Theorem minveclem37 8577

Description: Lemma for minveceu 8579.

Hypotheses

Ref	Expression
minvec35.x	|- X = (Base` U)
minvec35.g	|- G = (+v` U)
minvec35.m	|- M = (-v` U)
minvec35.s	|- S = (.s` U)
minvec35.n	|- N = (norm` U)
minvec35.y	|- Y = (Base` W)
minvec35.u	|- U e. CPreHil
minvec35.a	|- A e. X
minvec36.w	|- W e. (SubSp` U)
minvec36.2	|- P = -usup(R, RR, < )
minvec36.1	|- R = {x | E.y e. Y x = -u(N` (AMy))}

Assertion

Ref	Expression
minveclem37	|- ((a e. Y /\ b e. Y) -> P <_ (N` (AM((1 / 2)S(aGb)))))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,G,y   x,M,y   x,N,y   x,S,y   x,U,y   x,W,y   x,Y,y   a,b,x,y

Proof of Theorem minveclem37

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec35.u	. . . . . 6 |- U e. CPreHil
2	1	phnvi 8471	. . . . 5 |- U e. NrmCVec
3		minvec36.w	. . . . 5 |- W e. (SubSp` U)
4		minvec35.y	. . . . . 6 |- Y = (Base` W)
5		minvec35.g	. . . . . 6 |- G = (+v` U)
6		eqid 1478	. . . . . 6 |- (+v` W) = (+v` W)
7		eqid 1478	. . . . . 6 |- (SubSp` U) = (SubSp` U)
8	4, 5, 6, 7	sspgval 8384	. . . . 5 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. (SubSp` U)) /\ (a e. Y /\ b e. Y)) -> (a(+v` W)b) = (aGb))
9	2, 3, 8	mpanl12 710	. . . 4 |- ((a e. Y /\ b e. Y) -> (a(+v` W)b) = (aGb))
10	1, 3	minveclem1 8541	. . . . 5 |- W e. NrmCVec
11	4, 6	nvgcl 8235	. . . . 5 |- ((W e. NrmCVec /\ a e. Y /\ b e. Y) -> (a(+v` W)b) e. Y)
12	10, 11	mp3an1 905	. . . 4 |- ((a e. Y /\ b e. Y) -> (a(+v` W)b) e. Y)
13	9, 12	eqeltrrd 1552	. . 3 |- ((a e. Y /\ b e. Y) -> (aGb) e. Y)
14		2cn 5982	. . . . . 6 |- 2 e. CC
15		2ne0 5992	. . . . . 6 |- 2 =/= 0
16	14, 15	reccl 5725	. . . . 5 |- (1 / 2) e. CC
17		minvec35.s	. . . . . . 7 |- S = (.s` U)
18		eqid 1478	. . . . . . 7 |- (.s` W) = (.s` W)
19	4, 17, 18, 7	sspsval 8386	. . . . . 6 |- (((U e. NrmCVec /\ W e. (SubSp` U)) /\ ((1 / 2) e. CC /\ (aGb) e. Y)) -> ((1 / 2)(.s` W)(aGb)) = ((1 / 2)S(aGb)))
20	2, 3, 19	mpanl12 710	. . . . 5 |- (((1 / 2) e. CC /\ (aGb) e. Y) -> ((1 / 2)(.s` W)(aGb)) = ((1 / 2)S(aGb)))
21	16, 20	mpan 697	. . . 4 |- ((aGb) e. Y -> ((1 / 2)(.s` W)(aGb)) = ((1 / 2)S(aGb)))
22	4, 18	nvscl 8243	. . . . 5 |- ((W e. NrmCVec /\ (1 / 2) e. CC /\ (aGb) e. Y) -> ((1 / 2)(.s` W)(aGb)) e. Y)
23	10, 16, 22	mp3an12 908	. . . 4 |- ((aGb) e. Y -> ((1 / 2)(.s` W)(aGb)) e. Y)
24	21, 23	eqeltrrd 1552	. . 3 |- ((aGb) e. Y -> ((1 / 2)S(aGb)) e. Y)
25	13, 24	syl 10	. 2 |- ((a e. Y /\ b e. Y) -> ((1 / 2)S(aGb)) e. Y)
26		minvec36.1	. . 3 |- R = {x | E.y e. Y x = -u(N` (AMy))}
27		minvec35.m	. . 3 |- M = (-v` U)
28		minvec35.n	. . 3 |- N = (norm` U)
29		minvec35.x	. . 3 |- X = (Base` U)
30		minvec35.a	. . 3 |- A e. X
31		minvec36.2	. . 3 |- P = -usup(R, RR, < )
32	26, 1, 27, 28, 29, 3, 4, 30, 31	minveclem13 8553	. 2 |- (((1 / 2)S(aGb)) e. Y -> P <_ (N` (AM((1 / 2)S(aGb)))))
33	25, 32	syl 10	1 |- ((a e. Y /\ b e. Y) -> P <_ (N` (AM((1 / 2)S(aGb)))))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  {cab 1466  E.wrex 1649   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  supcsup 4582  CCcc 5244  RRcr 5245  1c1 5247  -ucneg 5305   / cdiv 5306   <_ cle 5307   < clt 5498  2c2 5963  NrmCVeccnv 8199  +vcpv 8200  Basecba 8201  .scns 8202  -vcnsb 8204  normcnm 8205  SubSpcss 8376  CPreHilcphl 8467

This theorem is referenced by:  minveclem38 8578

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-2 5972  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-gdiv 8037  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-vs 8214  df-nm 8215  df-ssp 8377  df-ph 8468

Copyright terms: Public domain