MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mopntopon Unicode version

Theorem mopntopon 17979
Description: The set of open sets of a metric space  X is a topology on  X. Remark in [Kreyszig] p. 19. This theorem connects the two concepts and makes available the theorems for topologies for use with metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mopnval.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
mopntopon  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)

Proof of Theorem mopntopon
StepHypRef Expression
1 mopnval.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopnval 17978 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
3 blbas 17970 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ran  ( ball `  D )  e. 
TopBases )
4 tgtopon 16703 . . . 4  |-  ( ran  ( ball `  D
)  e.  TopBases  ->  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) )  e.  (TopOn `  U. ran  ( ball `  D ) ) )
53, 4syl 17 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) )  e.  (TopOn `  U. ran  ( ball `  D ) ) )
6 unirnbl 17963 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  U. ran  ( ball `  D )  =  X )
76fveq2d 5489 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (TopOn ` 
U. ran  ( ball `  D ) )  =  (TopOn `  X )
)
85, 7eleqtrd 2360 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) )  e.  (TopOn `  X )
)
92, 8eqeltrd 2358 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1628    e. wcel 1688   U.cuni 3828   ran crn 4689   ` cfv 5221   topGenctg 13336   * Metcxmt 16363   ballcbl 16365   MetOpencmopn 16366  TopOnctopon 16626   TopBasesctb 16629
This theorem is referenced by:  mopntop  17980  mopnuni  17981  mopnm  17984  mopnss  17986  isxms2  17988  methaus  18060  prdsxmslem2  18069  metcnp3  18080  metcn  18083  metcnpi3  18086  txmetcn  18088  cnfldms  18279  cnfldtopn  18285  metdseq0  18352  metdscn2  18355  iitopon  18377  lebnumlem2  18454  lmmbr  18678  cfilfcls  18694  cmetcaulem  18708  iscmet3lem2  18712  lmle  18721  caublcls  18728  metcnp4  18729  metcn4  18730  cmetss  18734  relcmpcmet  18736  bcth2  18746  nvlmcl  21256  vmcn  21264  dipcn  21288  blocni  21375  ipasslem7  21406  ubthlem1  21441  ubthlem2  21442  minvecolem4b  21449  minvecolem4  21451  axhcompl-zf  21570  hlimadd  21764  hlim0  21807  occllem  21874  hmopidmchi  22723  ismtyhmeolem  25927  heiborlem9  25942  bfplem2  25946
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-er 6655  df-map 6769  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-sup 7189  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-topgen 13338  df-xmet 16367  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633
  Copyright terms: Public domain W3C validator