Theorem minveccl 8568

Description: The minimizing vector of minveceu 8567 belongs to the subspace Y.

Hypotheses

Ref	Expression
minvec.x	|- X = (Base` U)
minvec.m	|- M = (-v` U)
minvec.n	|- N = (norm` U)
minvec.y	|- Y = (Base` W)
minvec.1	|- R = {x | E.y e. Y x = -u(N` (AMy))}
minvec.2	|- P = -usup(R, RR, < )
minvec.u	|- U e. CPreHil
minvec.w	|- W e. ((SubSp` U) i^i CBan)
minvec.a	|- A e. X
minveccl.q	|- Q = U.{b e. Y | (N` (AMb)) = P}

Assertion

Ref	Expression
minveccl	|- Q e. Y

Distinct variable groups:   x,b,y,A   M,b,x,y   N,b,x,y   P,b   R,b   x,U,y   W,b,x,y   Y,b,x,y

Proof of Theorem minveccl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minveccl.q	. 2 |- Q = U.{b e. Y | (N` (AMb)) = P}
2		minvec.x	. . . 4 |- X = (Base` U)
3		minvec.m	. . . 4 |- M = (-v` U)
4		minvec.n	. . . 4 |- N = (norm` U)
5		minvec.y	. . . 4 |- Y = (Base` W)
6		minvec.1	. . . 4 |- R = {x | E.y e. Y x = -u(N` (AMy))}
7		minvec.2	. . . 4 |- P = -usup(R, RR, < )
8		minvec.u	. . . 4 |- U e. CPreHil
9		minvec.w	. . . 4 |- W e. ((SubSp` U) i^i CBan)
10		minvec.a	. . . 4 |- A e. X
11	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	minveceu 8567	. . 3 |- E!b e. Y (N` (AMb)) = P
12		reucl 2882	. . 3 |- (E!b e. Y (N` (AMb)) = P -> U.{b e. Y | (N` (AMb)) = P} e. Y)
13	11, 12	ax-mp 7	. 2 |- U.{b e. Y | (N` (AMb)) = P} e. Y
14	1, 13	eqeltr 1543	1 |- Q e. Y

Syntax hints:   = wceq 955   e. wcel 957  {cab 1463  E.wrex 1645  E!wreu 1646  {crab 1647   i^i cin 2044  U.cuni 2500  ` cfv 3179  (class class class)co 3960  supcsup 4560  RRcr 5220  -ucneg 5280   < clt 5473  Basecba 8190  -vcnsb 8193  normcnm 8194  SubSpcss 8366  CPreHilcphl 8455  CBancbn 8506

This theorem is referenced by:  minvecdist 8569  minveclem39 8571

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-reg 4580  ax-inf2 4612  ax-ac 4731

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-iin 2566  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-sup 4561  df-r1 4630  df-rank 4631  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-div 5686  df-n 5887  df-2 5931  df-3 5932  df-4 5933  df-n0 6061  df-z 6097  df-q 6211  df-rp 6236  df-seq1 6263  df-uz 6368  df-exp 6519  df-sqr 6621  df-re 6703  df-im 6704  df-cj 6705  df-abs 6706  df-clim 6943  df-met 7772  df-lm 7905  df-cau 7906  df-cmet 7907  df-grp 8020  df-gid 8021  df-ginv 8022  df-gdiv 8023  df-abl 8084  df-vc 8150  df-nv 8196  df-va 8199  df-ba 8200  df-sm 8201  df-0v 8202  df-vs 8203  df-nm 8204  df-ims 8205  df-ssp 8367  df-ph 8456  df-bn 8507

Copyright terms: Public domain