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Theorem mplmonmul 16210
Description: The product of two monomials adds the exponent vectors together. For example, the product of  ( x ^ 2 ) ( y ^
2 ) with  ( y ^ 1 ) ( z ^ 3 ) is  ( x ^ 2 ) ( y ^
3 ) ( z ^ 3 ), where the exponent vectors  <. 2 ,  2 ,  0 >. and  <. 0 ,  1 ,  3
>. are added to give  <. 2 ,  3 ,  3 >.. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmon.s  |-  P  =  ( I mPoly  R )
mplmon.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
mplmon.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mplmon.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mplmon.d  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
mplmon.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mplmon.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mplmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
mplmonmul.t  |-  .x.  =  ( .r `  P )
mplmonmul.x  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
Assertion
Ref Expression
mplmonmul  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
Distinct variable groups:    y, D    f, I    ph, y    y, f, X    y,  .0.    y,  .1.    y, R    f, Y, y
Allowed substitution hints:    ph( f)    B( y, f)    D( f)    P( y, f)    R( f)    .x. ( y,
f)    .1. ( f)    I( y)    W( y, f)    .0. ( f)

Proof of Theorem mplmonmul
Dummy variables  j 
k  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplmon.s . . 3  |-  P  =  ( I mPoly  R )
2 mplmon.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  P
)
3 eqid 2285 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
4 mplmonmul.t . . 3  |-  .x.  =  ( .r `  P )
5 mplmon.d . . 3  |-  D  =  { f  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' f
" NN )  e. 
Fin }
6 mplmon.z . . . 4  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
7 mplmon.o . . . 4  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
8 mplmon.i . . . 4  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
9 mplmon.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
10 mplmon.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  D )
111, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 10mplmon 16209 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
12 mplmonmul.x . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  D )
131, 2, 6, 7, 5, 8, 9, 12mplmon 16209 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  e.  B
)
141, 2, 3, 4, 5, 11, 13mplmul 16189 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( k  e.  D  |->  ( R  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) )
15 eqeq1 2291 . . . . 5  |-  ( y  =  k  ->  (
y  =  ( X  o F  +  Y
)  <->  k  =  ( X  o F  +  Y ) ) )
1615ifbid 3585 . . . 4  |-  ( y  =  k  ->  if ( y  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
1716cbvmptv 4113 . . 3  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  o F  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
18 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
1918snssd 3762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  { X }  C_  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
20 resmpt 5002 . . . . . . . . 9  |-  ( { X }  C_  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  ->  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) )
2119, 20syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) )
2221oveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) )
239ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  R  e.  Ring )
24 rngmnd 15352 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Mnd )
2523, 24syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  R  e.  Mnd )
2610ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  X  e.  D )
27 iftrue 3573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .1.  )
28 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )
29 fvex 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1r
`  R )  e. 
_V
307, 29eqeltri 2355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  .1.  e.  _V
3127, 28, 30fvmpt 5604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  D  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X
)  =  .1.  )
3226, 31syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X )  =  .1.  )
33 ssrab2 3260 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
C_  D
348ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  I  e.  W )
35 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
k  e.  D )
36 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  =  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }
375, 36psrbagconcl 16121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  ( k  o F  -  X
)  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
3834, 35, 18, 37syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  X )  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
3933, 38sseldi 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  X )  e.  D )
40 eqeq1 2291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( k  o F  -  X )  ->  ( y  =  Y  <->  ( k  o F  -  X )  =  Y ) )
4140ifbid 3585 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( k  o F  -  X )  ->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
42 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
43 fvex 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  R )  e. 
_V
446, 43eqeltri 2355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .0.  e.  _V
4530, 44ifex 3625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  _V
4641, 42, 45fvmpt 5604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  o F  -  X )  e.  D  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) )  =  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
4739, 46syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) )  =  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
4832, 47oveq12d 5878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) ) )  =  (  .1.  ( .r `  R
) if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )
49 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
5049, 7rngidcl 15363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
5149, 6rng0cl 15364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( R  e.  Ring  ->  .0.  e.  ( Base `  R )
)
52 ifcl 3603 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  .1.  e.  ( Base `  R )  /\  .0.  e.  ( Base `  R
) )  ->  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
5350, 51, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  Ring  ->  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  ( Base `  R ) )
5423, 53syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
5549, 3, 7rnglidm 15366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)  ->  (  .1.  ( .r `  R ) if ( ( k  o F  -  X
)  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
5623, 54, 55syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
(  .1.  ( .r
`  R ) if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )  =  if ( ( k  o F  -  X
)  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) )
575psrbagf 16115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  k : I --> NN0 )
5834, 35, 57syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
k : I --> NN0 )
59 ffvelrn 5665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k : I --> NN0  /\  z  e.  I )  ->  ( k `  z
)  e.  NN0 )
6058, 59sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  (
k `  z )  e.  NN0 )
618adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  I  e.  W )
6210adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  e.  D )
635psrbagf 16115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( I  e.  W  /\  X  e.  D )  ->  X : I --> NN0 )
6461, 62, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X : I --> NN0 )
65 ffvelrn 5665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X : I --> NN0  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z
)  e.  NN0 )
6664, 65sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  e.  NN0 )
6766adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  e.  NN0 )
685psrbagf 16115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( I  e.  W  /\  Y  e.  D )  ->  Y : I --> NN0 )
698, 12, 68syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  Y : I --> NN0 )
7069adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  Y : I --> NN0 )
71 ffvelrn 5665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Y : I --> NN0  /\  z  e.  I )  ->  ( Y `  z
)  e.  NN0 )
7270, 71sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
7372adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  ( Y `  z )  e.  NN0 )
74 nn0cn 9977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k `  z )  e.  NN0  ->  ( k `
 z )  e.  CC )
75 nn0cn 9977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( X `  z )  e.  NN0  ->  ( X `
 z )  e.  CC )
76 nn0cn 9977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Y `  z )  e.  NN0  ->  ( Y `
 z )  e.  CC )
77 subadd 9056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( k `  z
)  e.  CC  /\  ( X `  z )  e.  CC  /\  ( Y `  z )  e.  CC )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  =  ( k `  z
) ) )
7874, 75, 76, 77syl3an 1224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( k `  z
)  e.  NN0  /\  ( X `  z )  e.  NN0  /\  ( Y `  z )  e.  NN0 )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  =  ( k `  z
) ) )
7960, 67, 73, 78syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  =  ( k `  z
) ) )
80 eqcom 2287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) )  =  ( k `  z )  <->  ( k `  z )  =  ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) )
8179, 80syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  /\  z  e.  I )  ->  (
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z )  <->  ( k `  z )  =  ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) ) )
8281ralbidva 2561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( A. z  e.  I  ( ( k `
 z )  -  ( X `  z ) )  =  ( Y `
 z )  <->  A. z  e.  I  ( k `  z )  =  ( ( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) ) )
83 mpteqb 5616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  I  (
( k `  z
)  -  ( X `
 z ) )  e.  _V  ->  (
( z  e.  I  |->  ( ( k `  z )  -  ( X `  z )
) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) )  <->  A. z  e.  I 
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z ) ) )
84 ovex 5885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k `  z )  -  ( X `  z ) )  e. 
_V
8584a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  I  ->  (
( k `  z
)  -  ( X `
 z ) )  e.  _V )
8683, 85mprg 2614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z
)  -  ( X `
 z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `
 z ) )  <->  A. z  e.  I 
( ( k `  z )  -  ( X `  z )
)  =  ( Y `
 z ) )
87 mpteqb 5616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  I  (
k `  z )  e.  _V  ->  ( (
z  e.  I  |->  ( k `  z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )  <->  A. z  e.  I 
( k `  z
)  =  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
88 fvex 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k `
 z )  e. 
_V
8988a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  I  ->  (
k `  z )  e.  _V )
9087, 89mprg 2614 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  I  |->  ( k `  z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )  <->  A. z  e.  I 
( k `  z
)  =  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )
9182, 86, 903bitr4g 279 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( z  e.  I  |->  ( ( k `
 z )  -  ( X `  z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) )  <->  ( z  e.  I  |->  ( k `  z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) ) )
9258feqmptd 5577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
k  =  ( z  e.  I  |->  ( k `
 z ) ) )
9364feqmptd 5577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  =  ( z  e.  I  |->  ( X `  z ) ) )
9493adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  X  =  ( z  e.  I  |->  ( X `
 z ) ) )
9534, 60, 67, 92, 94offval2 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  X )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z )  -  ( X `  z )
) ) )
9670feqmptd 5577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  Y  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) ) )
9796adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  Y  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `
 z ) ) )
9895, 97eqeq12d 2299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( k  o F  -  X )  =  Y  <->  ( z  e.  I  |->  ( ( k `  z )  -  ( X `  z ) ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( Y `  z ) ) ) )
9961, 66, 72, 93, 96offval2 6097 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( X  o F  +  Y
)  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
10099adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( X  o F  +  Y )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
10192, 100eqeq12d 2299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( k  =  ( X  o F  +  Y )  <->  ( z  e.  I  |->  ( k `
 z ) )  =  ( z  e.  I  |->  ( ( X `
 z )  +  ( Y `  z
) ) ) ) )
10291, 98, 1013bitr4d 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( k  o F  -  X )  =  Y  <->  k  =  ( X  o F  +  Y ) ) )
103102ifbid 3585 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  if ( ( k  o F  -  X )  =  Y ,  .1.  ,  .0.  )  =  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
10448, 56, 1033eqtrd 2321 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) ) )  =  if ( k  =  ( X  o F  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  ) )
105103, 54eqeltrrd 2360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )  e.  (
Base `  R )
)
106104, 105eqeltrd 2359 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
107 fveq2 5527 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  X  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
)  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X
) )
108 oveq2 5868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  X  ->  (
k  o F  -  j )  =  ( k  o F  -  X ) )
109108fveq2d 5531 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  X  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) )  =  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) ) )
110107, 109oveq12d 5878 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  X  ->  (
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) )  =  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  X ) ) ) )
11149, 110gsumsn 15222 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Mnd  /\  X  e.  D  /\  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 X ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  X ) ) )  e.  ( Base `  R ) )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  X ) ) ) )
11225, 26, 106, 111syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( R  gsumg  ( j  e.  { X }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) )  =  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  X ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  X ) ) ) )
11322, 112, 1043eqtrd 2321 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
1146gsum0 14459 . . . . . . 7  |-  ( R 
gsumg  (/) )  =  .0.
115 disjsn 3695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  i^i  { X } )  =  (/)  <->  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
1169ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  R  e.  Ring )
1171, 49, 2, 5, 11mplelf 16180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
118117ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
119 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
12033, 119sseldi 3180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
j  e.  D )
121 ffvelrn 5665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )  /\  j  e.  D
)  ->  ( (
y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
)  e.  ( Base `  R ) )
122118, 120, 121syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j )  e.  (
Base `  R )
)
1231, 49, 2, 5, 13mplelf 16180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
124123ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
1258ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  I  e.  W )
126 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
k  e.  D )
1275, 36psrbagconcl 16121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  ( k  o F  -  j
)  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
128125, 126, 119, 127syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  j )  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
12933, 128sseldi 3180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( k  o F  -  j )  e.  D )
130 ffvelrn 5665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )  /\  ( k  o F  -  j )  e.  D )  ->  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )
131124, 129, 130syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )
13249, 3rngcl 15356 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
)  e.  ( Base `  R )  /\  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j ) ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) )  e.  ( Base `  R
) )
133116, 122, 131, 132syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) )  e.  ( Base `  R ) )
134 eqid 2285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  =  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )
135133, 134fmptd 5686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) ) : {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }
--> ( Base `  R
) )
136 ffn 5391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) ) : {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }
--> ( Base `  R
)  ->  ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  Fn  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
137 fnresdisj 5356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  Fn  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  ->  ( ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  i^i  { X }
)  =  (/)  <->  ( (
j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) ) )
138135, 136, 1373syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  i^i  { X } )  =  (/)  <->  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) ) )
139138biimpa 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  i^i  { X } )  =  (/) )  ->  ( ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) )
140115, 139sylan2br 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  ( (
j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } )  =  (/) )
141140oveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  ( R  gsumg  (/) ) )
14266nn0red 10021 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  e.  RR )
143 nn0addge1 10012 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X `  z
)  e.  RR  /\  ( Y `  z )  e.  NN0 )  -> 
( X `  z
)  <_  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )
144142, 72, 143syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  ( X `  z )  <_  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) )
145144ralrimiva 2628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  A. z  e.  I  ( X `  z )  <_  (
( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) ) )
146 ovex 5885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) )  e. 
_V
147146a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  z  e.  I )  ->  (
( X `  z
)  +  ( Y `
 z ) )  e.  _V )
14861, 66, 147, 93, 99ofrfval2 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( X  o R  <_  ( X  o F  +  Y
)  <->  A. z  e.  I 
( X `  z
)  <_  ( ( X `  z )  +  ( Y `  z ) ) ) )
149145, 148mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  o R  <_  ( X  o F  +  Y
) )
150 breq1 4028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  X  ->  (
x  o R  <_ 
( X  o F  +  Y )  <->  X  o R  <_  ( X  o F  +  Y )
) )
151150elrab 2925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( X  o F  +  Y
) }  <->  ( X  e.  D  /\  X  o R  <_  ( X  o F  +  Y )
) )
15262, 149, 151sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( X  o F  +  Y ) } )
153 breq2 4029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( X  o F  +  Y )  ->  ( x  o R  <_  k  <->  x  o R  <_  ( X  o F  +  Y )
) )
154153rabbidv 2782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( X  o F  +  Y )  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  =  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  ( X  o F  +  Y
) } )
155154eleq2d 2352 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( X  o F  +  Y )  ->  ( X  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
<->  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  ( X  o F  +  Y
) } ) )
156152, 155syl5ibrcom 213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
k  =  ( X  o F  +  Y
)  ->  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } ) )
157156con3and 428 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  -.  k  =  ( X  o F  +  Y )
)
158 iffalse 3574 . . . . . . . 8  |-  ( -.  k  =  ( X  o F  +  Y
)  ->  if (
k  =  ( X  o F  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
159157, 158syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  if (
k  =  ( X  o F  +  Y
) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
160114, 141, 1593eqtr4a 2343 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  -.  X  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
161113, 160pm2.61dan 766 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)
1629adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e.  Ring )
163 rngcmn 15373 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. CMnd
)
164162, 163syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  R  e. CMnd )
1655psrbaglefi 16120 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  W  /\  k  e.  D )  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  e.  Fin )
1668, 165sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  e.  Fin )
167 ssdif 3313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  C_  D  ->  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  \  { X } )  C_  ( D  \  { X }
) )
16833, 167ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  \  { X }
)  C_  ( D  \  { X } )
169168sseli 3178 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
\  { X }
)  ->  j  e.  ( D  \  { X } ) )
170117adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  (
y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) : D --> ( Base `  R )
)
171 eldifsni 3752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( D  \  { X } )  -> 
y  =/=  X )
172171adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  -> 
y  =/=  X )
173172neneqd 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  ->  -.  y  =  X
)
174 iffalse 3574 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
175173, 174syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  y  e.  ( D  \  { X } ) )  ->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
176175suppss2 6075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( `' ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) "
( _V  \  {  .0.  } ) )  C_  { X } )
177170, 176suppssr 5661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( D  \  { X } ) )  -> 
( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j )  =  .0.  )
178169, 177sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  \  { X } ) )  ->  ( (
y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
)  =  .0.  )
179178oveq1d 5875 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  \  { X } ) )  ->  ( (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) )  =  (  .0.  ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )
180 eldifi 3300 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
\  { X }
)  ->  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )
18149, 3, 6rnglz 15379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) )  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .0.  ( .r `  R
) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 ( k  o F  -  j ) ) )  =  .0.  )
182116, 131, 181syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } )  -> 
(  .0.  ( .r
`  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) )  =  .0.  )
183180, 182sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  \  { X } ) )  ->  (  .0.  ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) )  =  .0.  )
184179, 183eqtrd 2317 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  D )  /\  j  e.  ( { x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  \  { X } ) )  ->  ( (
( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) )  =  .0.  )
185184suppss2 6075 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( `' ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  C_  { X } )
186 snfi 6943 . . . . . . 7  |-  { X }  e.  Fin
187 ssfi 7085 . . . . . . 7  |-  ( ( { X }  e.  Fin  /\  ( `' ( j  e.  { x  e.  D  |  x  o R  <_  k } 
|->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `
 j ) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  ( k  o F  -  j ) ) ) ) " ( _V  \  {  .0.  }
) )  C_  { X } )  ->  ( `' ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
188186, 185, 187sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( `' ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) " ( _V 
\  {  .0.  }
) )  e.  Fin )
18949, 6, 164, 166, 135, 185, 188gsumres 15199 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  ( R  gsumg  ( ( j  e. 
{ x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) )  |`  { X } ) )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) )
190161, 189eqtr3d 2319 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  D )  ->  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  ( R  gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) )
191190mpteq2dva 4108 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  D  |->  if ( k  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) )
19217, 191syl5eq 2329 . 2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
)  =  ( k  e.  D  |->  ( R 
gsumg  ( j  e.  {
x  e.  D  |  x  o R  <_  k }  |->  ( ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  j
) ( .r `  R ) ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) `  (
k  o F  -  j ) ) ) ) ) ) )
19314, 192eqtr4d 2320 1  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  D  |->  if ( y  =  X ,  .1.  ,  .0.  ) )  .x.  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  Y ,  .1.  ,  .0.  ) ) )  =  ( y  e.  D  |->  if ( y  =  ( X  o F  +  Y ) ,  .1.  ,  .0.  )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686    =/= wne 2448   A.wral 2545   {crab 2549   _Vcvv 2790    \ cdif 3151    i^i cin 3153    C_ wss 3154   (/)c0 3457   ifcif 3567   {csn 3642   class class class wbr 4025    e. cmpt 4079   `'ccnv 4690    |` cres 4693   "cima 4694    Fn wfn 5252   -->wf 5253   ` cfv 5257  (class class class)co 5860    o Fcof 6078    o Rcofr 6079    ^m cmap 6774   Fincfn 6865   CCcc 8737   RRcr 8738    + caddc 8742    <_ cle 8870    - cmin 9039   NNcn 9748   NN0cn0 9967   Basecbs 13150   .rcmulr 13211   0gc0g 13402    gsumg cgsu 13403   Mndcmnd 14363  CMndccmn 15091   Ringcrg 15339   1rcur 15341   mPoly cmpl 16091
This theorem is referenced by:  mplcoe3  16212  mplcoe2  16213  mplmon2mul  16244
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-ofr 6081  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-oi 7227  df-card 7574  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-n0 9968  df-z 10027  df-uz 10233  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-seq 11049  df-hash 11340  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-mnd 14369  df-grp 14491  df-minusg 14492  df-mulg 14494  df-cntz 14795  df-cmn 15093  df-abl 15094  df-mgp 15328  df-rng 15342  df-ur 15344  df-psr 16100  df-mpl 16102
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