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Theorem mpteqb 5805
Description: Bidirectional equality theorem for a mapping abstraction. Equivalent to eqfnfv 5813. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
mpteqb  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  <->  A. x  e.  A  B  =  C )
)
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x)

Proof of Theorem mpteqb
StepHypRef Expression
1 elex 2951 . . 3  |-  ( B  e.  V  ->  B  e.  _V )
21ralimi 2768 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  A. x  e.  A  B  e.  _V )
3 fneq1 5520 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A  <->  ( x  e.  A  |->  C )  Fn  A ) )
4 eqid 2430 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  B )
54mptfng 5556 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  <->  ( x  e.  A  |->  B )  Fn  A )
6 eqid 2430 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  C )
76mptfng 5556 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  _V  <->  ( x  e.  A  |->  C )  Fn  A )
83, 5, 73bitr4g 280 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  _V 
<-> 
A. x  e.  A  C  e.  _V )
)
98biimpd 199 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  ->  A. x  e.  A  C  e.  _V )
)
10 r19.26 2825 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V )  <->  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  /\  A. x  e.  A  C  e.  _V ) )
11 nfmpt1 4285 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  B )
12 nfmpt1 4285 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( x  e.  A  |->  C )
1311, 12nfeq 2573 . . . . . . . . 9  |-  F/ x
( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )
14 simpll 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  /\  x  e.  A )  /\  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )  -> 
( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
1514fveq1d 5716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  /\  x  e.  A )  /\  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x
) )
164fvmpt2 5798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
1716ad2ant2lr 729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  /\  x  e.  A )  /\  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  B ) `  x )  =  B )
186fvmpt2 5798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C )
1918ad2ant2l 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  /\  x  e.  A )  /\  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )  -> 
( ( x  e.  A  |->  C ) `  x )  =  C )
2015, 17, 193eqtr3d 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  /\  x  e.  A )  /\  ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V ) )  ->  B  =  C )
2120exp31 588 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  ( x  e.  A  ->  ( ( B  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  B  =  C ) ) )
2213, 21ralrimi 2774 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  A. x  e.  A  ( ( B  e. 
_V  /\  C  e.  _V )  ->  B  =  C ) )
23 ralim 2764 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  (
( B  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  B  =  C )  ->  ( A. x  e.  A  ( B  e.  _V  /\  C  e. 
_V )  ->  A. x  e.  A  B  =  C ) )
2422, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  ( A. x  e.  A  ( B  e.  _V  /\  C  e. 
_V )  ->  A. x  e.  A  B  =  C ) )
2510, 24syl5bir 210 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  ( ( A. x  e.  A  B  e.  _V  /\  A. x  e.  A  C  e.  _V )  ->  A. x  e.  A  B  =  C ) )
2625exp3a 426 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  ->  ( A. x  e.  A  C  e.  _V  ->  A. x  e.  A  B  =  C )
) )
279, 26mpdd 38 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  ->  A. x  e.  A  B  =  C )
)
2827com12 29 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  ->  ( (
x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  ->  A. x  e.  A  B  =  C )
)
29 eqid 2430 . . . 4  |-  A  =  A
30 mpteq12 4275 . . . 4  |-  ( ( A  =  A  /\  A. x  e.  A  B  =  C )  ->  (
x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
3129, 30mpan 652 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  B  =  C  ->  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C ) )
3228, 31impbid1 195 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  _V  ->  ( (
x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  <->  A. x  e.  A  B  =  C )
)
332, 32syl 16 1  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  =  ( x  e.  A  |->  C )  <->  A. x  e.  A  B  =  C )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2692   _Vcvv 2943    e. cmpt 4253    Fn wfn 5435   ` cfv 5440
This theorem is referenced by:  eqfnfv  5813  eufnfv  5958  offveqb  6312  ramcl  13380  fucsect  14152  setcepi  14226  0frgp  15394  dprdf11  15564  dpjeq  15600  mvrf1  16472  mplmonmul  16510  frgpcyg  16837  ustuqtop  18259  mdegle0  19983  ply1nzb  20028  cvmliftphtlem  24987
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-ral 2697  df-rex 2698  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-nul 3616  df-if 3727  df-sn 3807  df-pr 3808  df-op 3810  df-uni 4003  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-id 4485  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-fv 5448
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