Theorem minveclem5 8549

Description: Lemma for minvecex 8578.

Hypotheses

Ref	Expression
minvec1.u	|- U e. CPreHil
minvec1.w1	|- W e. (SubSp` U)
minvec2.y	|- Y = (Base` W)
minvec3.x	|- X = (Base` U)
minvec5.m	|- M = (-v` U)
minvec5.n	|- N = (norm` U)
minvec5.a	|- A e. X

Assertion

Ref	Expression
minveclem5	|- (y e. Y -> (N` (AMy)) e. RR)

Proof of Theorem minveclem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		minvec1.u	. . . . 5 |- U e. CPreHil
2		minvec1.w1	. . . . 5 |- W e. (SubSp` U)
3		minvec2.y	. . . . 5 |- Y = (Base` W)
4		minvec3.x	. . . . 5 |- X = (Base` U)
5	1, 2, 3, 4	minveclem3 8547	. . . 4 |- Y (_ X
6	5	sseli 2065	. . 3 |- (y e. Y -> y e. X)
7	1	phnvi 8475	. . . 4 |- U e. NrmCVec
8		minvec5.a	. . . 4 |- A e. X
9		minvec5.m	. . . . 5 |- M = (-v` U)
10	4, 9	nvmcl 8267	. . . 4 |- ((U e. NrmCVec /\ A e. X /\ y e. X) -> (AMy) e. X)
11	7, 8, 10	mp3an12 906	. . 3 |- (y e. X -> (AMy) e. X)
12	6, 11	syl 10	. 2 |- (y e. Y -> (AMy) e. X)
13		minvec5.n	. . . 4 |- N = (norm` U)
14	4, 13	nvcl 8287	. . 3 |- ((U e. NrmCVec /\ (AMy) e. X) -> (N` (AMy)) e. RR)
15	7, 14	mpan 695	. 2 |- ((AMy) e. X -> (N` (AMy)) e. RR)
16	12, 15	syl 10	1 |- (y e. Y -> (N` (AMy)) e. RR)

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 956   e. wcel 958  ` cfv 3182  (class class class)co 3963  RRcr 5233  NrmCVeccnv 8203  Basecba 8205  -vcnsb 8208  normcnm 8209  SubSpcss 8380  CPreHilcphl 8471

This theorem is referenced by:  minveclem11 8555  minveclem13 8557  minveclem14 8558  minveclem31 8575  minveclem32 8576  minvecex 8578

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fo 3196  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358  df-grp 8037  df-gid 8038  df-ginv 8039  df-gdiv 8040  df-abl 8100  df-vc 8165  df-nv 8211  df-va 8214  df-ba 8215  df-sm 8216  df-0v 8217  df-vs 8218  df-nm 8219  df-ssp 8381  df-ph 8472

Copyright terms: Public domain