MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mudivsum Unicode version

Theorem mudivsum 20606
Description: Asymptotic formula for  sum_ n  <_  x ,  mmu (
n )  /  n  =  O ( 1 ). Equation 10.2.1 of [Shapiro], p. 405. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mudivsum  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  e.  O
( 1 )
Distinct variable group:    x, n

Proof of Theorem mudivsum
StepHypRef Expression
1 1re 8770 . . . 4  |-  1  e.  RR
21a1i 12 . . 3  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
3 reex 8761 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
4 rpssre 10296 . . . . . . 7  |-  RR+  C_  RR
53, 4ssexi 4099 . . . . . 6  |-  RR+  e.  _V
65a1i 12 . . . . 5  |-  (  T. 
->  RR+  e.  _V )
7 fzfid 10966 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
8 rpre 10292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
9 elfznn 10750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
10 nndivre 9714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  /  n
)  e.  RR )
118, 9, 10syl2an 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
1211recnd 8794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  CC )
13 reflcl 10859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  n ) )  e.  RR )
1411, 13syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
1514recnd 8794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
1612, 15subcld 9090 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  e.  CC )
179adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
18 mucl 20306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
mmu `  n )  e.  ZZ )
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  ZZ )
2019zcnd 10050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  CC )
2116, 20mulcld 8788 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  e.  CC )
227, 21fsumcl 12136 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  e.  CC )
23 rpcn 10294 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
24 rpne0 10301 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
2522, 23, 24divcld 9469 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  e.  CC )
2625adantl 454 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  e.  CC )
27 ovex 5782 . . . . . 6  |-  ( 1  /  x )  e. 
_V
2827a1i 12 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  x )  e. 
_V )
29 eqidd 2257 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) ) )
30 eqidd 2257 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )
316, 26, 28, 29, 30offval2 5994 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  o F  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
324a1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  RR+  C_  RR )
3322adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  e.  CC )
3423adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  x  e.  CC )
3524adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  x  =/=  0 )
3633, 34, 35absdivd 11867 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  ( abs `  x
) ) )
37 rprege0 10300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
38 absid 11711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( abs `  x
)  =  x )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  x )  =  x )
4039adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  x )  =  x )
4140oveq2d 5773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  ( abs `  x
) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  x ) )
4236, 41eqtrd 2288 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  =  ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  x ) )
4333abscld 11848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  e.  RR )
44 fzfid 10966 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
4521adantlr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( mmu `  n
) )  e.  CC )
4645abscld 11848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  e.  RR )
4744, 46fsumrecl 12137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  e.  RR )
488adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  x  e.  RR )
4944, 45fsumabs 12189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) ) )
50 reflcl 10859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
5148, 50syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
521a1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
5316adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  e.  CC )
54 elfznn 10750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  k  e.  NN )
5554ssriv 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  C_  NN
5655a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  C_  NN )
5756sselda 3122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
5857, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  ZZ )
5958zcnd 10050 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  CC )
6053, 59absmuld 11866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( abs `  ( mmu `  n
) ) ) )
6153abscld 11848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
6259abscld 11848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
mmu `  n )
)  e.  RR )
6353absge0d 11856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ) )
6459absge0d 11856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( mmu `  n ) ) )
65 simpl 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  x  e.  RR+ )
669nnrpd 10321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  RR+ )
67 rpdivcl 10308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
x  /  n )  e.  RR+ )
6865, 66, 67syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
694, 68sseldi 3120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR )
7069, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
71 flle 10862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  ( |_ `  ( x  /  n ) )  <_ 
( x  /  n
) )
7269, 71syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  <_  (
x  /  n ) )
7370, 69, 72abssubge0d 11844 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) )
74 fracle1 10866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR  ->  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  <_  1 )
7569, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  <_  1 )
7673, 75eqbrtrd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  <_  1 )
77 mule1 20313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  ( abs `  ( mmu `  n ) )  <_ 
1 )
7857, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
mmu `  n )
)  <_  1 )
7961, 52, 62, 52, 63, 64, 76, 78lemul12ad 9632 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( abs `  ( mmu `  n
) ) )  <_ 
( 1  x.  1 ) )
80 1t1e1 9802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
8179, 80syl6breq 4002 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( abs `  ( mmu `  n
) ) )  <_ 
1 )
8260, 81eqbrtrd 3983 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  1 )
8344, 46, 52, 82fsumle 12187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) 1 )
84 ax-1cn 8728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
8584a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  1  e.  CC )
86 fsumconst 12182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin  /\  1  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  1 ) )
8744, 85, 86syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) 1  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  1 ) )
88 flge1nn 10880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
898, 88sylan 459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  NN )
9089nnnn0d 9950 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e. 
NN0 )
91 hashfz1 11276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( # `
 ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  =  ( |_ `  x
) )
9392oveq1d 5772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  x.  1 )  =  ( ( |_ `  x )  x.  1 ) )
9451recnd 8794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  CC )
9594mulid1d 8785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( |_ `  x
)  x.  1 )  =  ( |_ `  x ) )
9687, 93, 953eqtrd 2292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) 1  =  ( |_
`  x ) )
9783, 96breqtrd 3987 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  ( |_ `  x ) )
98 flle 10862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
9948, 98syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
10047, 51, 48, 97, 99letrd 8906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  x )
10143, 47, 48, 49, 100letrd 8906 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  x )
10234mulid1d 8785 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
x  x.  1 )  =  x )
103101, 102breqtrrd 3989 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  ( x  x.  1 ) )
1041a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  1  e.  RR )
10543, 104, 65ledivmuld 10371 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  x )  <_ 
1  <->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  <_  ( x  x.  1 ) ) )
106103, 105mpbird 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  /  x )  <_ 
1 )
10742, 106eqbrtrd 3983 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  <_ 
1 )
108107adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  <_ 
1 )
10932, 26, 2, 2, 108elo1d 11940 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
110 divrcnv 12238 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  CC  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0 )
11184, 110ax-mp 10 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0
112 rlimo1 12020 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  ~~> r  0  ->  (
x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
113111, 112mp1i 13 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x
) )  e.  O
( 1 ) )
114 o1add 12017 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  e.  O ( 1 )  /\  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )  ->  ( (
x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  o F  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
115109, 113, 114syl2anc 645 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x ) )  o F  +  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  /  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
11631, 115eqeltrrd 2331 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )  e.  O
( 1 ) )
117 ovex 5782 . . . 4  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) )  e.  _V
118117a1i 12 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) )  e.  _V )
11919zred 10049 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  RR )
120119, 17nndivred 9727 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  RR )
121120recnd 8794 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  CC )
1227, 121fsumcl 12136 . . . 4  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
123122adantl 454 . . 3  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
124122adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
125124abscld 11848 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  e.  RR )
126121adantlr 698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
12744, 34, 126fsummulc2 12176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( x  x.  ( ( mmu `  n )  /  n
) ) )
12815, 20mulcld 8788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( |_ `  ( x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n
) )  e.  CC )
129128adantlr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( |_
`  ( x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n
) )  e.  CC )
13044, 45, 129fsumadd 12141 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( mmu `  n
) )  +  ( ( |_ `  (
x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( |_ `  (
x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n ) ) ) )
13112adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  CC )
13215adantlr 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( |_ `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
133131, 132npcand 9094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  +  ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  =  ( x  /  n ) )
134133oveq1d 5772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  +  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( mmu `  n
) )  =  ( ( x  /  n
)  x.  ( mmu `  n ) ) )
13553, 132, 59adddird 8793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  +  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( mmu `  n
) )  =  ( ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  ( ( |_ `  ( x  /  n
) )  x.  (
mmu `  n )
) ) )
13634adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  x  e.  CC )
13757nnrpd 10321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
138 rpcnne0 10303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
139137, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
140 div23 9376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( mmu `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( x  x.  ( mmu `  n ) )  /  n )  =  ( ( x  /  n
)  x.  ( mmu `  n ) ) )
141 divass 9375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( mmu `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( x  x.  ( mmu `  n ) )  /  n )  =  ( x  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )
142140, 141eqtr3d 2290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( mmu `  n )  e.  CC  /\  (
n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  ->  ( ( x  /  n )  x.  ( mmu `  n
) )  =  ( x  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )
143136, 59, 139, 142syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( x  /  n )  x.  ( mmu `  n
) )  =  ( x  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )
144134, 135, 1433eqtr3d 2296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  ( ( |_ `  ( x  /  n
) )  x.  (
mmu `  n )
) )  =  ( x  x.  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )
145144sumeq2dv 12106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  x.  ( mmu `  n
) )  +  ( ( |_ `  (
x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( x  x.  (
( mmu `  n
)  /  n ) ) )
146 eqidd 2257 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( n  x.  m )  ->  (
mmu `  n )  =  ( mmu `  n ) )
147 ssrab2 3200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  C_  NN
148 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )
149147, 148sseldi 3120 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  n  e.  NN )
150149, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  (
mmu `  n )  e.  ZZ )
151150zcnd 10050 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  (
mmu `  n )  e.  CC )
152146, 48, 151dvdsflsumcom 20355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
mmu `  n )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( mmu `  n ) )
1531513impb 1152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  k  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  (
mmu `  n )  e.  CC )
154153mulid1d 8785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  k  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) )  /\  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )  ->  (
( mmu `  n
)  x.  1 )  =  ( mmu `  n ) )
1551542sumeq2dv 12108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
( mmu `  n
)  x.  1 )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
mmu `  n )
)
156 eqidd 2257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  1  ->  1  =  1 )
157 nnuz 10195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
15889, 157syl6eleq 2346 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
159 eluzfz1 10734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
160158, 159syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
16184a1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  k  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
162156, 44, 56, 160, 161musumsum 20359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
( mmu `  n
)  x.  1 )  =  1 )
163155, 162eqtr3d 2290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
mmu `  n )  =  1 )
164 fzfid 10966 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  e.  Fin )
165 fsumconst 12182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  e.  Fin  /\  (
mmu `  n )  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( mmu `  n
)  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) )  x.  ( mmu `  n
) ) )
166164, 59, 165syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( mmu `  n
)  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) )  x.  ( mmu `  n
) ) )
167 rprege0 10300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( ( x  /  n )  e.  RR  /\  0  <_  ( x  /  n
) ) )
16868, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( x  /  n )  e.  RR  /\  0  <_ 
( x  /  n
) ) )
169 flge0nn0 10879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  /  n
)  e.  RR  /\  0  <_  ( x  /  n ) )  -> 
( |_ `  (
x  /  n ) )  e.  NN0 )
170 hashfz1 11276 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( |_ `  ( x  /  n ) )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )
171168, 169, 1703syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( # `  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) )  =  ( |_ `  ( x  /  n
) ) )
172171oveq1d 5772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( # `  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  =  ( ( |_ `  ( x  /  n
) )  x.  (
mmu `  n )
) )
173166, 172eqtrd 2288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( mmu `  n
)  =  ( ( |_ `  ( x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )
174173sumeq2dv 12106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( mmu `  n )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( |_ `  ( x  /  n
) )  x.  (
mmu `  n )
) )
175152, 163, 1743eqtr3rd 2297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( |_ `  ( x  /  n
) )  x.  (
mmu `  n )
)  =  1 )
176175oveq2d 5773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  + 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( |_ `  (
x  /  n ) )  x.  ( mmu `  n ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 ) )
177130, 145, 1763eqtr3d 2296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( x  x.  (
( mmu `  n
)  /  n ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 ) )
178127, 177eqtrd 2288 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 ) )
179178oveq1d 5772 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n ) )  /  x )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 )  /  x
) )
180124, 34, 35divcan3d 9474 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( x  x.  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n ) )  /  x )  = 
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n ) )
181 rpcnne0 10303 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
182181adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
183 divdir 9380 . . . . . . . 8  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  e.  CC  /\  1  e.  CC  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )  -> 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 )  /  x
)  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )
18433, 85, 182, 183syl3anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  +  1 )  /  x
)  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )
185179, 180, 1843eqtr3d 2296 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  =  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) )
186185fveq2d 5427 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  ( abs `  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
187 eqle 8856 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n ) )  e.  RR  /\  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  ( abs `  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n ) )  <_  ( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
188125, 186, 187syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  <_  ( abs `  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( x  /  n
)  -  ( |_
`  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
189188adantl 454 . . 3  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n ) )  <_  ( abs `  (
( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( x  /  n )  -  ( |_ `  ( x  /  n ) ) )  x.  ( mmu `  n ) )  /  x )  +  ( 1  /  x ) ) ) )
1902, 116, 118, 123, 189o1le 12056 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n ) )  e.  O ( 1 ) )
191190trud 1320 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  e.  O
( 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    /\ w3a 939    T. wtru 1312    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2419   {crab 2519   _Vcvv 2740    C_ wss 3094   class class class wbr 3963    e. cmpt 4017   ` cfv 4638  (class class class)co 5757    o Fcof 5975   Fincfn 6796   CCcc 8668   RRcr 8669   0cc0 8670   1c1 8671    + caddc 8673    x. cmul 8675    <_ cle 8801    - cmin 8970    / cdiv 9356   NNcn 9679   NN0cn0 9897   ZZcz 9956   ZZ>=cuz 10162   RR+crp 10286   ...cfz 10713   |_cfl 10855   #chash 11268   abscabs 11649    ~~> r crli 11889   O ( 1 )co1 11890   sum_csu 12088    || cdivides 12458   mmucmu 20259
This theorem is referenced by:  mulogsumlem  20607  mulog2sumlem3  20612  selberglem1  20621
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-inf2 7275  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747  ax-pre-sup 8748
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-disj 3935  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-se 4290  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-isom 4655  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-of 5977  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-iota 6190  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-2o 6413  df-oadd 6416  df-er 6593  df-map 6707  df-pm 6708  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-sup 7127  df-oi 7158  df-card 7505  df-cda 7727  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-div 9357  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-q 10249  df-rp 10287  df-ico 10593  df-fz 10714  df-fzo 10802  df-fl 10856  df-mod 10905  df-seq 10978  df-exp 11036  df-fac 11220  df-bc 11247  df-hash 11269  df-cj 11514  df-re 11515  df-im 11516  df-sqr 11650  df-abs 11651  df-clim 11892  df-rlim 11893  df-o1 11894  df-lo1 11895  df-sum 12089  df-divides 12459  df-gcd 12613  df-prime 12686  df-pc 12817  df-mu 20265
  Copyright terms: Public domain W3C validator