Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveco Unicode version

Theorem minveco 22374
 Description: Minimizing vector theorem, or the Hilbert projection theorem. There is exactly one vector in a complete subspace that minimizes the distance to an arbitrary vector in a parent inner product space. Theorem 3.3-1 of [Kreyszig] p. 144, specialized to subspaces instead of convex subsets. (Contributed by NM, 11-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x
minveco.m
minveco.n CV
minveco.y
minveco.u
minveco.w
minveco.a
Assertion
Ref Expression
minveco
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem minveco
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.x . 2
2 minveco.m . 2
3 minveco.n . 2 CV
4 minveco.y . 2
5 minveco.u . 2
6 minveco.w . 2
7 minveco.a . 2
8 eqid 2435 . 2
9 eqid 2435 . 2
10 oveq2 6080 . . . . 5
1110fveq2d 5723 . . . 4
1211cbvmptv 4292 . . 3
1312rneqi 5087 . 2
14 eqid 2435 . 2
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14minvecolem7 22373 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wreu 2699   cin 3311   class class class wbr 4204   cmpt 4258  ccnv 4868   crn 4870  cfv 5445  (class class class)co 6072  csup 7436  cr 8978   clt 9109   cle 9110  cmopn 16679  cba 22053  cnsb 22056  CVcnmcv 22057  cims 22058  css 22208  ccphlo 22301  ccbn 22352 This theorem is referenced by:  pjhthlem2  22882 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cc 8304  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ico 10911  df-icc 10912  df-fl 11190  df-seq 11312  df-exp 11371  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-rest 13638  df-topgen 13655  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-fbas 16687  df-fg 16688  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-cld 17071  df-ntr 17072  df-cls 17073  df-nei 17150  df-lm 17281  df-haus 17367  df-fil 17866  df-fm 17958  df-flim 17959  df-flf 17960  df-cfil 19196  df-cau 19197  df-cmet 19198  df-grpo 21767  df-gid 21768  df-ginv 21769  df-gdiv 21770  df-ablo 21858  df-vc 22013  df-nv 22059  df-va 22062  df-ba 22063  df-sm 22064  df-0v 22065  df-vs 22066  df-nmcv 22067  df-ims 22068  df-ssp 22209  df-ph 22302  df-cbn 22353
 Copyright terms: Public domain W3C validator