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Theorem mndodcong 15182
Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
odcl.2  |-  O  =  ( od `  G
)
odid.3  |-  .x.  =  (.g
`  G )
odid.4  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
mndodcong  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( O `  A
)  ||  ( M  -  N )  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )

Proof of Theorem mndodcong
StepHypRef Expression
1 oveq1 6090 . . 3  |-  ( ( M  mod  ( O `
 A ) )  =  ( N  mod  ( O `  A ) )  ->  ( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )
)
2 simp2l 984 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  M  e.  NN0 )
32nn0zd 10375 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  M  e.  ZZ )
4 simp3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( O `  A )  e.  NN )
53, 4zmodcld 11269 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  e. 
NN0 )
65adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( M  mod  ( O `  A )
)  e.  NN0 )
76nn0red 10277 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( M  mod  ( O `  A )
)  e.  RR )
8 simp2r 985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  N  e.  NN0 )
98nn0zd 10375 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
109, 4zmodcld 11269 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( N  mod  ( O `  A ) )  e. 
NN0 )
1110adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( N  mod  ( O `  A )
)  e.  NN0 )
1211nn0red 10277 . . . . 5  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( N  mod  ( O `  A )
)  e.  RR )
13 odcl.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
14 odcl.2 . . . . . 6  |-  O  =  ( od `  G
)
15 odid.3 . . . . . 6  |-  .x.  =  (.g
`  G )
16 odid.4 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
17 simp1l 982 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  G  e.  Mnd )
1817adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  ->  G  e.  Mnd )
19 simp1r 983 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  A  e.  X )
2019adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  ->  A  e.  X )
214adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( O `  A
)  e.  NN )
222nn0red 10277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  M  e.  RR )
234nnrpd 10649 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( O `  A )  e.  RR+ )
24 modlt 11260 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( O `  A )  e.  RR+ )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  < 
( O `  A
) )
2522, 23, 24syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  < 
( O `  A
) )
2625adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( M  mod  ( O `  A )
)  <  ( O `  A ) )
278nn0red 10277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  N  e.  RR )
28 modlt 11260 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( O `  A )  e.  RR+ )  ->  ( N  mod  ( O `  A ) )  < 
( O `  A
) )
2927, 23, 28syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  ( N  mod  ( O `  A ) )  < 
( O `  A
) )
3029adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( N  mod  ( O `  A )
)  <  ( O `  A ) )
31 simpr 449 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )
3213, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 6, 11, 26, 30, 31mndodconglem 15181 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  /\  ( M  mod  ( O `
 A ) )  <_  ( N  mod  ( O `  A ) ) )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  =  ( N  mod  ( O `  A )
) )
3331eqcomd 2443 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )
3413, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 11, 6, 30, 26, 33mndodconglem 15181 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  /\  ( N  mod  ( O `
 A ) )  <_  ( M  mod  ( O `  A ) ) )  ->  ( N  mod  ( O `  A ) )  =  ( M  mod  ( O `  A )
) )
3534eqcomd 2443 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  /\  ( N  mod  ( O `
 A ) )  <_  ( M  mod  ( O `  A ) ) )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  =  ( N  mod  ( O `  A )
) )
367, 12, 32, 35lecasei 9181 . . . 4  |-  ( ( ( ( G  e. 
Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  /\  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A ) )  -> 
( M  mod  ( O `  A )
)  =  ( N  mod  ( O `  A ) ) )
3736ex 425 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  ->  ( M  mod  ( O `  A ) )  =  ( N  mod  ( O `  A )
) ) )
381, 37impbid2 197 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( M  mod  ( O `  A )
)  =  ( N  mod  ( O `  A ) )  <->  ( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )
) )
39 moddvds 12861 . . 3  |-  ( ( ( O `  A
)  e.  NN  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( M  mod  ( O `  A )
)  =  ( N  mod  ( O `  A ) )  <->  ( O `  A )  ||  ( M  -  N )
) )
404, 3, 9, 39syl3anc 1185 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( M  mod  ( O `  A )
)  =  ( N  mod  ( O `  A ) )  <->  ( O `  A )  ||  ( M  -  N )
) )
4113, 14, 15, 16odmodnn0 15180 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  M  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( M  .x.  A ) )
4217, 19, 2, 4, 41syl31anc 1188 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( M  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( M  .x.  A ) )
4313, 14, 15, 16odmodnn0 15180 . . . 4  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `  A )  e.  NN )  -> 
( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) )
4417, 19, 8, 4, 43syl31anc 1188 . . 3  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( N  mod  ( O `  A )
)  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) )
4542, 44eqeq12d 2452 . 2  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( ( M  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  =  ( ( N  mod  ( O `  A ) )  .x.  A )  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )
4638, 40, 453bitr3d 276 1  |-  ( ( ( G  e.  Mnd  /\  A  e.  X )  /\  ( M  e. 
NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( O `
 A )  e.  NN )  ->  (
( O `  A
)  ||  ( M  -  N )  <->  ( M  .x.  A )  =  ( N  .x.  A ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293   NNcn 10002   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   RR+crp 10614    mod cmo 11252    || cdivides 12854   Basecbs 13471   0gc0g 13725   Mndcmnd 14686  .gcmg 14691   odcod 15165
This theorem is referenced by:  mndodcongi  15183  oddvdsnn0  15184
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-dvds 12855  df-0g 13729  df-mnd 14692  df-mulg 14817  df-od 15169
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