MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mopntopon Unicode version

Theorem mopntopon 17947
Description: The set of open sets of a metric space  X is a topology on  X. Remark in [Kreyszig] p. 19. This theorem connects the two concepts and makes available the theorems for topologies for use with metric spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mopnval.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
Assertion
Ref Expression
mopntopon  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)

Proof of Theorem mopntopon
StepHypRef Expression
1 mopnval.1 . . 3  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopnval 17946 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  =  ( topGen `  ran  ( ball `  D )
) )
3 blbas 17938 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ran  ( ball `  D )  e. 
TopBases )
4 tgtopon 16671 . . . 4  |-  ( ran  ( ball `  D
)  e.  TopBases  ->  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) )  e.  (TopOn `  U. ran  ( ball `  D ) ) )
53, 4syl 17 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) )  e.  (TopOn `  U. ran  ( ball `  D ) ) )
6 unirnbl 17931 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  U. ran  ( ball `  D )  =  X )
76fveq2d 5462 . . 3  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (TopOn ` 
U. ran  ( ball `  D ) )  =  (TopOn `  X )
)
85, 7eleqtrd 2334 . 2  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  ( topGen `
 ran  ( ball `  D ) )  e.  (TopOn `  X )
)
92, 8eqeltrd 2332 1  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621   U.cuni 3801   ran crn 4662   ` cfv 4673   topGenctg 13304   * Metcxmt 16331   ballcbl 16333   MetOpencmopn 16334  TopOnctopon 16594   TopBasesctb 16597
This theorem is referenced by:  mopntop  17948  mopnuni  17949  mopnm  17952  mopnss  17954  isxms2  17956  methaus  18028  prdsxmslem2  18037  metcnp3  18048  metcn  18051  metcnpi3  18054  txmetcn  18056  cnfldms  18247  cnfldtopn  18253  metdseq0  18320  metdscn2  18323  iitopon  18345  lebnumlem2  18422  lmmbr  18646  cfilfcls  18662  cmetcaulem  18676  iscmet3lem2  18680  lmle  18689  caublcls  18696  metcnp4  18697  metcn4  18698  cmetss  18702  relcmpcmet  18704  bcth2  18714  nvlmcl  21224  vmcn  21232  dipcn  21256  blocni  21343  ipasslem7  21374  ubthlem1  21409  ubthlem2  21410  minvecolem4b  21417  minvecolem4  21419  axhcompl-zf  21538  hlimadd  21732  hlim0  21775  occllem  21842  hmopidmchi  22691  ismtyhmeolem  25895  heiborlem9  25910  bfplem2  25914
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-sup 7162  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-n0 9933  df-z 9992  df-uz 10198  df-q 10284  df-rp 10322  df-xneg 10419  df-xadd 10420  df-xmul 10421  df-topgen 13306  df-xmet 16335  df-bl 16337  df-mopn 16338  df-top 16598  df-bases 16600  df-topon 16601
  Copyright terms: Public domain W3C validator