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Theorem minvecolem1 21399
Description: Lemma for minveco 21409. The set of all distances from points of  Y to  A are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
Assertion
Ref Expression
minvecolem1  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
Distinct variable groups:    y, w, J    w, M, y    w, N, y    ph, w, y   
w, R    w, A, y    w, D, y    w, U, y    w, W, y   
w, X    w, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem1
StepHypRef Expression
1 minveco.r . . 3  |-  R  =  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
2 minveco.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
3 phnv 21338 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
42, 3syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
54adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  U  e.  NrmCVec )
6 minveco.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
76adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  X )
8 minveco.w . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
9 elin 3319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  ( ( SubSp `  U )  i^i  CBan ) 
<->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
108, 9sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
1110simpld 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
12 minveco.x . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
13 minveco.y . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
14 eqid 2256 . . . . . . . . . 10  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
1512, 13, 14sspba 21249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  Y  C_  X
)
164, 11, 15syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
1716sselda 3141 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
18 minveco.m . . . . . . . 8  |-  M  =  ( -v `  U
)
1912, 18nvmcl 21151 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A M y )  e.  X )
205, 7, 17, 19syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A M y )  e.  X )
21 minveco.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( normCV `  U )
2212, 21nvcl 21171 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M y )  e.  X )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  RR )
235, 20, 22syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  RR )
24 eqid 2256 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
2523, 24fmptd 5604 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) : Y --> RR )
26 frn 5319 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) : Y --> RR  ->  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  C_  RR )
2725, 26syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  C_  RR )
281, 27syl5eqss 3183 . 2  |-  ( ph  ->  R  C_  RR )
2910simprd 451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  CBan )
30 bnnv 21391 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CBan  ->  W  e.  NrmCVec )
31 eqid 2256 . . . . . . 7  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
3213, 31nvzcl 21138 . . . . . 6  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  W
)  e.  Y )
3329, 30, 323syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0vec `  W
)  e.  Y )
34 fvex 5458 . . . . . 6  |-  ( N `
 ( A M y ) )  e. 
_V
3534, 24dmmpti 5297 . . . . 5  |-  dom  ( 
y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =  Y
3633, 35syl6eleqr 2347 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0vec `  W
)  e.  dom  ( 
y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) )
37 ne0i 3422 . . . 4  |-  ( (
0vec `  W )  e.  dom  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  ->  dom  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =/=  (/) )
3836, 37syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =/=  (/) )
39 dm0rn0 4869 . . . . 5  |-  ( dom  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =  (/)  <->  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) )  =  (/) )
401eqeq1i 2263 . . . . 5  |-  ( R  =  (/)  <->  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =  (/) )
4139, 40bitr4i 245 . . . 4  |-  ( dom  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =  (/)  <->  R  =  (/) )
4241necon3bii 2451 . . 3  |-  ( dom  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =/=  (/)  <->  R  =/=  (/) )
4338, 42sylib 190 . 2  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
4412, 21nvge0 21186 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M y )  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
455, 20, 44syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
4645ralrimiva 2599 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y 
0  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
4734rgenw 2583 . . . . 5  |-  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M y ) )  e.  _V
48 breq2 3987 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( N `  ( A M y ) )  ->  ( 0  <_  w  <->  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
4924, 48ralrnmpt 5589 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A M y ) )  e.  _V  ->  ( A. w  e.  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) 0  <_  w  <->  A. y  e.  Y  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
5047, 49ax-mp 10 . . . 4  |-  ( A. w  e.  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) ) 0  <_  w  <->  A. y  e.  Y  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
5146, 50sylibr 205 . . 3  |-  ( ph  ->  A. w  e.  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) 0  <_  w
)
521raleqi 2711 . . 3  |-  ( A. w  e.  R  0  <_  w  <->  A. w  e.  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) 0  <_  w
)
5351, 52sylibr 205 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
5428, 43, 533jca 1137 1  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   A.wral 2516   _Vcvv 2757    i^i cin 3112    C_ wss 3113   (/)c0 3416   class class class wbr 3983    e. cmpt 4037   dom cdm 4647   ran crn 4648   -->wf 4655   ` cfv 4659  (class class class)co 5778   RRcr 8690   0cc0 8691    <_ cle 8822   MetOpencmopn 16320   NrmCVeccnv 21086   BaseSetcba 21088   0veccn0v 21090   -vcnsb 21091   normCVcnmcv 21092   IndMetcims 21093   SubSpcss 21243   CPreHil OLDccphlo 21336   CBanccbn 21387
This theorem is referenced by:  minvecolem2  21400  minvecolem3  21401  minvecolem4c  21404  minvecolem4  21405  minvecolem5  21406  minvecolem6  21407
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-cnex 8747  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767  ax-pre-mulgt0 8768  ax-pre-sup 8769
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-sup 7148  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-xr 8825  df-ltxr 8826  df-le 8827  df-sub 8993  df-neg 8994  df-div 9378  df-n 9701  df-2 9758  df-3 9759  df-n0 9919  df-z 9978  df-uz 10184  df-rp 10308  df-seq 10999  df-exp 11057  df-cj 11535  df-re 11536  df-im 11537  df-sqr 11671  df-abs 11672  df-grpo 20804  df-gid 20805  df-ginv 20806  df-gdiv 20807  df-ablo 20895  df-vc 21048  df-nv 21094  df-va 21097  df-ba 21098  df-sm 21099  df-0v 21100  df-vs 21101  df-nmcv 21102  df-ssp 21244  df-ph 21337  df-cbn 21388
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