MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mopntopon Unicode version

Theorem mopntopon 18001
Description: The set of open sets of a metric space  X is a topology on  X. Remark in [Kreyszig] p. 19. This theorem connects the two concepts and makes available the theorems for topologies for use with metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mopnval.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
mopntopon  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)

Proof of Theorem mopntopon
StepHypRef Expression
1 mopnval.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopnval 18000 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
3 blbas 17992 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ran  ( ball `  D )  e. 
TopBases )
4 tgtopon 16725 . . . 4  |-  ( ran  ( ball `  D
)  e.  TopBases  ->  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) )  e.  (TopOn `  U. ran  ( ball `  D ) ) )
53, 4syl 15 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) )  e.  (TopOn `  U. ran  ( ball `  D ) ) )
6 unirnbl 17985 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  U. ran  ( ball `  D )  =  X )
76fveq2d 5545 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (TopOn ` 
U. ran  ( ball `  D ) )  =  (TopOn `  X )
)
85, 7eleqtrd 2372 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) )  e.  (TopOn `  X )
)
92, 8eqeltrd 2370 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696   U.cuni 3843   ran crn 4706   ` cfv 5271   topGenctg 13358   * Metcxmt 16385   ballcbl 16387   MetOpencmopn 16388  TopOnctopon 16648   TopBasesctb 16651
This theorem is referenced by:  mopntop  18002  mopnuni  18003  mopnm  18006  mopnss  18008  isxms2  18010  methaus  18082  prdsxmslem2  18091  metcnp3  18102  metcn  18105  metcnpi3  18108  txmetcn  18110  cnfldms  18301  cnfldtopn  18307  metdseq0  18374  metdscn2  18377  iitopon  18399  lebnumlem2  18476  lmmbr  18700  cfilfcls  18716  cmetcaulem  18730  iscmet3lem2  18734  lmle  18743  caublcls  18750  metcnp4  18751  metcn4  18752  cmetss  18756  relcmpcmet  18758  bcth2  18768  nvlmcl  21280  vmcn  21288  dipcn  21312  blocni  21399  ipasslem7  21430  ubthlem1  21465  ubthlem2  21466  minvecolem4b  21473  minvecolem4  21475  axhcompl-zf  21594  hlimadd  21788  hlim0  21831  occllem  21898  hmopidmchi  22747  ismtyhmeolem  26631  heiborlem9  26646  bfplem2  26650
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-topgen 13360  df-xmet 16389  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655
  Copyright terms: Public domain W3C validator