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Theorem muinv 20845
Description: The Möbius inversion formula. If  G ( n )  =  sum_ k  ||  n F ( k ) for every  n  e.  NN, then  F ( n )  = 
sum_ k  ||  n  mmu ( k ) G ( n  /  k )  = 
sum_ k  ||  n mmu ( n  /  k
) G ( k ), i.e. the Möbius function is the Dirichlet convolution inverse of the constant function  1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
muinv.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
muinv.2  |-  ( ph  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( F `  k
) ) )
Assertion
Ref Expression
muinv  |-  ( ph  ->  F  =  ( m  e.  NN  |->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
( ( mmu `  j )  x.  ( G `  ( m  /  j ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, m, j, n, F    x, j,
k, m, n    ph, j,
k, m
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    F( x)    G( x, j, k, m, n)

Proof of Theorem muinv
StepHypRef Expression
1 muinv.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
21feqmptd 5718 . 2  |-  ( ph  ->  F  =  ( m  e.  NN  |->  ( F `
 m ) ) )
3 muinv.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( F `  k
) ) )
43ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( F `  k ) ) )
54fveq1d 5670 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( G `  ( m  /  j
) )  =  ( ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( F `  k ) ) `  ( m  /  j
) ) )
6 breq1 4156 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  j  ->  (
x  ||  m  <->  j  ||  m ) )
76elrab 3035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  <->  ( j  e.  NN  /\  j  ||  m ) )
87simprbi 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  ->  j  ||  m )
98adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  j  ||  m )
10 elrabi 3033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  ->  j  e.  NN )
1110adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  j  e.  NN )
1211nnzd 10306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  j  e.  ZZ )
1311nnne0d 9976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  j  =/=  0 )
14 nnz 10235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
1514ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  m  e.  ZZ )
16 dvdsval2 12782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  j  =/=  0  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
j  ||  m  <->  ( m  /  j )  e.  ZZ ) )
1712, 13, 15, 16syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( j  ||  m  <->  ( m  / 
j )  e.  ZZ ) )
189, 17mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( m  /  j )  e.  ZZ )
19 nnre 9939 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR )
20 nngt0 9961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  0  <  m )
2119, 20jca 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  e.  RR  /\  0  <  m ) )
2221ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( m  e.  RR  /\  0  < 
m ) )
23 nnre 9939 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
24 nngt0 9961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  j )
2523, 24jca 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  e.  RR  /\  0  <  j ) )
2611, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( j  e.  RR  /\  0  < 
j ) )
27 divgt0 9810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  0  <  m )  /\  ( j  e.  RR  /\  0  < 
j ) )  -> 
0  <  ( m  /  j ) )
2822, 26, 27syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  0  <  ( m  /  j ) )
29 elnnz 10224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  /  j )  e.  NN  <->  ( (
m  /  j )  e.  ZZ  /\  0  <  ( m  /  j
) ) )
3018, 28, 29sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( m  /  j )  e.  NN )
31 breq2 4157 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  / 
j )  ->  (
x  ||  n  <->  x  ||  (
m  /  j ) ) )
3231rabbidv 2891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( m  / 
j )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  =  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( m  / 
j ) } )
3332sumeq1d 12422 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( m  / 
j )  ->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( F `  k
)  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) }  ( F `  k
) )
34 eqid 2387 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( F `  k
) )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( F `  k ) )
35 sumex 12408 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) }  ( F `  k
)  e.  _V
3633, 34, 35fvmpt 5745 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  /  j )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( F `  k ) ) `  ( m  /  j
) )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( F `
 k ) )
3730, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( F `  k ) ) `  ( m  /  j
) )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( F `
 k ) )
385, 37eqtrd 2419 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( G `  ( m  /  j
) )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( F `
 k ) )
3938oveq2d 6036 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
mmu `  j )  x.  ( G `  (
m  /  j ) ) )  =  ( ( mmu `  j
)  x.  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) }  ( F `  k
) ) )
40 fzfid 11239 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( 1 ... ( m  / 
j ) )  e. 
Fin )
41 sgmss 20756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  /  j )  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  C_  (
1 ... ( m  / 
j ) ) )
4230, 41syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  C_  (
1 ... ( m  / 
j ) ) )
43 ssfi 7265 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... (
m  /  j ) )  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  / 
j ) }  C_  ( 1 ... (
m  /  j ) ) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  e.  Fin )
4440, 42, 43syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  e.  Fin )
45 mucl 20791 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
mmu `  j )  e.  ZZ )
4611, 45syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( mmu `  j )  e.  ZZ )
4746zcnd 10308 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( mmu `  j )  e.  CC )
481ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  F : NN
--> CC )
49 elrabi 3033 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ->  k  e.  NN )
50 ffvelrn 5807 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> CC  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  CC )
5148, 49, 50syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) } )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
5244, 47, 51fsummulc2 12494 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
mmu `  j )  x.  sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( m  / 
j ) }  ( F `  k )
)  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k )
) )
5339, 52eqtrd 2419 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
mmu `  j )  x.  ( G `  (
m  /  j ) ) )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) ) )
5453sumeq2dv 12424 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
( ( mmu `  j )  x.  ( G `  ( m  /  j ) ) )  =  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) ) )
55 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
5647adantrr 698 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) } ) )  ->  (
mmu `  j )  e.  CC )
5751anasss 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) } ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
5856, 57mulcld 9041 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) } ) )  ->  (
( mmu `  j
)  x.  ( F `
 k ) )  e.  CC )
5955, 58fsumdvdsdiag 20836 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) )  = 
sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  m } sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) ) )
60 ssrab2 3371 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  C_  NN
61 dvdsdivcl 20833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  ->  (
m  /  k )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )
6261adantll 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( m  /  k )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  m }
)
6360, 62sseldi 3289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( m  /  k )  e.  NN )
64 musum 20843 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  /  k )  e.  NN  ->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) }  ( mmu `  j
)  =  if ( ( m  /  k
)  =  1 ,  1 ,  0 ) )
6563, 64syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  sum_ j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) }  ( mmu `  j
)  =  if ( ( m  /  k
)  =  1 ,  1 ,  0 ) )
6665oveq1d 6035 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  ( mmu `  j )  x.  ( F `  k )
)  =  ( if ( ( m  / 
k )  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  ( F `
 k ) ) )
67 fzfid 11239 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( 1 ... ( m  / 
k ) )  e. 
Fin )
68 sgmss 20756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  /  k )  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  C_  (
1 ... ( m  / 
k ) ) )
6963, 68syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  C_  (
1 ... ( m  / 
k ) ) )
70 ssfi 7265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... (
m  /  k ) )  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  / 
k ) }  C_  ( 1 ... (
m  /  k ) ) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  e.  Fin )
7167, 69, 70syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  e.  Fin )
721adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F : NN
--> CC )
73 elrabi 3033 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  ->  k  e.  NN )
7472, 73, 50syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
75 ssrab2 3371 . . . . . . . . . . 11  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  C_  NN
76 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) } )  ->  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  / 
k ) } )
7775, 76sseldi 3289 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) } )  ->  j  e.  NN )
7877, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) } )  ->  ( mmu `  j )  e.  ZZ )
7978zcnd 10308 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) } )  ->  ( mmu `  j )  e.  CC )
8071, 74, 79fsummulc1 12495 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  ( mmu `  j )  x.  ( F `  k )
)  =  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k )
) )
81 oveq1 6027 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( ( m  / 
k )  =  1 ,  1 ,  0 )  =  1  -> 
( if ( ( m  /  k )  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  ( F `  k
) )  =  ( 1  x.  ( F `
 k ) ) )
82 oveq1 6027 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( ( m  / 
k )  =  1 ,  1 ,  0 )  =  0  -> 
( if ( ( m  /  k )  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  ( F `  k
) )  =  ( 0  x.  ( F `
 k ) ) )
8381, 82ifsb 3691 . . . . . . . 8  |-  ( if ( ( m  / 
k )  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  ( F `
 k ) )  =  if ( ( m  /  k )  =  1 ,  ( 1  x.  ( F `
 k ) ) ,  ( 0  x.  ( F `  k
) ) )
84 nncn 9940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
8584ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  m  e.  CC )
8673adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  k  e.  NN )
8786nncnd 9948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  k  e.  CC )
88 ax-1cn 8981 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
8988a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  1  e.  CC )
9086nnne0d 9976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  k  =/=  0 )
9185, 87, 89, 90divmuld 9744 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
m  /  k )  =  1  <->  ( k  x.  1 )  =  m ) )
9287mulid1d 9038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( k  x.  1 )  =  k )
9392eqeq1d 2395 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
k  x.  1 )  =  m  <->  k  =  m ) )
9491, 93bitrd 245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
m  /  k )  =  1  <->  k  =  m ) )
9574mulid2d 9039 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( 1  x.  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
) )
9674mul02d 9196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( 0  x.  ( F `  k ) )  =  0 )
9794, 95, 96ifbieq12d 3704 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  if (
( m  /  k
)  =  1 ,  ( 1  x.  ( F `  k )
) ,  ( 0  x.  ( F `  k ) ) )  =  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
9883, 97syl5eq 2431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( if ( ( m  / 
k )  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  ( F `
 k ) )  =  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
9966, 80, 983eqtr3d 2427 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  sum_ j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k )
)  =  if ( k  =  m ,  ( F `  k
) ,  0 ) )
10099sumeq2dv 12424 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) )  = 
sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  m } if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
10155nnzd 10306 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
102 iddvds 12790 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  ||  m )
103101, 102syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  ||  m )
104 breq1 4156 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  m  ->  (
x  ||  m  <->  m  ||  m
) )
105104elrab 3035 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  <->  ( m  e.  NN  /\  m  ||  m ) )
10655, 103, 105sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  m }
)
107106snssd 3886 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  { m }  C_  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )
108107sselda 3291 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { m } )  ->  k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  m } )
109108, 74syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { m } )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
110 0cn 9017 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
111 ifcl 3718 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( k  =  m ,  ( F `
 k ) ,  0 )  e.  CC )
112109, 110, 111sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { m } )  ->  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  e.  CC )
113 eldifsni 3871 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( { x  e.  NN  |  x  ||  m }  \  { m } )  ->  k  =/=  m )
114113adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( { x  e.  NN  |  x  ||  m }  \  { m } ) )  -> 
k  =/=  m )
115114neneqd 2566 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( { x  e.  NN  |  x  ||  m }  \  { m } ) )  ->  -.  k  =  m
)
116 iffalse 3689 . . . . . . 7  |-  ( -.  k  =  m  ->  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  0 )
117115, 116syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( { x  e.  NN  |  x  ||  m }  \  { m } ) )  ->  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  0 )
118 fzfid 11239 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 1 ... m )  e. 
Fin )
119 sgmss 20756 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  C_  ( 1 ... m ) )
120119adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  C_  ( 1 ... m ) )
121 ssfi 7265 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  C_  ( 1 ... m
) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  e.  Fin )
122118, 120, 121syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  e.  Fin )
123107, 112, 117, 122fsumss 12446 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  { m } if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
1241ffvelrnda 5809 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  e.  CC )
125 iftrue 3688 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  ( F `
 k ) )
126 fveq2 5668 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
127125, 126eqtrd 2419 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  ( F `
 m ) )
128127sumsn 12461 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( F `  m )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  { m } if ( k  =  m ,  ( F `
 k ) ,  0 )  =  ( F `  m ) )
12955, 124, 128syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  { m } if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  ( F `
 m ) )
130100, 123, 1293eqtr2d 2425 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) )  =  ( F `  m
) )
13154, 59, 1303eqtrd 2423 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
( ( mmu `  j )  x.  ( G `  ( m  /  j ) ) )  =  ( F `
 m ) )
132131mpteq2dva 4236 . 2  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  ( (
mmu `  j )  x.  ( G `  (
m  /  j ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( F `  m ) ) )
1332, 132eqtr4d 2422 1  |-  ( ph  ->  F  =  ( m  e.  NN  |->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
( ( mmu `  j )  x.  ( G `  ( m  /  j ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   {crab 2653    \ cdif 3260    C_ wss 3263   ifcif 3682   {csn 3757   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   -->wf 5390   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Fincfn 7045   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    x. cmul 8928    < clt 9053    / cdiv 9609   NNcn 9932   ZZcz 10214   ...cfz 10975   sum_csu 12406    || cdivides 12779   mmucmu 20744
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem1  21056  logsqvma2  21104
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-disj 4124  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-mod 11178  df-seq 11251  df-exp 11310  df-fac 11494  df-bc 11521  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-sum 12407  df-dvds 12780  df-gcd 12934  df-prm 13007  df-pc 13138  df-mu 20750
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