MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mopntopon Unicode version

Theorem mopntopon 18457
Description: The set of open sets of a metric space  X is a topology on  X. Remark in [Kreyszig] p. 19. This theorem connects the two concepts and makes available the theorems for topologies for use with metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mopnval.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
mopntopon  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)

Proof of Theorem mopntopon
StepHypRef Expression
1 mopnval.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopnval 18456 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
3 blbas 18448 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ran  ( ball `  D )  e. 
TopBases )
4 tgtopon 17024 . . . 4  |-  ( ran  ( ball `  D
)  e.  TopBases  ->  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) )  e.  (TopOn `  U. ran  ( ball `  D ) ) )
53, 4syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) )  e.  (TopOn `  U. ran  ( ball `  D ) ) )
6 unirnbl 18438 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  U. ran  ( ball `  D )  =  X )
76fveq2d 5723 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (TopOn ` 
U. ran  ( ball `  D ) )  =  (TopOn `  X )
)
85, 7eleqtrd 2511 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) )  e.  (TopOn `  X )
)
92, 8eqeltrd 2509 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   U.cuni 4007   ran crn 4870   ` cfv 5445   topGenctg 13653   * Metcxmt 16674   ballcbl 16676   MetOpencmopn 16679  TopOnctopon 16947   TopBasesctb 16950
This theorem is referenced by:  mopntop  18458  mopnuni  18459  mopnm  18462  mopnss  18464  isxms2  18466  methaus  18538  prdsxmslem2  18547  metcnp3  18558  metcn  18561  metcnpi3  18564  txmetcn  18566  cnfldms  18798  cnfldtopn  18804  metdseq0  18872  metdscn2  18875  iitopon  18897  lebnumlem2  18975  lmmbr  19199  cfilfcls  19215  cmetcaulem  19229  iscmet3lem2  19233  lmle  19242  caublcls  19249  metcnp4  19250  metcn4  19251  cmetss  19255  relcmpcmet  19257  bcth2  19271  nvlmcl  22175  vmcn  22183  dipcn  22207  blocni  22294  ipasslem7  22325  ubthlem1  22360  ubthlem2  22361  minvecolem4b  22368  minvecolem4  22370  axhcompl-zf  22489  hlimadd  22683  hlim0  22726  occllem  22793  hmopidmchi  23642  fmcncfil  24305  ismtyhmeolem  26450  heiborlem9  26465  bfplem2  26469
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692  ax-cnex 9035  ax-resscn 9036  ax-1cn 9037  ax-icn 9038  ax-addcl 9039  ax-addrcl 9040  ax-mulcl 9041  ax-mulrcl 9042  ax-mulcom 9043  ax-addass 9044  ax-mulass 9045  ax-distr 9046  ax-i2m1 9047  ax-1ne0 9048  ax-1rid 9049  ax-rnegex 9050  ax-rrecex 9051  ax-cnre 9052  ax-pre-lttri 9053  ax-pre-lttrn 9054  ax-pre-ltadd 9055  ax-pre-mulgt0 9056  ax-pre-sup 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-riota 6540  df-recs 6624  df-rdg 6659  df-er 6896  df-map 7011  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-sup 7437  df-pnf 9111  df-mnf 9112  df-xr 9113  df-ltxr 9114  df-le 9115  df-sub 9282  df-neg 9283  df-div 9667  df-nn 9990  df-2 10047  df-n0 10211  df-z 10272  df-uz 10478  df-q 10564  df-rp 10602  df-xneg 10699  df-xadd 10700  df-xmul 10701  df-topgen 13655  df-psmet 16682  df-xmet 16683  df-bl 16685  df-mopn 16686  df-top 16951  df-bases 16953  df-topon 16954
  Copyright terms: Public domain W3C validator