Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndodcong Structured version   Unicode version

Theorem mndodcong 15182
 Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1
odcl.2
odid.3 .g
odid.4
Assertion
Ref Expression
mndodcong

Proof of Theorem mndodcong
StepHypRef Expression
1 oveq1 6090 . . 3
2 simp2l 984 . . . . . . . . 9
32nn0zd 10375 . . . . . . . 8
4 simp3 960 . . . . . . . 8
53, 4zmodcld 11269 . . . . . . 7
65adantr 453 . . . . . 6
76nn0red 10277 . . . . 5
8 simp2r 985 . . . . . . . . 9
98nn0zd 10375 . . . . . . . 8
109, 4zmodcld 11269 . . . . . . 7
1110adantr 453 . . . . . 6
1211nn0red 10277 . . . . 5
13 odcl.1 . . . . . 6
14 odcl.2 . . . . . 6
15 odid.3 . . . . . 6 .g
16 odid.4 . . . . . 6
17 simp1l 982 . . . . . . 7
1817adantr 453 . . . . . 6
19 simp1r 983 . . . . . . 7
2019adantr 453 . . . . . 6
214adantr 453 . . . . . 6
222nn0red 10277 . . . . . . . 8
234nnrpd 10649 . . . . . . . 8
24 modlt 11260 . . . . . . . 8
2522, 23, 24syl2anc 644 . . . . . . 7
2625adantr 453 . . . . . 6
278nn0red 10277 . . . . . . . 8
28 modlt 11260 . . . . . . . 8
2927, 23, 28syl2anc 644 . . . . . . 7
3029adantr 453 . . . . . 6
31 simpr 449 . . . . . 6
3213, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 6, 11, 26, 30, 31mndodconglem 15181 . . . . 5
3331eqcomd 2443 . . . . . . 7
3413, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 11, 6, 30, 26, 33mndodconglem 15181 . . . . . 6
3534eqcomd 2443 . . . . 5
367, 12, 32, 35lecasei 9181 . . . 4
3736ex 425 . . 3
381, 37impbid2 197 . 2
39 moddvds 12861 . . 3
404, 3, 9, 39syl3anc 1185 . 2
4113, 14, 15, 16odmodnn0 15180 . . . 4
4217, 19, 2, 4, 41syl31anc 1188 . . 3
4313, 14, 15, 16odmodnn0 15180 . . . 4
4417, 19, 8, 4, 43syl31anc 1188 . . 3
4542, 44eqeq12d 2452 . 2
4638, 40, 453bitr3d 276 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   class class class wbr 4214  cfv 5456  (class class class)co 6083  cr 8991   clt 9122   cle 9123   cmin 9293  cn 10002  cn0 10223  cz 10284  crp 10614   cmo 11252   cdivides 12854  cbs 13471  c0g 13725  cmnd 14686  .gcmg 14691  cod 15165 This theorem is referenced by:  mndodcongi  15183  oddvdsnn0  15184 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-dvds 12855  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-mulg 14817  df-od 15169
 Copyright terms: Public domain W3C validator