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Theorem minvecolem1 22376
Description: Lemma for minveco 22386. The set of all distances from points of  Y to  A are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
Assertion
Ref Expression
minvecolem1  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
Distinct variable groups:    y, w, J    w, M, y    w, N, y    ph, w, y   
w, R    w, A, y    w, D, y    w, U, y    w, W, y   
w, X    w, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem1
StepHypRef Expression
1 minveco.r . . 3  |-  R  =  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
2 minveco.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
3 phnv 22315 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
42, 3syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
54adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  U  e.  NrmCVec )
6 minveco.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
76adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  X )
8 minveco.w . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
9 elin 3530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  ( ( SubSp `  U )  i^i  CBan ) 
<->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
108, 9sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
1110simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
12 minveco.x . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
13 minveco.y . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
14 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
1512, 13, 14sspba 22226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  Y  C_  X
)
164, 11, 15syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
1716sselda 3348 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
18 minveco.m . . . . . . . 8  |-  M  =  ( -v `  U
)
1912, 18nvmcl 22128 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A M y )  e.  X )
205, 7, 17, 19syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A M y )  e.  X )
21 minveco.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( normCV `  U )
2212, 21nvcl 22148 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M y )  e.  X )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  RR )
235, 20, 22syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  RR )
24 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
2523, 24fmptd 5893 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) : Y --> RR )
26 frn 5597 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) : Y --> RR  ->  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  C_  RR )
2725, 26syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  C_  RR )
281, 27syl5eqss 3392 . 2  |-  ( ph  ->  R  C_  RR )
2910simprd 450 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  CBan )
30 bnnv 22368 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CBan  ->  W  e.  NrmCVec )
31 eqid 2436 . . . . . . 7  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
3213, 31nvzcl 22115 . . . . . 6  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  W
)  e.  Y )
3329, 30, 323syl 19 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0vec `  W
)  e.  Y )
34 fvex 5742 . . . . . 6  |-  ( N `
 ( A M y ) )  e. 
_V
3534, 24dmmpti 5574 . . . . 5  |-  dom  (
y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =  Y
3633, 35syl6eleqr 2527 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0vec `  W
)  e.  dom  (
y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) )
37 ne0i 3634 . . . 4  |-  ( (
0vec `  W )  e.  dom  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  ->  dom  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =/=  (/) )
3836, 37syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =/=  (/) )
39 dm0rn0 5086 . . . . 5  |-  ( dom  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =  (/)  <->  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) )  =  (/) )
401eqeq1i 2443 . . . . 5  |-  ( R  =  (/)  <->  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =  (/) )
4139, 40bitr4i 244 . . . 4  |-  ( dom  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =  (/)  <->  R  =  (/) )
4241necon3bii 2633 . . 3  |-  ( dom  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =/=  (/)  <->  R  =/=  (/) )
4338, 42sylib 189 . 2  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
4412, 21nvge0 22163 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M y )  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
455, 20, 44syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
4645ralrimiva 2789 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y 
0  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
4734rgenw 2773 . . . . 5  |-  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M y ) )  e.  _V
48 breq2 4216 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( N `  ( A M y ) )  ->  ( 0  <_  w  <->  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
4924, 48ralrnmpt 5878 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A M y ) )  e.  _V  ->  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) 0  <_  w  <->  A. y  e.  Y  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
5047, 49ax-mp 8 . . . 4  |-  ( A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) ) 0  <_  w  <->  A. y  e.  Y  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
5146, 50sylibr 204 . . 3  |-  ( ph  ->  A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) 0  <_  w
)
521raleqi 2908 . . 3  |-  ( A. w  e.  R  0  <_  w  <->  A. w  e.  ran  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) 0  <_  w
)
5351, 52sylibr 204 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
5428, 43, 533jca 1134 1  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   dom cdm 4878   ran crn 4879   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   RRcr 8989   0cc0 8990    <_ cle 9121   MetOpencmopn 16691   NrmCVeccnv 22063   BaseSetcba 22065   0veccn0v 22067   -vcnsb 22068   normCVcnmcv 22069   IndMetcims 22070   SubSpcss 22220   CPreHil OLDccphlo 22313   CBanccbn 22364
This theorem is referenced by:  minvecolem2  22377  minvecolem3  22378  minvecolem4c  22381  minvecolem4  22382  minvecolem5  22383  minvecolem6  22384
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-rp 10613  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-grpo 21779  df-gid 21780  df-ginv 21781  df-gdiv 21782  df-ablo 21870  df-vc 22025  df-nv 22071  df-va 22074  df-ba 22075  df-sm 22076  df-0v 22077  df-vs 22078  df-nmcv 22079  df-ssp 22221  df-ph 22314  df-cbn 22365
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