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Theorem minvecolem1 21378
Description: Lemma for minveco 21388. The set of all distances from points of  Y to  A are a nonempty set of nonnegative reals. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
minveco.x  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
minveco.m  |-  M  =  ( -v `  U
)
minveco.n  |-  N  =  ( normCV `  U )
minveco.y  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
minveco.u  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
minveco.w  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
minveco.a  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
minveco.d  |-  D  =  ( IndMet `  U )
minveco.j  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
minveco.r  |-  R  =  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
Assertion
Ref Expression
minvecolem1  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
Distinct variable groups:    y, w, J    w, M, y    w, N, y    ph, w, y   
w, R    w, A, y    w, D, y    w, U, y    w, W, y   
w, X    w, Y, y
Allowed substitution hints:    R( y)    X( y)

Proof of Theorem minvecolem1
StepHypRef Expression
1 minveco.r . . 3  |-  R  =  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
2 minveco.u . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  e.  CPreHil OLD )
3 phnv 21317 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  CPreHil OLD  ->  U  e.  NrmCVec )
42, 3syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  e.  NrmCVec )
54adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  U  e.  NrmCVec )
6 minveco.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
76adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  A  e.  X )
8 minveco.w . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  W  e.  ( (
SubSp `  U )  i^i 
CBan ) )
9 elin 3300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( W  e.  ( ( SubSp `  U )  i^i  CBan ) 
<->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
108, 9sylib 190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( W  e.  (
SubSp `  U )  /\  W  e.  CBan ) )
1110simpld 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  W  e.  ( SubSp `  U ) )
12 minveco.x . . . . . . . . . 10  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
13 minveco.y . . . . . . . . . 10  |-  Y  =  ( BaseSet `  W )
14 eqid 2256 . . . . . . . . . 10  |-  ( SubSp `  U )  =  (
SubSp `  U )
1512, 13, 14sspba 21228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  W  e.  ( SubSp `  U )
)  ->  Y  C_  X
)
164, 11, 15syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  C_  X )
1716sselda 3122 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  X )
18 minveco.m . . . . . . . 8  |-  M  =  ( -v `  U
)
1912, 18nvmcl 21130 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  A  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( A M y )  e.  X )
205, 7, 17, 19syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( A M y )  e.  X )
21 minveco.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( normCV `  U )
2212, 21nvcl 21150 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M y )  e.  X )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  RR )
235, 20, 22syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  ( N `  ( A M y ) )  e.  RR )
24 eqid 2256 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) )  =  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )
2523, 24fmptd 5583 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) : Y --> RR )
26 frn 5298 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) : Y --> RR  ->  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  C_  RR )
2725, 26syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  C_  RR )
281, 27syl5eqss 3164 . 2  |-  ( ph  ->  R  C_  RR )
2910simprd 451 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  W  e.  CBan )
30 bnnv 21370 . . . . . 6  |-  ( W  e.  CBan  ->  W  e.  NrmCVec )
31 eqid 2256 . . . . . . 7  |-  ( 0vec `  W )  =  (
0vec `  W )
3213, 31nvzcl 21117 . . . . . 6  |-  ( W  e.  NrmCVec  ->  ( 0vec `  W
)  e.  Y )
3329, 30, 323syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0vec `  W
)  e.  Y )
34 fvex 5437 . . . . . 6  |-  ( N `
 ( A M y ) )  e. 
_V
3534, 24dmmpti 5276 . . . . 5  |-  dom  ( 
y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =  Y
3633, 35syl6eleqr 2347 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 0vec `  W
)  e.  dom  ( 
y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) )
37 ne0i 3403 . . . 4  |-  ( (
0vec `  W )  e.  dom  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  ->  dom  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =/=  (/) )
3836, 37syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =/=  (/) )
39 dm0rn0 4848 . . . . 5  |-  ( dom  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =  (/)  <->  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) )  =  (/) )
401eqeq1i 2263 . . . . 5  |-  ( R  =  (/)  <->  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =  (/) )
4139, 40bitr4i 245 . . . 4  |-  ( dom  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =  (/)  <->  R  =  (/) )
4241necon3bii 2451 . . 3  |-  ( dom  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) )  =/=  (/)  <->  R  =/=  (/) )
4338, 42sylib 190 . 2  |-  ( ph  ->  R  =/=  (/) )
4412, 21nvge0 21165 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  ( A M y )  e.  X )  ->  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
455, 20, 44syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  Y )  ->  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
4645ralrimiva 2597 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y 
0  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
4734rgenw 2581 . . . . 5  |-  A. y  e.  Y  ( N `  ( A M y ) )  e.  _V
48 breq2 3967 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( N `  ( A M y ) )  ->  ( 0  <_  w  <->  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
4924, 48ralrnmpt 5568 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  Y  ( N `  ( A M y ) )  e.  _V  ->  ( A. w  e.  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) 0  <_  w  <->  A. y  e.  Y  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) ) )
5047, 49ax-mp 10 . . . 4  |-  ( A. w  e.  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `
 ( A M y ) ) ) 0  <_  w  <->  A. y  e.  Y  0  <_  ( N `  ( A M y ) ) )
5146, 50sylibr 205 . . 3  |-  ( ph  ->  A. w  e.  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) 0  <_  w
)
521raleqi 2701 . . 3  |-  ( A. w  e.  R  0  <_  w  <->  A. w  e.  ran  (  y  e.  Y  |->  ( N `  ( A M y ) ) ) 0  <_  w
)
5351, 52sylibr 205 . 2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  R 
0  <_  w )
5428, 43, 533jca 1137 1  |-  ( ph  ->  ( R  C_  RR  /\  R  =/=  (/)  /\  A. w  e.  R  0  <_  w ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   A.wral 2516   _Vcvv 2740    i^i cin 3093    C_ wss 3094   (/)c0 3397   class class class wbr 3963    e. cmpt 4017   dom cdm 4626   ran crn 4627   -->wf 4634   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   RRcr 8669   0cc0 8670    <_ cle 8801   MetOpencmopn 16299   NrmCVeccnv 21065   BaseSetcba 21067   0veccn0v 21069   -vcnsb 21070   normCVcnmcv 21071   IndMetcims 21072   SubSpcss 21222   CPreHil OLDccphlo 21315   CBanccbn 21366
This theorem is referenced by:  minvecolem2  21379  minvecolem3  21380  minvecolem4c  21383  minvecolem4  21384  minvecolem5  21385  minvecolem6  21386
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-iun 3848  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-er 6593  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-sup 7127  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-rp 10287  df-seq 10978  df-exp 11036  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-grpo 20783  df-gid 20784  df-ginv 20785  df-gdiv 20786  df-ablo 20874  df-vc 21027  df-nv 21073  df-va 21076  df-ba 21077  df-sm 21078  df-0v 21079  df-vs 21080  df-nmcv 21081  df-ssp 21223  df-ph 21316  df-cbn 21367
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