Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mon1pid Structured version   Unicode version

Theorem mon1pid 27503
 Description: Monicity and degree of the unit polynomial. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mon1pid.p Poly1
mon1pid.o
mon1pid.m Monic1p
mon1pid.d deg1
Assertion
Ref Expression
mon1pid NzRing

Proof of Theorem mon1pid
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mon1pid.p . . . . 5 Poly1
21ply1nz 20046 . . . 4 NzRing NzRing
3 nzrrng 16334 . . . 4 NzRing
4 eqid 2438 . . . . 5
5 mon1pid.o . . . . 5
64, 5rngidcl 15686 . . . 4
72, 3, 63syl 19 . . 3 NzRing
8 eqid 2438 . . . . 5
95, 8nzrnz 16333 . . . 4 NzRing
102, 9syl 16 . . 3 NzRing
11 nzrrng 16334 . . . . . . . 8 NzRing
12 eqid 2438 . . . . . . . . 9 algSc algSc
13 eqid 2438 . . . . . . . . 9
141, 12, 13, 5ply1scl1 16685 . . . . . . . 8 algSc
1511, 14syl 16 . . . . . . 7 NzRing algSc
1615fveq2d 5734 . . . . . 6 NzRing coe1algSc coe1
17 eqid 2438 . . . . . . . . 9
1817, 13rngidcl 15686 . . . . . . . 8
1911, 18syl 16 . . . . . . 7 NzRing
20 eqid 2438 . . . . . . . 8
211, 12, 17, 20coe1scl 16680 . . . . . . 7 coe1algSc
2211, 19, 21syl2anc 644 . . . . . 6 NzRing coe1algSc
2316, 22eqtr3d 2472 . . . . 5 NzRing coe1
2415fveq2d 5734 . . . . . 6 NzRing algSc
2513, 20nzrnz 16333 . . . . . . 7 NzRing
26 mon1pid.d . . . . . . . 8 deg1
2726, 1, 17, 12, 20deg1scl 20038 . . . . . . 7 algSc
2811, 19, 25, 27syl3anc 1185 . . . . . 6 NzRing algSc
2924, 28eqtr3d 2472 . . . . 5 NzRing
3023, 29fveq12d 5736 . . . 4 NzRing coe1
31 0nn0 10238 . . . . 5
32 iftrue 3747 . . . . . 6
33 eqid 2438 . . . . . 6
34 fvex 5744 . . . . . 6
3532, 33, 34fvmpt 5808 . . . . 5
3631, 35ax-mp 8 . . . 4
3730, 36syl6eq 2486 . . 3 NzRing coe1
38 mon1pid.m . . . 4 Monic1p
391, 4, 8, 26, 38, 13ismon1p 20067 . . 3 coe1
407, 10, 37, 39syl3anbrc 1139 . 2 NzRing
4140, 29jca 520 1 NzRing
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  cif 3741   cmpt 4268  cfv 5456  cc0 8992  cn0 10223  cbs 13471  c0g 13725  crg 15662  cur 15664  NzRingcnzr 16330  algSccascl 16373  Poly1cpl1 16573  coe1cco1 16576   deg1 cdg1 19979  Monic1pcmn1 20050 This theorem is referenced by:  mon1psubm  27504  deg1mhm  27505 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-ofr 6308  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-hash 11621  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-mhm 14740  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-ghm 15006  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-abl 15417  df-mgp 15651  df-rng 15665  df-cring 15666  df-ur 15667  df-subrg 15868  df-lmod 15954  df-lss 16011  df-nzr 16331  df-ascl 16376  df-psr 16419  df-mvr 16420  df-mpl 16421  df-opsr 16427  df-psr1 16578  df-vr1 16579  df-ply1 16580  df-coe1 16583  df-cnfld 16706  df-mdeg 19980  df-deg1 19981  df-mon1 20055
 Copyright terms: Public domain W3C validator