HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem minveclem4 8544
Description: Lemma for minvecex 8574.
Hypotheses
Ref Expression
minvec1.u |- U e. CPreHil
minvec1.w1 |- W e. (SubSp` U)
minvec2.y |- Y = (Base` W)
minvec3.x |- X = (Base` U)
Assertion
Ref Expression
minveclem4 |- ((f:NN-->Y /\ n e. NN) -> (f` n) e. X)
Proof of Theorem minveclem4
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 3820 . 2 |- ((f:NN-->Y /\ n e. NN) -> (f` n) e. Y)
2 minvec1.u . . . 4 |- U e. CPreHil
3 minvec1.w1 . . . 4 |- W e. (SubSp` U)
4 minvec2.y . . . 4 |- Y = (Base` W)
5 minvec3.x . . . 4 |- X = (Base` U)
62, 3, 4, 5minveclem3 8543 . . 3 |- Y (_ X
76sseli 2068 . 2 |- ((f` n) e. Y -> (f` n) e. X)
81, 7syl 10 1 |- ((f:NN-->Y /\ n e. NN) -> (f` n) e. X)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  -->wf 3184  ` cfv 3188  NNcn 5308  Basecba 8201  SubSpcss 8376  CPreHilcphl 8467
This theorem is referenced by:  minveclem9 8549  minveclem18 8558  minveclem19 8559  minveclem20 8560  minveclem22 8562  minveclem27 8567  minveclem30 8570  minveclem31 8571
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-rab 1655  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-uni 2508  df-br 2625  df-opab 2672  df-id 2841  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fo 3202  df-fv 3204  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-nm 8215  df-ssp 8377  df-ph 8468
Copyright terms: Public domain