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Theorem mplmonmul 16204
Description: The product of two monomials adds the exponent vectors together. For example, the product of  ( x ^ 2 ) ( y ^
2 ) with  ( y ^ 1 ) ( z ^ 3 ) is  ( x ^ 2 ) ( y ^
3 ) ( z ^ 3 ), where the exponent vectors  <. 2 ,  2 ,  0 >. and  <. 0 ,  1 ,  3
>. are added to give  <. 2 ,  3 ,  3 >.. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon.s  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplmon.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mplmon.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplmon.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mplmon.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplmon.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplmon.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
mplmonmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  P )
mplmonmul.x  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
mplmonmul  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
Distinct variable groups:    y, D    f, I    ph, y    y, f, X    y,  .0.    y,  .1.    y, R    f, Y, y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( y, f)    D( f)    P( y, f)    R( f)    .x. ( y,
f)    .1. ( f)    I( y)    W( y, f)    .0. ( f)

Proof of Theorem mplmonmul
Dummy variables  j 
k  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplmon.s . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 mplmon.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
3 eqid 2284 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 mplmonmul.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  P )
5 mplmon.d . . 3  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
6 mplmon.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
7 mplmon.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
8 mplmon.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
9 mplmon.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
10 mplmon.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
111, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 10mplmon 16203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
12 mplmonmul.x . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
131, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 12mplmon 16203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
141, 2, 3, 4, 5, 11, 13mplmul 16183 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) )
15 eqeq1 2290 . . . . 5  |-  ( y  =  k  ->  (
y  =  ( X  o F  +  Y
)  <->  k  =  ( X  o F  +  Y ) ) )
1615ifbid 3584 . . . 4  |-  ( y  =  k  ->  if ( y  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
1716cbvmptv 4112 . . 3  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  o F  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
18 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
1918snssd 3761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  { X }  C_  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
20 resmpt 4999 . . . . . . . . 9  |-  ( { X }  C_  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  ->  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) )
2119, 20syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) )
2221oveq2d 5836 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) )
239ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  R  e.  Ring )
24 rngmnd 15346 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
2523, 24syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  R  e.  Mnd )
2610ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  X  e.  D )
27 iftrue 3572 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.  )
28 eqid 2284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
29 fvex 5500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
307, 29eqeltri 2354 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .1.  e.  _V
3127, 28, 30fvmpt 5564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  D  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X
)  =  .1.  )
3226, 31syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X )  =  .1.  )
33 ssrab2 3259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
C_  D
348ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  I  e.  W )
35 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
k  e.  D )
36 eqid 2284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  =  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }
375, 36psrbagconcl 16115 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  ( k  o F  -  X
)  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
3834, 35, 18, 37syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  X )  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
3933, 38sseldi 3179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  X )  e.  D )
40 eqeq1 2290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( k  o F  -  X )  ->  ( y  =  Y  <->  ( k  o F  -  X )  =  Y ) )
4140ifbid 3584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( k  o F  -  X )  ->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
42 eqid 2284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
43 fvex 5500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
446, 43eqeltri 2354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .0.  e.  _V
4530, 44ifex 3624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  _V
4641, 42, 45fvmpt 5564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  o F  -  X )  e.  D  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) )  =  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
4739, 46syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) )  =  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
4832, 47oveq12d 5838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) ) )  =  (  .1.  ( .r `  R
) if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
49 eqid 2284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
5049, 7rngidcl 15357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
5149, 6rng0cl 15358 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
52 ifcl 3602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  .1.  e.  ( Base `  R )  /\  .0.  e.  ( Base `  R
) )  ->  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
5350, 51, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )
5423, 53syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
5549, 3, 7rnglidm 15360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)  ->  (  .1.  ( .r `  R ) if ( ( k  o F  -  X
)  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
5623, 54, 55syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
(  .1.  ( .r
`  R ) if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( ( k  o F  -  X
)  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
575psrbagf 16109 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
5834, 35, 57syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
k : I --> NN0 )
59 ffvelrn 5625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k : I --> NN0  /\  z  e.  I )  ->  ( k `  z
)  e.  NN0 )
6058, 59sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  (
k `  z )  e.  NN0 )
618adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  I  e.  W )
6210adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  e.  D )
635psrbagf 16109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  e.  W  /\  X  e.  D )  ->  X : I --> NN0 )
6461, 62, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X : I --> NN0 )
65 ffvelrn 5625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X : I --> NN0  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z
)  e.  NN0 )
6664, 65sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  e.  NN0 )
6766adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  e.  NN0 )
685psrbagf 16109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  e.  W  /\  Y  e.  D )  ->  Y : I --> NN0 )
698, 12, 68syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  Y : I --> NN0 )
7069adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  Y : I --> NN0 )
71 ffvelrn 5625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Y : I --> NN0  /\  z  e.  I )  ->  ( Y `  z
)  e.  NN0 )
7270, 71sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
7372adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
74 nn0cn 9971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k `  z )  e.  NN0  ->  ( k `
 z )  e.  CC )
75 nn0cn 9971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X `  z )  e.  NN0  ->  ( X `
 z )  e.  CC )
76 nn0cn 9971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y `  z )  e.  NN0  ->  ( Y `
 z )  e.  CC )
77 subadd 9050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k `  z
)  e.  CC  /\  ( X `  z )  e.  CC  /\  ( Y `  z )  e.  CC )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  =  ( k `  z
) ) )
7874, 75, 76, 77syl3an 1224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k `  z
)  e.  NN0  /\  ( X `  z )  e.  NN0  /\  ( Y `  z )  e.  NN0 )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  =  ( k `  z
) ) )
7960, 67, 73, 78syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  =  ( k `  z
) ) )
80 eqcom 2286 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) )  =  ( k `  z )  <->  ( k `  z )  =  ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) )
8179, 80syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( k `  z )  =  ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) ) )
8281ralbidva 2560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( A. z  e.  I  ( ( k `
 z )  -  ( X `  z ) )  =  ( Y `
 z )  <->  A. z  e.  I  ( k `  z )  =  ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) ) )
83 mpteqb 5576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  I  (
( k `  z
)  -  ( X `
 z ) )  e.  _V  ->  (
( z  e.  I  |->  ( ( k `  z )  -  ( X `  z )
) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) )  <->  A. z  e.  I 
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z ) ) )
84 ovex 5845 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k `  z )  -  ( X `  z ) )  e. 
_V
8584a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  I  ->  (
( k `  z
)  -  ( X `
 z ) )  e.  _V )
8683, 85mprg 2613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z
)  -  ( X `
 z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `
 z ) )  <->  A. z  e.  I 
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z ) )
87 mpteqb 5576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  I  (
k `  z )  e.  _V  ->  ( (
z  e.  I  |->  ( k `  z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )  <->  A. z  e.  I 
( k `  z
)  =  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
88 fvex 5500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k `
 z )  e. 
_V
8988a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  I  ->  (
k `  z )  e.  _V )
9087, 89mprg 2613 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  I  |->  ( k `  z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )  <->  A. z  e.  I 
( k `  z
)  =  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )
9182, 86, 903bitr4g 279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( z  e.  I  |->  ( ( k `
 z )  -  ( X `  z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) )  <->  ( z  e.  I  |->  ( k `  z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) ) )
9258feqmptd 5537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
k  =  ( z  e.  I  |->  ( k `
 z ) ) )
9364feqmptd 5537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  =  ( z  e.  I  |->  ( X `  z ) ) )
9493adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  X  =  ( z  e.  I  |->  ( X `
 z ) ) )
9534, 60, 67, 92, 94offval2 6057 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  X )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z )  -  ( X `  z )
) ) )
9670feqmptd 5537 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  Y  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) ) )
9796adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  Y  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `
 z ) ) )
9895, 97eqeq12d 2298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( k  o F  -  X )  =  Y  <->  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z )  -  ( X `  z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) ) ) )
9961, 66, 72, 93, 96offval2 6057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( X  o F  +  Y
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
10099adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( X  o F  +  Y )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
10192, 100eqeq12d 2298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( k  =  ( X  o F  +  Y )  <->  ( z  e.  I  |->  ( k `
 z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `
 z )  +  ( Y `  z
) ) ) ) )
10291, 98, 1013bitr4d 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( k  o F  -  X )  =  Y  <->  k  =  ( X  o F  +  Y ) ) )
103102ifbid 3584 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
10448, 56, 1033eqtrd 2320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) ) )  =  if ( k  =  ( X  o F  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  ) )
105103, 54eqeltrrd 2359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
106104, 105eqeltrd 2358 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
107 fveq2 5486 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  X  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
)  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X
) )
108 oveq2 5828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  X  ->  (
k  o F  -  j )  =  ( k  o F  -  X ) )
109108fveq2d 5490 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  X  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) ) )
110107, 109oveq12d 5838 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  X  ->  (
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) )  =  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  X ) ) ) )
11149, 110gsumsn 15216 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  X  e.  D  /\  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) ) )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  X ) ) ) )
11225, 26, 106, 111syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  X ) ) ) )
11322, 112, 1043eqtrd 2320 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
1146gsum0 14453 . . . . . . 7  |-  ( R 
gsumg  (/) )  =  .0.
115 disjsn 3694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  i^i  { X } )  =  (/)  <->  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
1169ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  R  e.  Ring )
1171, 49, 2, 5, 11mplelf 16174 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
118117ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
119 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
12033, 119sseldi 3179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
j  e.  D )
121 ffvelrn 5625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )  /\  j  e.  D
)  ->  ( (
y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
)  e.  ( Base `  R ) )
122118, 120, 121syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j )  e.  (
Base `  R )
)
1231, 49, 2, 5, 13mplelf 16174 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
124123ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
1258ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  I  e.  W )
126 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
k  e.  D )
1275, 36psrbagconcl 16115 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  ( k  o F  -  j
)  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
128125, 126, 119, 127syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  j )  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
12933, 128sseldi 3179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  j )  e.  D )
130 ffvelrn 5625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )  /\  ( k  o F  -  j )  e.  D )  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )
131124, 129, 130syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )
13249, 3rngcl 15350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
)  e.  ( Base `  R )  /\  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
133116, 122, 131, 132syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
134 eqid 2284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  =  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )
135133, 134fmptd 5646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) ) : {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }
--> ( Base `  R
) )
136 ffn 5355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) ) : {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }
--> ( Base `  R
)  ->  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  Fn  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
137 fnresdisj 5320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  Fn  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  ->  ( ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  i^i  { X }
)  =  (/)  <->  ( (
j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) ) )
138135, 136, 1373syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  i^i  { X } )  =  (/)  <->  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) ) )
139138biimpa 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  i^i  { X } )  =  (/) )  ->  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) )
140115, 139sylan2br 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  ( (
j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) )
141140oveq2d 5836 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  ( R  gsumg  (/) ) )
14266nn0red 10015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  e.  RR )
143 nn0addge1 10006 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X `  z
)  e.  RR  /\  ( Y `  z )  e.  NN0 )  -> 
( X `  z
)  <_  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )
144142, 72, 143syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  <_  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )
145144ralrimiva 2627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  A. z  e.  I  ( X `  z )  <_  (
( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) )
146 ovex 5845 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  e. 
_V
147146a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  (
( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) )  e.  _V )
14861, 66, 147, 93, 99ofrfval2 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( X  o R  <_  ( X  o F  +  Y
)  <->  A. z  e.  I 
( X `  z
)  <_  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
149145, 148mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  o R  <_  ( X  o F  +  Y
) )
150 breq1 4027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
x  o R  <_ 
( X  o F  +  Y )  <->  X  o R  <_  ( X  o F  +  Y )
) )
151150elrab 2924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( X  o F  +  Y
) }  <->  ( X  e.  D  /\  X  o R  <_  ( X  o F  +  Y )
) )
15262, 149, 151sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( X  o F  +  Y ) } )
153 breq2 4028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( X  o F  +  Y )  ->  ( x  o R  <_  k  <->  x  o R  <_  ( X  o F  +  Y )
) )
154153rabbidv 2781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( X  o F  +  Y )  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  =  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( X  o F  +  Y
) } )
155154eleq2d 2351 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( X  o F  +  Y )  ->  ( X  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
<->  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( X  o F  +  Y
) } ) )
156152, 155syl5ibrcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
k  =  ( X  o F  +  Y
)  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } ) )
157156con3and 428 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  -.  k  =  ( X  o F  +  Y )
)
158 iffalse 3573 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  =  ( X  o F  +  Y
)  ->  if (
k  =  ( X  o F  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
159157, 158syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  if (
k  =  ( X  o F  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
160114, 141, 1593eqtr4a 2342 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
161113, 160pm2.61dan 766 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
1629adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
163 rngcmn 15367 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
164162, 163syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
1655psrbaglefi 16114 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  e.  Fin )
1668, 165sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  e.  Fin )
167 ssdif 3312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  C_  D  ->  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  \  { X } )  C_  ( D  \  { X }
) )
16833, 167ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  \  { X }
)  C_  ( D  \  { X } )
169168sseli 3177 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
\  { X }
)  ->  j  e.  ( D  \  { X } ) )
170117adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
171 eldifsni 3751 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( D  \  { X } )  -> 
y  =/=  X )
172171adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  -> 
y  =/=  X )
173172neneqd 2463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  ->  -.  y  =  X
)
174 iffalse 3573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
175173, 174syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
176175suppss2 6035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( `' ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  { X } )
177170, 176suppssr 5621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( D  \  { X } ) )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j )  =  .0.  )
178169, 177sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  \  { X } ) )  ->  ( (
y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
)  =  .0.  )
179178oveq1d 5835 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  \  { X } ) )  ->  ( (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) )  =  (  .0.  ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )
180 eldifi 3299 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
\  { X }
)  ->  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
18149, 3, 6rnglz 15373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .0.  ( .r `  R
) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 ( k  o F  -  j ) ) )  =  .0.  )
182116, 131, 181syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
(  .0.  ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) )  =  .0.  )
183180, 182sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  \  { X } ) )  ->  (  .0.  ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) )  =  .0.  )
184179, 183eqtrd 2316 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  \  { X } ) )  ->  ( (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) )  =  .0.  )
185184suppss2 6035 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( `' ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  { X } )
186 snfi 6937 . . . . . . 7  |-  { X }  e.  Fin
187 ssfi 7079 . . . . . . 7  |-  ( ( { X }  e.  Fin  /\  ( `' ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  { X } )  ->  ( `' ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
188186, 185, 187sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( `' ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
18949, 6, 164, 166, 135, 185, 188gsumres 15193 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) )
190161, 189eqtr3d 2318 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) )
191190mpteq2dva 4107 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) )
19217, 191syl5eq 2328 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) )
19314, 192eqtr4d 2319 1  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1685    =/= wne 2447   A.wral 2544   {crab 2548   _Vcvv 2789    \ cdif 3150    i^i cin 3152    C_ wss 3153   (/)c0 3456   ifcif 3566   {csn 3641   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078   `'ccnv 4687    |` cres 4690   "cima 4691    Fn wfn 5216   -->wf 5217   ` cfv 5221  (class class class)co 5820    o Fcof 6038    o Rcofr 6039    ^m cmap 6768   Fincfn 6859   CCcc 8731   RRcr 8732    + caddc 8736    <_ cle 8864    - cmin 9033   NNcn 9742   NN0cn0 9961   Basecbs 13144   .rcmulr 13205   0gc0g 13396    gsumg cgsu 13397   Mndcmnd 14357  CMndccmn 15085   Ringcrg 15333   1rcur 15335   mPoly cmpl 16085
This theorem is referenced by:  mplcoe3  16206  mplcoe2  16207  mplmon2mul  16238
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-inf2 7338  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-se 4352  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-isom 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-of 6040  df-ofr 6041  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-2o 6476  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-pm 6771  df-ixp 6814  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-oi 7221  df-card 7568  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-7 9805  df-8 9806  df-9 9807  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-seq 11043  df-hash 11334  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-tset 13223  df-0g 13400  df-gsum 13401  df-mnd 14363  df-grp 14485  df-minusg 14486  df-mulg 14488  df-cntz 14789  df-cmn 15087  df-abl 15088  df-mgp 15322  df-rng 15336  df-ur 15338  df-psr 16094  df-mpl 16096
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