MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  msqgt0 Unicode version

Theorem msqgt0 9290
Description: A nonzero square is positive. Theorem I.20 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
msqgt0  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <  ( A  x.  A ) )

Proof of Theorem msqgt0
StepHypRef Expression
1 id 21 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR )
2 0re 8834 . . . . 5  |-  0  e.  RR
32a1i 12 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  0  e.  RR )
41, 3lttri2d 8954 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  =/=  0  <->  ( A  <  0  \/  0  < 
A ) ) )
54biimpa 472 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0 )  -> 
( A  <  0  \/  0  <  A ) )
6 mullt0 9289 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  /\  ( A  e.  RR  /\  A  <  0 ) )  -> 
0  <  ( A  x.  A ) )
76anidms 628 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  0 )  -> 
0  <  ( A  x.  A ) )
8 mulgt0 8896 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  /\  ( A  e.  RR  /\  0  < 
A ) )  -> 
0  <  ( A  x.  A ) )
98anidms 628 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <  A )  -> 
0  <  ( A  x.  A ) )
107, 9jaodan 762 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( A  <  0  \/  0  <  A ) )  ->  0  <  ( A  x.  A ) )
115, 10syldan 458 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  =/=  0 )  -> 
0  <  ( A  x.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    \/ wo 359    /\ wa 360    e. wcel 1685    =/= wne 2448   class class class wbr 4025  (class class class)co 5820   RRcr 8732   0cc0 8733    x. cmul 8738    < clt 8863
This theorem is referenced by:  msqge0  9291  0lt1  9292  msqgt0i  9306  msqgt0d  9336  recextlem2  9395  inelr  9732  msqznn  10089  sqgt0  11167  stoweidlem36  27185
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-iota 6253  df-riota 6300  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036
  Copyright terms: Public domain W3C validator