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Theorem minveclem1 18751
Description: Lemma for minvec 18763. The set of all distances from points of  Y to  A are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem1  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
Distinct variable groups:    y, w,  .-    w, A, y    w, J, y    w, N, y    ph, w, y    w, R, y    w, U, y   
w, X, y    w, Y, y

Proof of Theorem minveclem1
StepHypRef Expression
1 minvec.r . . 3  |-  R  =  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
2 minvec.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
3 cphngp 18572 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. NrmGrp )
42, 3syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e. NrmGrp )
54adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  U  e. NrmGrp )
6 cphlmod 18573 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e.  LMod )
72, 6syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  LMod )
87adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  U  e.  LMod )
9 minvec.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
109adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  X )
11 minvec.y . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
12 minvec.x . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( Base `  U
)
13 eqid 2258 . . . . . . . . . 10  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
1412, 13lssss 15657 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
1511, 14syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
1615sselda 3155 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
17 minvec.m . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  U )
1812, 17lmodvsubcl 15633 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A  .-  y )  e.  X )
198, 10, 16, 18syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A  .-  y )  e.  X )
20 minvec.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( norm `  U
)
2112, 20nmcl 18100 . . . . . 6  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  y )  e.  X )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  e.  RR )
225, 19, 21syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A  .-  y ) )  e.  RR )
23 eqid 2258 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
2422, 23fmptd 5618 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) : Y --> RR )
25 frn 5333 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A 
.-  y ) ) ) : Y --> RR  ->  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  C_  RR )
2624, 25syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  C_  RR )
271, 26syl5eqss 3197 . 2  |-  ( ph  ->  R  C_  RR )
2813lssn0 15661 . . . 4  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  =/=  (/) )
2911, 28syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  Y  =/=  (/) )
301eqeq1i 2265 . . . . 5  |-  ( R  =  (/)  <->  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  =  (/) )
31 dm0rn0 4883 . . . . 5  |-  ( dom  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  =  (/)  <->  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) )  =  (/) )
32 fvex 5472 . . . . . . 7  |-  ( N `
 ( A  .-  y ) )  e. 
_V
3332, 23dmmpti 5311 . . . . . 6  |-  dom  ( 
y  e.  Y  |->  ( N `  ( A 
.-  y ) ) )  =  Y
3433eqeq1i 2265 . . . . 5  |-  ( dom  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )  =  (/)  <->  Y  =  (/) )
3530, 31, 343bitr2i 266 . . . 4  |-  ( R  =  (/)  <->  Y  =  (/) )
3635necon3bii 2453 . . 3  |-  ( R  =/=  (/)  <->  Y  =/=  (/) )
3729, 36sylibr 205 . 2  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
3812, 20nmge0 18101 . . . . . 6  |-  ( ( U  e. NrmGrp  /\  ( A  .-  y )  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
395, 19, 38syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
4039ralrimiva 2601 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y 
0  <_  ( N `  ( A  .-  y
) ) )
4132rgenw 2585 . . . . 5  |-  A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  y
) )  e.  _V
42 breq2 4001 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( N `  ( A  .-  y ) )  ->  ( 0  <_  w  <->  0  <_  ( N `  ( A 
.-  y ) ) ) )
4323, 42ralrnmpt 5603 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A  .-  y ) )  e. 
_V  ->  ( A. w  e.  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) 0  <_  w 
<-> 
A. y  e.  Y 
0  <_  ( N `  ( A  .-  y
) ) ) )
4441, 43ax-mp 10 . . . 4  |-  ( A. w  e.  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A  .-  y ) ) ) 0  <_  w  <->  A. y  e.  Y  0  <_  ( N `  ( A 
.-  y ) ) )
4540, 44sylibr 205 . . 3  |-  ( ph  ->  A. w  e.  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) 0  <_  w
)
461raleqi 2715 . . 3  |-  ( A. w  e.  R  0  <_  w  <->  A. w  e.  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) ) 0  <_  w
)
4745, 46sylibr 205 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
4827, 37, 473jca 1137 1  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421   A.wral 2518   _Vcvv 2763    C_ wss 3127   (/)c0 3430   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051   dom cdm 4661   ran crn 4662   -->wf 4669   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   RRcr 8704   0cc0 8705    <_ cle 8836   Basecbs 13111   ↾s cress 13112   TopOpenctopn 13289   -gcsg 14328   LModclmod 15590   LSubSpclss 15652   normcnm 18062  NrmGrpcngp 18063   CPreHilccph 18565  CMetSpccms 18717
This theorem is referenced by:  minveclem4c  18752  minveclem2  18753  minveclem3b  18755  minveclem4  18759  minveclem6  18761
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-sup 7162  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-n0 9934  df-z 9993  df-uz 10199  df-q 10285  df-rp 10323  df-xneg 10420  df-xadd 10421  df-xmul 10422  df-topgen 13307  df-0g 13367  df-mnd 14330  df-grp 14452  df-minusg 14453  df-sbg 14454  df-lmod 15592  df-lss 15653  df-xmet 16336  df-met 16337  df-bl 16338  df-mopn 16339  df-top 16599  df-bases 16601  df-topon 16602  df-topsp 16603  df-xms 17848  df-ms 17849  df-nm 18068  df-ngp 18069  df-nlm 18072  df-cph 18567
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