcsup 7188   RRcr 8731    < clt 8862    <_ cle 8863   Basecbs 13142   ↾s cress 13143   distcds 13211   TopOpenctopn 13320   -gcsg 14359   LSubSpclss 15683   normcnm 18093   CPreHilccph 18596  CMetSpccms 18748
This theorem is referenced by:  pjthlem2  18796
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7337  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-tpos 6195  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6655  df-map 6769  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-fin 6862  df-fi 7160  df-sup 7189  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-5 9802  df-6 9803  df-7 9804  df-8 9805  df-9 9806  df-10 9807  df-n0 9961  df-z 10020  df-dec 10120  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-ico 10656  df-icc 10657  df-fz 10777  df-seq 11041  df-exp 11099  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-struct 13144  df-ndx 13145  df-slot 13146  df-base 13147  df-sets 13148  df-ress 13149  df-plusg 13215  df-mulr 13216  df-starv 13217  df-sca 13218  df-vsca 13219  df-tset 13221  df-ple 13222  df-ds 13224  df-rest 13321  df-topgen 13338  df-0g 13398  df-mnd 14361  df-mhm 14409  df-grp 14483  df-minusg 14484  df-sbg 14485  df-mulg 14486  df-subg 14612  df-ghm 14675  df-cmn 15085  df-abl 15086  df-mgp 15320  df-rng 15334  df-cring 15335  df-ur 15336  df-oppr 15399  df-dvdsr 15417  df-unit 15418  df-invr 15448  df-dvr 15459  df-rnghom 15490  df-drng 15508  df-subrg 15537  df-staf 15604  df-srng 15605  df-lmod 15623  df-lss 15684  df-lmhm 15773  df-lvec 15850  df-sra 15919  df-rgmod 15920  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-cnfld 16372  df-phl 16524  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-topsp 16634  df-cld 16750  df-ntr 16751  df-cls 16752  df-nei 16829  df-haus 17037  df-fbas 17514  df-fg 17515  df-fil 17535  df-flim 17628  df-xms 17879  df-ms 17880  df-nm 18099  df-ngp 18100  df-nlm 18103  df-clm 18555  df-cph 18598  df-cfil 18675  df-cmet 18677  df-cms 18751
  Copyright terms: Public domain W3C validator