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Theorem mplmonmul 16519
Description: The product of two monomials adds the exponent vectors together. For example, the product of  ( x ^ 2 ) ( y ^
2 ) with  ( y ^ 1 ) ( z ^ 3 ) is  ( x ^ 2 ) ( y ^
3 ) ( z ^ 3 ), where the exponent vectors  <. 2 ,  2 ,  0 >. and  <. 0 ,  1 ,  3
>. are added to give  <. 2 ,  3 ,  3 >.. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon.s  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplmon.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mplmon.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplmon.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mplmon.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplmon.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplmon.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
mplmonmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  P )
mplmonmul.x  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
mplmonmul  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
Distinct variable groups:    y, D    f, I    ph, y    y, f, X    y,  .0.    y,  .1.    y, R    f, Y, y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( y, f)    D( f)    P( y, f)    R( f)    .x. ( y,
f)    .1. ( f)    I( y)    W( y, f)    .0. ( f)

Proof of Theorem mplmonmul
Dummy variables  j 
k  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplmon.s . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 mplmon.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
3 eqid 2435 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 mplmonmul.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  P )
5 mplmon.d . . 3  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
6 mplmon.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
7 mplmon.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
8 mplmon.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
9 mplmon.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
10 mplmon.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
111, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 10mplmon 16518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
12 mplmonmul.x . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
131, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 12mplmon 16518 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
141, 2, 3, 4, 5, 11, 13mplmul 16498 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) )
15 eqeq1 2441 . . . . 5  |-  ( y  =  k  ->  (
y  =  ( X  o F  +  Y
)  <->  k  =  ( X  o F  +  Y ) ) )
1615ifbid 3749 . . . 4  |-  ( y  =  k  ->  if ( y  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
1716cbvmptv 4292 . . 3  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  o F  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
18 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
1918snssd 3935 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  { X }  C_  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
20 resmpt 5183 . . . . . . . . 9  |-  ( { X }  C_  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  ->  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) )
2221oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) )
239ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  R  e.  Ring )
24 rngmnd 15665 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
2523, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  R  e.  Mnd )
2610ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  X  e.  D )
27 iftrue 3737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.  )
28 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
29 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
307, 29eqeltri 2505 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .1.  e.  _V
3127, 28, 30fvmpt 5798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  D  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X
)  =  .1.  )
3226, 31syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X )  =  .1.  )
33 ssrab2 3420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
C_  D
348ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  I  e.  W )
35 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
k  e.  D )
36 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  =  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }
375, 36psrbagconcl 16430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  ( k  o F  -  X
)  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
3834, 35, 18, 37syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  X )  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
3933, 38sseldi 3338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  X )  e.  D )
40 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( k  o F  -  X )  ->  ( y  =  Y  <->  ( k  o F  -  X )  =  Y ) )
4140ifbid 3749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( k  o F  -  X )  ->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
42 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
43 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
446, 43eqeltri 2505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .0.  e.  _V
4530, 44ifex 3789 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  _V
4641, 42, 45fvmpt 5798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  o F  -  X )  e.  D  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) )  =  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
4739, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) )  =  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
4832, 47oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) ) )  =  (  .1.  ( .r `  R
) if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
49 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
5049, 7rngidcl 15676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
5149, 6rng0cl 15677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
52 ifcl 3767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  .1.  e.  ( Base `  R )  /\  .0.  e.  ( Base `  R
) )  ->  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
5350, 51, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )
5423, 53syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
5549, 3, 7rnglidm 15679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)  ->  (  .1.  ( .r `  R ) if ( ( k  o F  -  X
)  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
5623, 54, 55syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
(  .1.  ( .r
`  R ) if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( ( k  o F  -  X
)  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
575psrbagf 16424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
5834, 35, 57syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
k : I --> NN0 )
5958ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  (
k `  z )  e.  NN0 )
608adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  I  e.  W )
6110adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  e.  D )
625psrbagf 16424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  e.  W  /\  X  e.  D )  ->  X : I --> NN0 )
6360, 61, 62syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X : I --> NN0 )
6463ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  e.  NN0 )
6564adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  e.  NN0 )
665psrbagf 16424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  e.  W  /\  Y  e.  D )  ->  Y : I --> NN0 )
678, 12, 66syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  Y : I --> NN0 )
6867adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  Y : I --> NN0 )
6968ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
7069adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
71 nn0cn 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k `  z )  e.  NN0  ->  ( k `
 z )  e.  CC )
72 nn0cn 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X `  z )  e.  NN0  ->  ( X `
 z )  e.  CC )
73 nn0cn 10223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y `  z )  e.  NN0  ->  ( Y `
 z )  e.  CC )
74 subadd 9300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k `  z
)  e.  CC  /\  ( X `  z )  e.  CC  /\  ( Y `  z )  e.  CC )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  =  ( k `  z
) ) )
7571, 72, 73, 74syl3an 1226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k `  z
)  e.  NN0  /\  ( X `  z )  e.  NN0  /\  ( Y `  z )  e.  NN0 )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  =  ( k `  z
) ) )
7659, 65, 70, 75syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  =  ( k `  z
) ) )
77 eqcom 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) )  =  ( k `  z )  <->  ( k `  z )  =  ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) )
7876, 77syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( k `  z )  =  ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) ) )
7978ralbidva 2713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( A. z  e.  I  ( ( k `
 z )  -  ( X `  z ) )  =  ( Y `
 z )  <->  A. z  e.  I  ( k `  z )  =  ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) ) )
80 mpteqb 5811 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  I  (
( k `  z
)  -  ( X `
 z ) )  e.  _V  ->  (
( z  e.  I  |->  ( ( k `  z )  -  ( X `  z )
) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) )  <->  A. z  e.  I 
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z ) ) )
81 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k `  z )  -  ( X `  z ) )  e. 
_V
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  I  ->  (
( k `  z
)  -  ( X `
 z ) )  e.  _V )
8380, 82mprg 2767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z
)  -  ( X `
 z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `
 z ) )  <->  A. z  e.  I 
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z ) )
84 mpteqb 5811 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  I  (
k `  z )  e.  _V  ->  ( (
z  e.  I  |->  ( k `  z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )  <->  A. z  e.  I 
( k `  z
)  =  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
85 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k `
 z )  e. 
_V
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  I  ->  (
k `  z )  e.  _V )
8784, 86mprg 2767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  I  |->  ( k `  z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )  <->  A. z  e.  I 
( k `  z
)  =  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )
8879, 83, 873bitr4g 280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( z  e.  I  |->  ( ( k `
 z )  -  ( X `  z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) )  <->  ( z  e.  I  |->  ( k `  z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) ) )
8958feqmptd 5771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
k  =  ( z  e.  I  |->  ( k `
 z ) ) )
9063feqmptd 5771 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  =  ( z  e.  I  |->  ( X `  z ) ) )
9190adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  X  =  ( z  e.  I  |->  ( X `
 z ) ) )
9234, 59, 65, 89, 91offval2 6314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  X )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z )  -  ( X `  z )
) ) )
9368feqmptd 5771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  Y  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) ) )
9493adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  Y  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `
 z ) ) )
9592, 94eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( k  o F  -  X )  =  Y  <->  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z )  -  ( X `  z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) ) ) )
9660, 64, 69, 90, 93offval2 6314 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( X  o F  +  Y
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
9796adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( X  o F  +  Y )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
9889, 97eqeq12d 2449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( k  =  ( X  o F  +  Y )  <->  ( z  e.  I  |->  ( k `
 z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `
 z )  +  ( Y `  z
) ) ) ) )
9988, 95, 983bitr4d 277 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( k  o F  -  X )  =  Y  <->  k  =  ( X  o F  +  Y ) ) )
10099ifbid 3749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
10148, 56, 1003eqtrd 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) ) )  =  if ( k  =  ( X  o F  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  ) )
102100, 54eqeltrrd 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
103101, 102eqeltrd 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
104 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  X  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
)  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X
) )
105 oveq2 6081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  X  ->  (
k  o F  -  j )  =  ( k  o F  -  X ) )
106105fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  X  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) ) )
107104, 106oveq12d 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  X  ->  (
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) )  =  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  X ) ) ) )
10849, 107gsumsn 15535 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  X  e.  D  /\  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) ) )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  X ) ) ) )
10925, 26, 103, 108syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  X ) ) ) )
11022, 109, 1013eqtrd 2471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
1116gsum0 14772 . . . . . . 7  |-  ( R 
gsumg  (/) )  =  .0.
112 disjsn 3860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  i^i  { X } )  =  (/)  <->  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
1139ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  R  e.  Ring )
1141, 49, 2, 5, 11mplelf 16489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
115114ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
116 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
11733, 116sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
j  e.  D )
118115, 117ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j )  e.  (
Base `  R )
)
1191, 49, 2, 5, 13mplelf 16489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
120119ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
1218ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  I  e.  W )
122 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
k  e.  D )
1235, 36psrbagconcl 16430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  ( k  o F  -  j
)  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
124121, 122, 116, 123syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  j )  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
12533, 124sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  j )  e.  D )
126120, 125ffvelrnd 5863 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )
12749, 3rngcl 15669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
)  e.  ( Base `  R )  /\  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
128113, 118, 126, 127syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
129 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  =  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )
130128, 129fmptd 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) ) : {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }
--> ( Base `  R
) )
131 ffn 5583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) ) : {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }
--> ( Base `  R
)  ->  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  Fn  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
132 fnresdisj 5547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  Fn  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  ->  ( ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  i^i  { X }
)  =  (/)  <->  ( (
j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) ) )
133130, 131, 1323syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  i^i  { X } )  =  (/)  <->  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) ) )
134133biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  i^i  { X } )  =  (/) )  ->  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) )
135112, 134sylan2br 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  ( (
j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) )
136135oveq2d 6089 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  ( R  gsumg  (/) ) )
13764nn0red 10267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  e.  RR )
138 nn0addge1 10258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X `  z
)  e.  RR  /\  ( Y `  z )  e.  NN0 )  -> 
( X `  z
)  <_  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )
139137, 69, 138syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  <_  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )
140139ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  A. z  e.  I  ( X `  z )  <_  (
( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) )
141 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  e. 
_V
142141a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  (
( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) )  e.  _V )
14360, 64, 142, 90, 96ofrfval2 6315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( X  o R  <_  ( X  o F  +  Y
)  <->  A. z  e.  I 
( X `  z
)  <_  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
144140, 143mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  o R  <_  ( X  o F  +  Y
) )
145 breq1 4207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
x  o R  <_ 
( X  o F  +  Y )  <->  X  o R  <_  ( X  o F  +  Y )
) )
146145elrab 3084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( X  o F  +  Y
) }  <->  ( X  e.  D  /\  X  o R  <_  ( X  o F  +  Y )
) )
14761, 144, 146sylanbrc 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( X  o F  +  Y ) } )
148 breq2 4208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( X  o F  +  Y )  ->  ( x  o R  <_  k  <->  x  o R  <_  ( X  o F  +  Y )
) )
149148rabbidv 2940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( X  o F  +  Y )  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  =  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( X  o F  +  Y
) } )
150149eleq2d 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( X  o F  +  Y )  ->  ( X  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
<->  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( X  o F  +  Y
) } ) )
151147, 150syl5ibrcom 214 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
k  =  ( X  o F  +  Y
)  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } ) )
152151con3and 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  -.  k  =  ( X  o F  +  Y )
)
153 iffalse 3738 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  =  ( X  o F  +  Y
)  ->  if (
k  =  ( X  o F  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
154152, 153syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  if (
k  =  ( X  o F  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
155111, 136, 1543eqtr4a 2493 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
156110, 155pm2.61dan 767 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
1579adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
158 rngcmn 15686 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
159157, 158syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
1605psrbaglefi 16429 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  e.  Fin )
1618, 160sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  e.  Fin )
162 ssdif 3474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  C_  D  ->  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  \  { X } )  C_  ( D  \  { X }
) )
16333, 162ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  \  { X }
)  C_  ( D  \  { X } )
164163sseli 3336 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
\  { X }
)  ->  j  e.  ( D  \  { X } ) )
165114adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
166 eldifsni 3920 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( D  \  { X } )  -> 
y  =/=  X )
167166adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  -> 
y  =/=  X )
168167neneqd 2614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  ->  -.  y  =  X
)
169 iffalse 3738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
170168, 169syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
171170suppss2 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( `' ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  { X } )
172165, 171suppssr 5856 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( D  \  { X } ) )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j )  =  .0.  )
173164, 172sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  \  { X } ) )  ->  ( (
y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
)  =  .0.  )
174173oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  \  { X } ) )  ->  ( (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) )  =  (  .0.  ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )
175 eldifi 3461 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
\  { X }
)  ->  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
17649, 3, 6rnglz 15692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .0.  ( .r `  R
) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 ( k  o F  -  j ) ) )  =  .0.  )
177113, 126, 176syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
(  .0.  ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) )  =  .0.  )
178175, 177sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  \  { X } ) )  ->  (  .0.  ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) )  =  .0.  )
179174, 178eqtrd 2467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  \  { X } ) )  ->  ( (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) )  =  .0.  )
180179suppss2 6292 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( `' ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  { X } )
181 snfi 7179 . . . . . . 7  |-  { X }  e.  Fin
182 ssfi 7321 . . . . . . 7  |-  ( ( { X }  e.  Fin  /\  ( `' ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  { X } )  ->  ( `' ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
183181, 180, 182sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( `' ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
18449, 6, 159, 161, 130, 180, 183gsumres 15512 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) )
185156, 184eqtr3d 2469 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) )
186185mpteq2dva 4287 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) )
18717, 186syl5eq 2479 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) )
18814, 187eqtr4d 2470 1  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   {crab 2701   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    i^i cin 3311    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ifcif 3731   {csn 3806   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869    |` cres 4872   "cima 4873    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295    o Rcofr 6296    ^m cmap 7010   Fincfn 7101   CCcc 8980   RRcr 8981    + caddc 8985    <_ cle 9113    - cmin 9283   NNcn 9992   NN0cn0 10213   Basecbs 13461   .rcmulr 13522   0gc0g 13715    gsumg cgsu 13716   Mndcmnd 14676  CMndccmn 15404   Ringcrg 15652   1rcur 15654   mPoly cmpl 16400
This theorem is referenced by:  mplcoe3  16521  mplcoe2  16522  mplmon2mul  16553
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-ur 15657  df-psr 16409  df-mpl 16411
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