MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  minveco Unicode version

Theorem minveco 22374
Description: Minimizing vector theorem, or the Hilbert projection theorem. There is exactly one vector in a complete subspace  W that minimizes the distance to an arbitrary vector  A in a parent inner product space. Theorem 3.3-1 of [Kreyszig] p. 144, specialized to subspaces instead of convex subsets. (Contributed by NM, 11-Apr-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
Assertion
Ref Expression
minveco  |-  ( ph  ->  E! x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, M    x, N, y    ph, x, y    x, A, y    x, U, y    x, W, y   
x, X    x, Y, y
Allowed substitution hint:    X( y)

Proof of Theorem minveco
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 minveco.x . 2  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 minveco.m . 2  |-  M  =  ( -v `  U
)
3 minveco.n . 2  |-  N  =  ( normCV `  U )
4 minveco.y . 2  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
5 minveco.u . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
6 minveco.w . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
7 minveco.a . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
8 eqid 2435 . 2  |-  ( IndMet `  U )  =  (
IndMet `  U )
9 eqid 2435 . 2  |-  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
)  =  ( MetOpen `  ( IndMet `  U )
)
10 oveq2 6080 . . . . 5  |-  ( j  =  y  ->  ( A M j )  =  ( A M y ) )
1110fveq2d 5723 . . . 4  |-  ( j  =  y  ->  ( N `  ( A M j ) )  =  ( N `  ( A M y ) ) )
1211cbvmptv 4292 . . 3  |-  ( j  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M j ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
1312rneqi 5087 . 2  |-  ran  (
j  e.  Y  |->  ( N `  ( A M j ) ) )  =  ran  (
y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
14 eqid 2435 . 2  |-  sup ( ran  ( j  e.  Y  |->  ( N `  ( A M j ) ) ) ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( ran  ( j  e.  Y  |->  ( N `  ( A M j ) ) ) ,  RR ,  `'  <  )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14minvecolem7 22373 1  |-  ( ph  ->  E! x  e.  Y  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M x ) )  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E!wreu 2699    i^i cin 3311   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   `'ccnv 4868   ran crn 4870   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   supcsup 7436   RRcr 8978    < clt 9109    <_ cle 9110   MetOpencmopn 16679   BaseSetcba 22053   -vcnsb 22056   normCVcnmcv 22057   IndMetcims 22058   SubSpcss 22208   CPreHil OLDccphlo 22301   CBanccbn 22352
This theorem is referenced by:  pjhthlem2  22882
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-inf2 7585  ax-cc 8304  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057  ax-addf 9058  ax-mulf 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-oadd 6719  df-er 6896  df-map 7011  df-pm 7012  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-fi 7407  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-3 10048  df-4 10049  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-ico 10911  df-icc 10912  df-fl 11190  df-seq 11312  df-exp 11371  df-cj 11892  df-re 11893  df-im 11894  df-sqr 12028  df-abs 12029  df-rest 13638  df-topgen 13655  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-met 16684  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-fbas 16687  df-fg 16688  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954  df-cld 17071  df-ntr 17072  df-cls 17073  df-nei 17150  df-lm 17281  df-haus 17367  df-fil 17866  df-fm 17958  df-flim 17959  df-flf 17960  df-cfil 19196  df-cau 19197  df-cmet 19198  df-grpo 21767  df-gid 21768  df-ginv 21769  df-gdiv 21770  df-ablo 21858  df-vc 22013  df-nv 22059  df-va 22062  df-ba 22063  df-sm 22064  df-0v 22065  df-vs 22066  df-nmcv 22067  df-ims 22068  df-ssp 22209  df-ph 22302  df-cbn 22353
  Copyright terms: Public domain W3C validator