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Theorem minveclem1 18790
Description: Lemma for minvec 18802. The set of all distances from points of  Y to  A are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem1  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
Distinct variable groups:    y, w,  .-    w, A, y    w, J, y    w, N, y    ph, w, y    w, R, y    w, U, y   
w, X, y    w, Y, y

Proof of Theorem minveclem1
StepHypRef Expression
1 minvec.r . . 3  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
2 minvec.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
3 cphngp 18611 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. NrmGrp )
42, 3syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e. NrmGrp )
54adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  U  e. NrmGrp )
6 cphlmod 18612 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e.  LMod )
72, 6syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
87adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  U  e.  LMod )
9 minvec.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
109adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  X )
11 minvec.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
12 minvec.x . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( Base `  U
)
13 eqid 2285 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
1412, 13lssss 15696 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
1511, 14syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
1615sselda 3182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
17 minvec.m . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  U )
1812, 17lmodvsubcl 15672 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A  .-  y )  e.  X )
198, 10, 16, 18syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A  .-  y )  e.  X )
20 minvec.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( norm `  U
)
2112, 20nmcl 18139 . . . . . 6  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  y )  e.  X )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  e.  RR )
225, 19, 21syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  e.  RR )
23 eqid 2285 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
2422, 23fmptd 5686 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) : Y --> RR )
25 frn 5397 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A 
.-  y ) ) ) : Y --> RR  ->  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  C_  RR )
2624, 25syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  C_  RR )
271, 26syl5eqss 3224 . 2  |-  ( ph  ->  R  C_  RR )
2813lssn0 15700 . . . 4  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  =/=  (/) )
2911, 28syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  =/=  (/) )
301eqeq1i 2292 . . . . 5  |-  ( R  =  (/)  <->  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  =  (/) )
31 dm0rn0 4897 . . . . 5  |-  ( dom  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  =  (/)  <->  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) )  =  (/) )
32 fvex 5541 . . . . . . 7  |-  ( N `
 ( A  .-  y ) )  e. 
_V
3332, 23dmmpti 5375 . . . . . 6  |-  dom  (
y  e.  Y  |->  ( N `  ( A 
.-  y ) ) )  =  Y
3433eqeq1i 2292 . . . . 5  |-  ( dom  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  =  (/)  <->  Y  =  (/) )
3530, 31, 343bitr2i 264 . . . 4  |-  ( R  =  (/)  <->  Y  =  (/) )
3635necon3bii 2480 . . 3  |-  ( R  =/=  (/)  <->  Y  =/=  (/) )
3729, 36sylibr 203 . 2  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
3812, 20nmge0 18140 . . . . . 6  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  y )  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
395, 19, 38syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
4039ralrimiva 2628 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y 
0  <_  ( N `  ( A  .-  y
) ) )
4132rgenw 2612 . . . . 5  |-  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  y
) )  e.  _V
42 breq2 4029 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( N `  ( A  .-  y ) )  ->  ( 0  <_  w  <->  0  <_  ( N `  ( A 
.-  y ) ) ) )
4323, 42ralrnmpt 5671 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  y ) )  e. 
_V  ->  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) 0  <_  w 
<-> 
A. y  e.  Y 
0  <_  ( N `  ( A  .-  y
) ) ) )
4441, 43ax-mp 8 . . . 4  |-  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) ) 0  <_  w  <->  A. y  e.  Y  0  <_  ( N `  ( A 
.-  y ) ) )
4540, 44sylibr 203 . . 3  |-  ( ph  ->  A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) 0  <_  w
)
461raleqi 2742 . . 3  |-  ( A. w  e.  R  0  <_  w  <->  A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) 0  <_  w
)
4745, 46sylibr 203 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
4827, 37, 473jca 1132 1  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   A.wral 2545   _Vcvv 2790    C_ wss 3154   (/)c0 3457   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   dom cdm 4691   ran crn 4692   -->wf 5253   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   RRcr 8738   0cc0 8739    <_ cle 8870   Basecbs 13150   ↾s cress 13151   TopOpenctopn 13328   -gcsg 14367   LModclmod 15629   LSubSpclss 15691   normcnm 18101  NrmGrpcngp 18102   CPreHilccph 18604  CMetSpccms 18756
This theorem is referenced by:  minveclem4c  18791  minveclem2  18792  minveclem3b  18794  minveclem4  18798  minveclem6  18800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-topgen 13346  df-0g 13406  df-mnd 14369  df-grp 14491  df-minusg 14492  df-sbg 14493  df-lmod 15631  df-lss 15692  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-xms 17887  df-ms 17888  df-nm 18107  df-ngp 18108  df-nlm 18111  df-cph 18606
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