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Theorem mudivsum 21224
Description: Asymptotic formula for  sum_ n  <_  x ,  mmu (
n )  /  n  =  O ( 1 ). Equation 10.2.1 of [Shapiro], p. 405. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mudivsum  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  e.  O
( 1 )
Distinct variable group:    x, n

Proof of Theorem mudivsum
Dummy variables  k  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9090 . . . 4  |-  1  e.  RR
21a1i 11 . . 3  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
3 reex 9081 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
4 rpssre 10622 . . . . . . 7  |-  RR+  C_  RR
53, 4ssexi 4348 . . . . . 6  |-  RR+  e.  _V
65a1i 11 . . . . 5  |-  (  T. 
->  RR+  e.  _V )
7 fzfid 11312 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
8 rpre 10618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
9 elfznn 11080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
10 nndivre 10035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  /  n
)  e.  RR )
118, 9, 10syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
1211recnd 9114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  CC )
13 reflcl 11205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  n ) )  e.  RR )
1411, 13syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
1514recnd 9114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
1612, 15subcld 9411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  e.  CC )
179adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
18 mucl 20924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
mmu `  n )  e.  ZZ )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  ZZ )
2019zcnd 10376 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  CC )
2116, 20mulcld 9108 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  e.  CC )
227, 21fsumcl 12527 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  e.  CC )
23 rpcn 10620 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
24 rpne0 10627 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
2522, 23, 24divcld 9790 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  e.  CC )
2625adantl 453 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  e.  CC )
27 ovex 6106 . . . . . 6  |-  ( 1  /  x )  e. 
_V
2827a1i 11 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e. 
_V )
29 eqidd 2437 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) ) )
30 eqidd 2437 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )
316, 26, 28, 29, 30offval2 6322 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  o F  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
324a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  RR+  C_  RR )
3322adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  e.  CC )
3423adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  x  e.  CC )
3524adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  x  =/=  0 )
3633, 34, 35absdivd 12257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  ( abs `  x
) ) )
37 rprege0 10626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
38 absid 12101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( abs `  x
)  =  x )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  x )  =  x )
4039adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  x )  =  x )
4140oveq2d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  ( abs `  x
) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  x ) )
4236, 41eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  x ) )
4333abscld 12238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  e.  RR )
44 fzfid 11312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
4521adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( mmu `  n
) )  e.  CC )
4645abscld 12238 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  e.  RR )
4744, 46fsumrecl 12528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  e.  RR )
488adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  x  e.  RR )
4944, 45fsumabs 12580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) ) )
50 reflcl 11205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
5148, 50syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
521a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
5316adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  e.  CC )
54 elfznn 11080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  k  e.  NN )
5554ssriv 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  C_  NN
5655a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  C_  NN )
5756sselda 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
5857, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  ZZ )
5958zcnd 10376 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  CC )
6053, 59absmuld 12256 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( abs `  ( mmu `  n
) ) ) )
6153abscld 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
6259abscld 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
mmu `  n )
)  e.  RR )
6353absge0d 12246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ) )
6459absge0d 12246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( mmu `  n ) ) )
65 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  x  e.  RR+ )
669nnrpd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  RR+ )
67 rpdivcl 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
x  /  n )  e.  RR+ )
6865, 66, 67syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
694, 68sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
7069, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
71 flle 11208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  n ) )  <_ 
( x  /  n
) )
7269, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  <_  (
x  /  n ) )
7370, 69, 72abssubge0d 12234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) )
74 fracle1 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  <_  1 )
7569, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  <_  1 )
7673, 75eqbrtrd 4232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  <_  1 )
77 mule1 20931 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  ( abs `  ( mmu `  n ) )  <_ 
1 )
7857, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
mmu `  n )
)  <_  1 )
7961, 52, 62, 52, 63, 64, 76, 78lemul12ad 9953 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( abs `  ( mmu `  n
) ) )  <_ 
( 1  x.  1 ) )
80 1t1e1 10126 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
8179, 80syl6breq 4251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( abs `  ( mmu `  n
) ) )  <_ 
1 )
8260, 81eqbrtrd 4232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  1 )
8344, 46, 52, 82fsumle 12578 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) 1 )
84 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
8584a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  1  e.  CC )
86 fsumconst 12573 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  1 ) )
8744, 85, 86syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  1 ) )
88 flge1nn 11226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
898, 88sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  NN )
9089nnnn0d 10274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e. 
NN0 )
91 hashfz1 11630 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
9290, 91syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( # `
 ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  =  ( |_ `  x
) )
9392oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  x.  1 )  =  ( ( |_ `  x )  x.  1 ) )
9451recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  CC )
9594mulid1d 9105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( |_ `  x
)  x.  1 )  =  ( |_ `  x ) )
9687, 93, 953eqtrd 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) 1  =  ( |_
`  x ) )
9783, 96breqtrd 4236 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  ( |_ `  x ) )
98 flle 11208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
9948, 98syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
10047, 51, 48, 97, 99letrd 9227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  x )
10143, 47, 48, 49, 100letrd 9227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  x )
10234mulid1d 9105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
x  x.  1 )  =  x )
103101, 102breqtrrd 4238 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  ( x  x.  1 ) )
1041a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  1  e.  RR )
10543, 104, 65ledivmuld 10697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  x )  <_ 
1  <->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  ( x  x.  1 ) ) )
106103, 105mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  x )  <_ 
1 )
10742, 106eqbrtrd 4232 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  <_ 
1 )
108107adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  <_ 
1 )
10932, 26, 2, 2, 108elo1d 12330 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
110 divrcnv 12632 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0 )
11184, 110ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0
112 rlimo1 12410 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
113111, 112mp1i 12 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) )  e.  O
( 1 ) )
114 o1add 12407 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  e.  O ( 1 )  /\  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )  ->  ( (
x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  o F  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
115109, 113, 114syl2anc 643 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  o F  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
11631, 115eqeltrrd 2511 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )  e.  O
( 1 ) )
117 ovex 6106 . . . 4  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) )  e.  _V
118117a1i 11 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) )  e.  _V )
11919zred 10375 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  RR )
120119, 17nndivred 10048 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  RR )
121120recnd 9114 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  CC )
1227, 121fsumcl 12527 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
123122adantl 453 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
124122adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
125124abscld 12238 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  e.  RR )
126121adantlr 696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
12744, 34, 126fsummulc2 12567 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( x  x.  ( ( mmu `  n )  /  n
) ) )
12815, 20mulcld 9108 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n
) )  e.  CC )
129128adantlr 696 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n
) )  e.  CC )
13044, 45, 129fsumadd 12532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( mmu `  n
) )  +  ( ( |_ `  (
x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( |_ `  (
x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n ) ) ) )
13112adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  CC )
13215adantlr 696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
133131, 132npcand 9415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  +  ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  =  ( x  /  n ) )
134133oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  +  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( mmu `  n
) )  =  ( ( x  /  n
)  x.  ( mmu `  n ) ) )
13553, 132, 59adddird 9113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  +  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( mmu `  n
) )  =  ( ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  ( ( |_ `  ( x  /  n
) )  x.  (
mmu `  n )
) ) )
13634adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  CC )
13757nnrpd 10647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
138 rpcnne0 10629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
139137, 138syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
140 div23 9697 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( mmu `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( x  x.  ( mmu `  n ) )  /  n )  =  ( ( x  /  n
)  x.  ( mmu `  n ) ) )
141 divass 9696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( mmu `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( x  x.  ( mmu `  n ) )  /  n )  =  ( x  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )
142140, 141eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( mmu `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( x  /  n )  x.  ( mmu `  n
) )  =  ( x  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )
143136, 59, 139, 142syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( x  /  n )  x.  ( mmu `  n
) )  =  ( x  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )
144134, 135, 1433eqtr3d 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  ( ( |_ `  ( x  /  n
) )  x.  (
mmu `  n )
) )  =  ( x  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )
145144sumeq2dv 12497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( mmu `  n
) )  +  ( ( |_ `  (
x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( x  x.  (
( mmu `  n
)  /  n ) ) )
146 eqidd 2437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( n  x.  m )  ->  (
mmu `  n )  =  ( mmu `  n ) )
147 ssrab2 3428 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  C_  NN
148 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )
149147, 148sseldi 3346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  n  e.  NN )
150149, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  (
mmu `  n )  e.  ZZ )
151150zcnd 10376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  (
mmu `  n )  e.  CC )
152146, 48, 151dvdsflsumcom 20973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
mmu `  n )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( mmu `  n ) )
1531513impb 1149 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  k  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  (
mmu `  n )  e.  CC )
154153mulid1d 9105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  k  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  (
( mmu `  n
)  x.  1 )  =  ( mmu `  n ) )
1551542sumeq2dv 12499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
( mmu `  n
)  x.  1 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
mmu `  n )
)
156 eqidd 2437 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  1  ->  1  =  1 )
157 nnuz 10521 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
15889, 157syl6eleq 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
159 eluzfz1 11064 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
160158, 159syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
16184a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  k  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
162156, 44, 56, 160, 161musumsum 20977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
( mmu `  n
)  x.  1 )  =  1 )
163155, 162eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
mmu `  n )  =  1 )
164 fzfid 11312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  e.  Fin )
165 fsumconst 12573 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  e.  Fin  /\  (
mmu `  n )  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( mmu `  n
)  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) )  x.  ( mmu `  n
) ) )
166164, 59, 165syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( mmu `  n
)  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) )  x.  ( mmu `  n
) ) )
167 rprege0 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( ( x  /  n )  e.  RR  /\  0  <_  ( x  /  n
) ) )
16868, 167syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( x  /  n )  e.  RR  /\  0  <_ 
( x  /  n
) ) )
169 flge0nn0 11225 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  /  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( x  /  n ) )  -> 
( |_ `  (
x  /  n ) )  e.  NN0 )
170 hashfz1 11630 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( |_ `  ( x  /  n ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )
171168, 169, 1703syl 19 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( # `  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) )  =  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )
172171oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( # `  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  =  ( ( |_ `  ( x  /  n
) )  x.  (
mmu `  n )
) )
173166, 172eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( mmu `  n
)  =  ( ( |_ `  ( x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )
174173sumeq2dv 12497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( mmu `  n )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( |_ `  ( x  /  n
) )  x.  (
mmu `  n )
) )
175152, 163, 1743eqtr3rd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( |_ `  ( x  /  n
) )  x.  (
mmu `  n )
)  =  1 )
176175oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( |_ `  (
x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 ) )
177130, 145, 1763eqtr3d 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( x  x.  (
( mmu `  n
)  /  n ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 ) )
178127, 177eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 ) )
179178oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n ) )  /  x )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 )  /  x
) )
180124, 34, 35divcan3d 9795 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n ) )  /  x )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n ) )
181 rpcnne0 10629 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
182181adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
183 divdir 9701 . . . . . . . 8  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 )  /  x
)  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )
18433, 85, 182, 183syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 )  /  x
)  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )
185179, 180, 1843eqtr3d 2476 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )
186185fveq2d 5732 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  ( abs `  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
187 eqle 9176 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n ) )  e.  RR  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  ( abs `  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n ) )  <_  ( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
188125, 186, 187syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  <_  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
189188adantl 453 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n ) )  <_  ( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
1902, 116, 118, 123, 189o1le 12446 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n ) )  e.  O ( 1 ) )
191190trud 1332 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  e.  O
( 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    /\ w3a 936    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   {crab 2709   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Fcof 6303   Fincfn 7109   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   RR+crp 10612   ...cfz 11043   |_cfl 11201   #chash 11618   abscabs 12039    ~~> r crli 12279   O ( 1 )co1 12280   sum_csu 12479    || cdivides 12852   mmucmu 20877
This theorem is referenced by:  mulogsumlem  21225  mulog2sumlem3  21230  selberglem1  21239
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-ico 10922  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-o1 12284  df-lo1 12285  df-sum 12480  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-pc 13211  df-mu 20883
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