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Theorem minveclem1 19330
Description: Lemma for minvec 19342. The set of all distances from points of  Y to  A are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem1  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
Distinct variable groups:    y, w,  .-    w, A, y    w, J, y    w, N, y    ph, w, y    w, R, y    w, U, y   
w, X, y    w, Y, y

Proof of Theorem minveclem1
StepHypRef Expression
1 minvec.r . . 3  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
2 minvec.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
3 cphngp 19141 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. NrmGrp )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e. NrmGrp )
54adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  U  e. NrmGrp )
6 cphlmod 19142 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e.  LMod )
72, 6syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
87adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  U  e.  LMod )
9 minvec.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
109adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  X )
11 minvec.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
12 minvec.x . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( Base `  U
)
13 eqid 2438 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
1412, 13lssss 16018 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
1511, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
1615sselda 3350 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
17 minvec.m . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  U )
1812, 17lmodvsubcl 15994 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A  .-  y )  e.  X )
198, 10, 16, 18syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A  .-  y )  e.  X )
20 minvec.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( norm `  U
)
2112, 20nmcl 18667 . . . . . 6  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  y )  e.  X )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  e.  RR )
225, 19, 21syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  e.  RR )
23 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
2422, 23fmptd 5896 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) : Y --> RR )
25 frn 5600 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A 
.-  y ) ) ) : Y --> RR  ->  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  C_  RR )
2624, 25syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  C_  RR )
271, 26syl5eqss 3394 . 2  |-  ( ph  ->  R  C_  RR )
2813lssn0 16022 . . . 4  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  =/=  (/) )
2911, 28syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  =/=  (/) )
301eqeq1i 2445 . . . . 5  |-  ( R  =  (/)  <->  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  =  (/) )
31 dm0rn0 5089 . . . . 5  |-  ( dom  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  =  (/)  <->  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) )  =  (/) )
32 fvex 5745 . . . . . . 7  |-  ( N `
 ( A  .-  y ) )  e. 
_V
3332, 23dmmpti 5577 . . . . . 6  |-  dom  (
y  e.  Y  |->  ( N `  ( A 
.-  y ) ) )  =  Y
3433eqeq1i 2445 . . . . 5  |-  ( dom  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  =  (/)  <->  Y  =  (/) )
3530, 31, 343bitr2i 266 . . . 4  |-  ( R  =  (/)  <->  Y  =  (/) )
3635necon3bii 2635 . . 3  |-  ( R  =/=  (/)  <->  Y  =/=  (/) )
3729, 36sylibr 205 . 2  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
3812, 20nmge0 18668 . . . . . 6  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  y )  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
395, 19, 38syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
4039ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y 
0  <_  ( N `  ( A  .-  y
) ) )
4132rgenw 2775 . . . . 5  |-  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  y
) )  e.  _V
42 breq2 4219 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( N `  ( A  .-  y ) )  ->  ( 0  <_  w  <->  0  <_  ( N `  ( A 
.-  y ) ) ) )
4323, 42ralrnmpt 5881 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  y ) )  e. 
_V  ->  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) 0  <_  w 
<-> 
A. y  e.  Y 
0  <_  ( N `  ( A  .-  y
) ) ) )
4441, 43ax-mp 5 . . . 4  |-  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) ) 0  <_  w  <->  A. y  e.  Y  0  <_  ( N `  ( A 
.-  y ) ) )
4540, 44sylibr 205 . . 3  |-  ( ph  ->  A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) 0  <_  w
)
461raleqi 2910 . . 3  |-  ( A. w  e.  R  0  <_  w  <->  A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) 0  <_  w
)
4745, 46sylibr 205 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
4827, 37, 473jca 1135 1  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   _Vcvv 2958    C_ wss 3322   (/)c0 3630   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   dom cdm 4881   ran crn 4882   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   RRcr 8994   0cc0 8995    <_ cle 9126   Basecbs 13474   ↾s cress 13475   TopOpenctopn 13654   -gcsg 14693   LModclmod 15955   LSubSpclss 16013   normcnm 18629  NrmGrpcngp 18630   CPreHilccph 19134  CMetSpccms 19290
This theorem is referenced by:  minveclem4c  19331  minveclem2  19332  minveclem3b  19334  minveclem4  19338  minveclem6  19340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-topgen 13672  df-0g 13732  df-mnd 14695  df-grp 14817  df-minusg 14818  df-sbg 14819  df-lmod 15957  df-lss 16014  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-topsp 16972  df-xms 18355  df-ms 18356  df-nm 18635  df-ngp 18636  df-nlm 18639  df-cph 19136
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