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Theorem minveclem1 18784
Description: Lemma for minvec 18796. The set of all distances from points of  Y to  A are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem1  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
Distinct variable groups:    y, w,  .-    w, A, y    w, J, y    w, N, y    ph, w, y    w, R, y    w, U, y   
w, X, y    w, Y, y

Proof of Theorem minveclem1
StepHypRef Expression
1 minvec.r . . 3  |-  R  =  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
2 minvec.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
3 cphngp 18605 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. NrmGrp )
42, 3syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e. NrmGrp )
54adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  U  e. NrmGrp )
6 cphlmod 18606 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e.  LMod )
72, 6syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
87adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  U  e.  LMod )
9 minvec.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
109adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  X )
11 minvec.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
12 minvec.x . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( Base `  U
)
13 eqid 2284 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
1412, 13lssss 15690 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
1511, 14syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
1615sselda 3181 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
17 minvec.m . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  U )
1812, 17lmodvsubcl 15666 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A  .-  y )  e.  X )
198, 10, 16, 18syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A  .-  y )  e.  X )
20 minvec.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( norm `  U
)
2112, 20nmcl 18133 . . . . . 6  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  y )  e.  X )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  e.  RR )
225, 19, 21syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  e.  RR )
23 eqid 2284 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
2422, 23fmptd 5646 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) : Y --> RR )
25 frn 5361 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A 
.-  y ) ) ) : Y --> RR  ->  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  C_  RR )
2624, 25syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  C_  RR )
271, 26syl5eqss 3223 . 2  |-  ( ph  ->  R  C_  RR )
2813lssn0 15694 . . . 4  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  =/=  (/) )
2911, 28syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  =/=  (/) )
301eqeq1i 2291 . . . . 5  |-  ( R  =  (/)  <->  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  =  (/) )
31 dm0rn0 4894 . . . . 5  |-  (  dom  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  =  (/)  <->  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) )  =  (/) )
32 fvex 5500 . . . . . . 7  |-  ( N `
 ( A  .-  y ) )  e. 
_V
3332, 23dmmpti 5339 . . . . . 6  |-  dom  ( 
y  e.  Y  |->  ( N `  ( A 
.-  y ) ) )  =  Y
3433eqeq1i 2291 . . . . 5  |-  (  dom  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  =  (/)  <->  Y  =  (/) )
3530, 31, 343bitr2i 264 . . . 4  |-  ( R  =  (/)  <->  Y  =  (/) )
3635necon3bii 2479 . . 3  |-  ( R  =/=  (/)  <->  Y  =/=  (/) )
3729, 36sylibr 203 . 2  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
3812, 20nmge0 18134 . . . . . 6  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  y )  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
395, 19, 38syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
4039ralrimiva 2627 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y 
0  <_  ( N `  ( A  .-  y
) ) )
4132rgenw 2611 . . . . 5  |-  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  y
) )  e.  _V
42 breq2 4028 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( N `  ( A  .-  y ) )  ->  ( 0  <_  w  <->  0  <_  ( N `  ( A 
.-  y ) ) ) )
4323, 42ralrnmpt 5631 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  y ) )  e. 
_V  ->  ( A. w  e.  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) 0  <_  w 
<-> 
A. y  e.  Y 
0  <_  ( N `  ( A  .-  y
) ) ) )
4441, 43ax-mp 8 . . . 4  |-  ( A. w  e.  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) ) 0  <_  w  <->  A. y  e.  Y  0  <_  ( N `  ( A 
.-  y ) ) )
4540, 44sylibr 203 . . 3  |-  ( ph  ->  A. w  e.  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) 0  <_  w
)
461raleqi 2741 . . 3  |-  ( A. w  e.  R  0  <_  w  <->  A. w  e.  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) 0  <_  w
)
4745, 46sylibr 203 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
4827, 37, 473jca 1132 1  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1685    =/= wne 2447   A.wral 2544   _Vcvv 2789    C_ wss 3153   (/)c0 3456   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078    dom cdm 4688   ran crn 4689   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   RRcr 8732   0cc0 8733    <_ cle 8864   Basecbs 13144   ↾s cress 13145   TopOpenctopn 13322   -gcsg 14361   LModclmod 15623   LSubSpclss 15685   normcnm 18095  NrmGrpcngp 18096   CPreHilccph 18598  CMetSpccms 18750
This theorem is referenced by:  minveclem4c  18785  minveclem2  18786  minveclem3b  18788  minveclem4  18792  minveclem6  18794
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-map 6770  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-sup 7190  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-q 10313  df-rp 10351  df-xneg 10448  df-xadd 10449  df-xmul 10450  df-topgen 13340  df-0g 13400  df-mnd 14363  df-grp 14485  df-minusg 14486  df-sbg 14487  df-lmod 15625  df-lss 15686  df-xmet 16369  df-met 16370  df-bl 16371  df-mopn 16372  df-top 16632  df-bases 16634  df-topon 16635  df-topsp 16636  df-xms 17881  df-ms 17882  df-nm 18101  df-ngp 18102  df-nlm 18105  df-cph 18600
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