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Theorem minveclem4a 18796
Description: Lemma for minvec 18802. 
F converges to a point 
P in  Y. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
minvec.x  |-  X  =  ( Base `  U
)
minvec.m  |-  .-  =  ( -g `  U )
minvec.n  |-  N  =  ( norm `  U
)
minvec.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
minvec.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
minvec.w  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
minvec.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minvec.j  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
minvec.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
minvec.s  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
minvec.d  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
minvec.f  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
minvec.p  |-  P  = 
U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )
Assertion
Ref Expression
minveclem4a  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y ) )
Distinct variable groups:    y,  .-    y, r, A    J, r,
y    y, P    y, F    y, N    ph, r, y    y, R    y, U    X, r,
y    Y, r, y    D, r, y    S, r, y
Allowed substitution hints:    P( r)    R( r)    U( r)    F( r)    .- ( r)    N( r)

Proof of Theorem minveclem4a
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minvec.p . 2  |-  P  = 
U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )
2 ovex 5885 . . . . 5  |-  ( J 
fLim  ( X filGen F ) )  e.  _V
32uniex 4518 . . . 4  |-  U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )  e.  _V
43snid 3669 . . 3  |-  U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )  e.  { U. ( J  fLim  ( X filGen F ) ) }
5 minvec.u . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil )
6 cphngp 18611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  CPreHil  ->  U  e. NrmGrp )
7 ngpxms 18125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e. NrmGrp  ->  U  e.  * MetSp )
85, 6, 73syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  * MetSp )
9 minvec.j . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( TopOpen `  U )
10 minvec.x . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  ( Base `  U
)
11 minvec.d . . . . . . . . . . . 12  |-  D  =  ( ( dist `  U
)  |`  ( X  X.  X ) )
129, 10, 11xmstopn 17999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  * MetSp  ->  J  =  ( MetOpen `  D
) )
138, 12syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  J  =  ( MetOpen `  D ) )
1413oveq1d 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Jt  Y )  =  ( ( MetOpen `  D )t  Y
) )
1510, 11xmsxmet 18004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  * MetSp  ->  D  e.  ( * Met `  X
) )
168, 15syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  D  e.  ( * Met `  X ) )
17 minvec.y . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( LSubSp `  U ) )
18 eqid 2285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( LSubSp `  U )  =  (
LSubSp `  U )
1910, 18lssss 15696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  ( LSubSp `  U
)  ->  Y  C_  X
)
2017, 19syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
21 eqid 2285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) )  =  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )
22 eqid 2285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
23 eqid 2285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) )
2421, 22, 23metrest 18072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  Y  C_  X
)  ->  ( ( MetOpen
`  D )t  Y )  =  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
2516, 20, 24syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( MetOpen `  D
)t 
Y )  =  (
MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) ) )
2614, 25eqtr2d 2318 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  =  ( Jt  Y ) )
27 minvec.m . . . . . . . . . . . 12  |-  .-  =  ( -g `  U )
28 minvec.n . . . . . . . . . . . 12  |-  N  =  ( norm `  U
)
29 minvec.w . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Us  Y )  e. CMetSp )
30 minvec.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
31 minvec.r . . . . . . . . . . . 12  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A  .-  y ) ) )
32 minvec.s . . . . . . . . . . . 12  |-  S  =  sup ( R ,  RR ,  `'  <  )
33 minvec.f . . . . . . . . . . . 12  |-  F  =  ran  ( r  e.  RR+  |->  { y  e.  Y  |  ( ( A D y ) ^ 2 )  <_ 
( ( S ^
2 )  +  r ) } )
3410, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11, 33minveclem3b 18794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  e.  ( fBas `  Y ) )
35 fgcl 17575 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen F )  e.  ( Fil `  Y ) )
3634, 35syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F )  e.  ( Fil `  Y
) )
37 fvex 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  U )  e.  _V
3810, 37eqeltri 2355 . . . . . . . . . . 11  |-  X  e. 
_V
3938a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
40 trfg 17588 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y filGen F )  e.  ( Fil `  Y
)  /\  Y  C_  X  /\  X  e.  _V )  ->  ( ( X
filGen ( Y filGen F ) )t  Y )  =  ( Y filGen F ) )
4136, 20, 39, 40syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X filGen ( Y filGen F ) )t  Y )  =  ( Y
filGen F ) )
42 fgabs 17576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  Y  C_  X )  ->  ( X filGen ( Y filGen F ) )  =  ( X filGen F ) )
4334, 20, 42syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X filGen ( Y
filGen F ) )  =  ( X filGen F ) )
4443oveq1d 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X filGen ( Y filGen F ) )t  Y )  =  ( ( X filGen F )t  Y ) )
4541, 44eqtr3d 2319 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F )  =  ( ( X
filGen F )t  Y ) )
4626, 45oveq12d 5878 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) 
fLim  ( Y filGen F ) )  =  ( ( Jt  Y )  fLim  (
( X filGen F )t  Y ) ) )
47 xmstps 18001 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  e.  * MetSp  ->  U  e.  TopSp )
488, 47syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  e.  TopSp )
4910, 9istps 16676 . . . . . . . . 9  |-  ( U  e.  TopSp 
<->  J  e.  (TopOn `  X ) )
5048, 49sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
51 fbsspw 17529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( fBas `  Y
)  ->  F  C_  ~P Y )
5234, 51syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  C_  ~P Y
)
53 sspwb 4225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y 
C_  X  <->  ~P Y  C_ 
~P X )
5420, 53sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ~P Y  C_  ~P X )
5552, 54sstrd 3191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  C_  ~P X
)
56 fbasweak 17562 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  Y )  /\  F  C_ 
~P X  /\  X  e.  _V )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
5734, 55, 39, 56syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( fBas `  X ) )
58 fgcl 17575 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X ) )
5957, 58syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
) )
60 filfbas 17545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y filGen F )  e.  ( Fil `  Y
)  ->  ( Y filGen F )  e.  (
fBas `  Y )
)
6134, 35, 603syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  Y
) )
62 fbsspw 17529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  Y
)  ->  ( Y filGen F )  C_  ~P Y )
6361, 62syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F ) 
C_  ~P Y )
6463, 54sstrd 3191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F ) 
C_  ~P X )
65 fbasweak 17562 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  Y
)  /\  ( Y filGen F )  C_  ~P X  /\  X  e.  _V )  ->  ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  X ) )
6661, 64, 39, 65syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  X
) )
67 ssfg 17569 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y filGen F )  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( Y filGen F )  C_  ( X filGen ( Y filGen F ) ) )
6866, 67syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F ) 
C_  ( X filGen ( Y filGen F ) ) )
6968, 43sseqtrd 3216 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F ) 
C_  ( X filGen F ) )
70 filtop 17552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y filGen F )  e.  ( Fil `  Y
)  ->  Y  e.  ( Y filGen F ) )
7136, 70syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( Y
filGen F ) )
7269, 71sseldd 3183 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  ( X
filGen F ) )
73 flimrest 17680 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  ( X filGen F ) )  ->  ( ( Jt  Y )  fLim  ( ( X filGen F )t  Y ) )  =  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y ) )
7450, 59, 72, 73syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  Y ) 
fLim  ( ( X
filGen F )t  Y ) )  =  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y ) )
7546, 74eqtrd 2317 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) 
fLim  ( Y filGen F ) )  =  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y ) )
7610, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11minveclem3a 18793 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
) )
7710, 27, 28, 5, 17, 29, 30, 9, 31, 32, 11, 33minveclem3 18795 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Y filGen F )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )
7823cmetcvg 18713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  |`  ( Y  X.  Y ) )  e.  ( CMet `  Y
)  /\  ( Y filGen F )  e.  (CauFil `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) )  ->  (
( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y
) ) )  fLim  ( Y filGen F ) )  =/=  (/) )
7976, 77, 78syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( MetOpen `  ( D  |`  ( Y  X.  Y ) ) ) 
fLim  ( Y filGen F ) )  =/=  (/) )
8075, 79eqnetrrd 2468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  =/=  (/) )
8180neneqd 2464 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( ( J 
fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y
)  =  (/) )
82 inss1 3391 . . . . . . 7  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y )  C_  ( J  fLim  ( X filGen F ) )
8322methaus 18068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( MetOpen
`  D )  e. 
Haus )
8415, 83syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U  e.  * MetSp  ->  ( MetOpen
`  D )  e. 
Haus )
8512, 84eqeltrd 2359 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  * MetSp  ->  J  e.  Haus )
86 hausflimi 17677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  Haus  ->  E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) )
878, 85, 863syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) )
88 ssn0 3489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  C_  ( J  fLim  ( X
filGen F ) )  /\  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  =/=  (/) )  ->  ( J 
fLim  ( X filGen F ) )  =/=  (/) )
8982, 80, 88sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  =/=  (/) )
90 n0moeu 3469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  =/=  (/)  ->  ( E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  <->  E! x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) ) )
9189, 90syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E* x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  <-> 
E! x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) ) )
9287, 91mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E! x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) )
93 euen1b 6934 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  ~~  1o 
<->  E! x  x  e.  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) )
9492, 93sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  ( X filGen F ) ) 
~~  1o )
95 en1b 6931 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  ~~  1o 
<->  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  =  { U. ( J  fLim  ( X filGen F ) ) } )
9694, 95sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( J  fLim  ( X filGen F ) )  =  { U. ( J  fLim  ( X filGen F ) ) } )
9782, 96syl5sseq 3228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  C_  { U. ( J  fLim  ( X filGen F ) ) } )
98 sssn 3774 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  C_  { U. ( J  fLim  ( X filGen F ) ) }  <->  ( ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y )  =  (/)  \/  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  =  { U. ( J 
fLim  ( X filGen F ) ) } ) )
9997, 98sylib 188 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( J 
fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y
)  =  (/)  \/  (
( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  =  { U. ( J 
fLim  ( X filGen F ) ) } ) )
10099ord 366 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -.  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y )  =  (/)  ->  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  =  { U. ( J 
fLim  ( X filGen F ) ) } ) )
10181, 100mpd 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y )  =  { U. ( J 
fLim  ( X filGen F ) ) } )
1024, 101syl5eleqr 2372 . 2  |-  ( ph  ->  U. ( J  fLim  ( X filGen F ) )  e.  ( ( J 
fLim  ( X filGen F ) )  i^i  Y
) )
1031, 102syl5eqel 2369 1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ( J  fLim  ( X filGen F ) )  i^i 
Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    = wceq 1625    e. wcel 1686   E!weu 2145   E*wmo 2146    =/= wne 2448   {crab 2549   _Vcvv 2790    i^i cin 3153    C_ wss 3154   (/)c0 3457   ~Pcpw 3627   {csn 3642   U.cuni 3829   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079    X. cxp 4689   `'ccnv 4690   ran crn 4692    |` cres 4693   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   1oc1o 6474    ~~ cen 6862   supcsup 7195   RRcr 8738    + caddc 8742    < clt 8869    <_ cle 8870   2c2 9797   RR+crp 10356   ^cexp 11106   Basecbs 13150   ↾s cress 13151   distcds 13219   ↾t crest 13327   TopOpenctopn 13328   -gcsg 14367   LSubSpclss 15691   * Metcxmt 16371   MetOpencmopn 16374  TopOnctopon 16634   TopSpctps 16636   Hauscha 17038   fBascfbas 17520   filGencfg 17521   Filcfil 17542    fLim cflim 17631   *
MetSpcxme 17884   normcnm 18101  NrmGrpcngp 18102   CPreHilccph 18604  CauFilccfil 18680   CMetcms 18682  CMetSpccms 18756
This theorem is referenced by:  minveclem4b  18797  minveclem4  18798
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-tpos 6236  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-seq 11049  df-exp 11107  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-rest 13329  df-topgen 13346  df-0g 13406  df-mnd 14369  df-mhm 14417  df-grp 14491  df-minusg 14492  df-sbg 14493  df-mulg 14494  df-subg 14620  df-ghm 14683  df-cmn 15093  df-abl 15094  df-mgp 15328  df-rng 15342  df-cring 15343  df-ur 15344  df-oppr 15407  df-dvdsr 15425  df-unit 15426  df-invr 15456  df-dvr 15467  df-rnghom 15498  df-drng 15516  df-subrg 15545  df-staf 15612  df-srng 15613  df-lmod 15631  df-lss 15692  df-lmhm 15781  df-lvec 15858  df-sra 15927  df-rgmod 15928  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-phl 16532  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-ntr 16759  df-nei 16837  df-haus 17045  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-flim 17636  df-xms 17887  df-ms 17888  df-nm 18107  df-ngp 18108  df-nlm 18111  df-clm 18563  df-cph 18606  df-cfil 18683  df-cmet 18685  df-cms 18759
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