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Theorem muinv 20978
Description: The Möbius inversion formula. If  G ( n )  =  sum_ k  ||  n F ( k ) for every  n  e.  NN, then  F ( n )  = 
sum_ k  ||  n  mmu ( k ) G ( n  /  k )  = 
sum_ k  ||  n mmu ( n  /  k
) G ( k ), i.e. the Möbius function is the Dirichlet convolution inverse of the constant function  1. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jul-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
muinv.1  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
muinv.2  |-  ( ph  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( F `  k
) ) )
Assertion
Ref Expression
muinv  |-  ( ph  ->  F  =  ( m  e.  NN  |->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
( ( mmu `  j )  x.  ( G `  ( m  /  j ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    k, m, j, n, F    x, j,
k, m, n    ph, j,
k, m
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    F( x)    G( x, j, k, m, n)

Proof of Theorem muinv
StepHypRef Expression
1 muinv.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F : NN --> CC )
21feqmptd 5779 . 2  |-  ( ph  ->  F  =  ( m  e.  NN  |->  ( F `
 m ) ) )
3 muinv.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( F `  k
) ) )
43ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  G  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( F `  k ) ) )
54fveq1d 5730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( G `  ( m  /  j
) )  =  ( ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( F `  k ) ) `  ( m  /  j
) ) )
6 breq1 4215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  j  ->  (
x  ||  m  <->  j  ||  m ) )
76elrab 3092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  <->  ( j  e.  NN  /\  j  ||  m ) )
87simprbi 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  ->  j  ||  m )
98adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  j  ||  m )
10 elrabi 3090 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  ->  j  e.  NN )
1110adantl 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  j  e.  NN )
1211nnzd 10374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  j  e.  ZZ )
1311nnne0d 10044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  j  =/=  0 )
14 nnz 10303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  ZZ )
1514ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  m  e.  ZZ )
16 dvdsval2 12855 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  j  =/=  0  /\  m  e.  ZZ )  ->  (
j  ||  m  <->  ( m  /  j )  e.  ZZ ) )
1712, 13, 15, 16syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( j  ||  m  <->  ( m  / 
j )  e.  ZZ ) )
189, 17mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( m  /  j )  e.  ZZ )
19 nnre 10007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR )
20 nngt0 10029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  0  <  m )
2119, 20jca 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  e.  RR  /\  0  <  m ) )
2221ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( m  e.  RR  /\  0  < 
m ) )
23 nnre 10007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  RR )
24 nngt0 10029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  NN  ->  0  <  j )
2523, 24jca 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  e.  RR  /\  0  <  j ) )
2611, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( j  e.  RR  /\  0  < 
j ) )
27 divgt0 9878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( m  e.  RR  /\  0  <  m )  /\  ( j  e.  RR  /\  0  < 
j ) )  -> 
0  <  ( m  /  j ) )
2822, 26, 27syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  0  <  ( m  /  j ) )
29 elnnz 10292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  /  j )  e.  NN  <->  ( (
m  /  j )  e.  ZZ  /\  0  <  ( m  /  j
) ) )
3018, 28, 29sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( m  /  j )  e.  NN )
31 breq2 4216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( m  / 
j )  ->  (
x  ||  n  <->  x  ||  (
m  /  j ) ) )
3231rabbidv 2948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( m  / 
j )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  =  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( m  / 
j ) } )
3332sumeq1d 12495 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( m  / 
j )  ->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( F `  k
)  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) }  ( F `  k
) )
34 eqid 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n } 
( F `  k
) )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( F `  k ) )
35 sumex 12481 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) }  ( F `  k
)  e.  _V
3633, 34, 35fvmpt 5806 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  /  j )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( F `  k ) ) `  ( m  /  j
) )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( F `
 k ) )
3730, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  n }  ( F `  k ) ) `  ( m  /  j
) )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( F `
 k ) )
385, 37eqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( G `  ( m  /  j
) )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( F `
 k ) )
3938oveq2d 6097 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
mmu `  j )  x.  ( G `  (
m  /  j ) ) )  =  ( ( mmu `  j
)  x.  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) }  ( F `  k
) ) )
40 fzfid 11312 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( 1 ... ( m  / 
j ) )  e. 
Fin )
41 sgmss 20889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  /  j )  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  C_  (
1 ... ( m  / 
j ) ) )
4230, 41syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  C_  (
1 ... ( m  / 
j ) ) )
43 ssfi 7329 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1 ... (
m  /  j ) )  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  / 
j ) }  C_  ( 1 ... (
m  /  j ) ) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  e.  Fin )
4440, 42, 43syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  e.  Fin )
45 mucl 20924 . . . . . . . . 9  |-  ( j  e.  NN  ->  (
mmu `  j )  e.  ZZ )
4611, 45syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( mmu `  j )  e.  ZZ )
4746zcnd 10376 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( mmu `  j )  e.  CC )
481ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  F : NN
--> CC )
49 elrabi 3090 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ->  k  e.  NN )
50 ffvelrn 5868 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> CC  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  CC )
5148, 49, 50syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) } )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
5244, 47, 51fsummulc2 12567 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
mmu `  j )  x.  sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  ( m  / 
j ) }  ( F `  k )
)  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k )
) )
5339, 52eqtrd 2468 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
mmu `  j )  x.  ( G `  (
m  /  j ) ) )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) ) )
5453sumeq2dv 12497 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
( ( mmu `  j )  x.  ( G `  ( m  /  j ) ) )  =  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) ) )
55 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
5647adantrr 698 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) } ) )  ->  (
mmu `  j )  e.  CC )
5751anasss 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) } ) )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
5856, 57mulcld 9108 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j ) } ) )  ->  (
( mmu `  j
)  x.  ( F `
 k ) )  e.  CC )
5955, 58fsumdvdsdiag 20969 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  j
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) )  = 
sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  m } sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) ) )
60 ssrab2 3428 . . . . . . . . . 10  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  C_  NN
61 dvdsdivcl 20966 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( m  e.  NN  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  ->  (
m  /  k )  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )
6261adantll 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( m  /  k )  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  m }
)
6360, 62sseldi 3346 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( m  /  k )  e.  NN )
64 musum 20976 . . . . . . . . 9  |-  ( ( m  /  k )  e.  NN  ->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) }  ( mmu `  j
)  =  if ( ( m  /  k
)  =  1 ,  1 ,  0 ) )
6563, 64syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  sum_ j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) }  ( mmu `  j
)  =  if ( ( m  /  k
)  =  1 ,  1 ,  0 ) )
6665oveq1d 6096 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  ( mmu `  j )  x.  ( F `  k )
)  =  ( if ( ( m  / 
k )  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  ( F `
 k ) ) )
67 fzfid 11312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( 1 ... ( m  / 
k ) )  e. 
Fin )
68 sgmss 20889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( m  /  k )  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  C_  (
1 ... ( m  / 
k ) ) )
6963, 68syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  C_  (
1 ... ( m  / 
k ) ) )
70 ssfi 7329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... (
m  /  k ) )  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  / 
k ) }  C_  ( 1 ... (
m  /  k ) ) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  e.  Fin )
7167, 69, 70syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  e.  Fin )
721adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F : NN
--> CC )
73 elrabi 3090 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  ->  k  e.  NN )
7472, 73, 50syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( F `  k )  e.  CC )
75 ssrab2 3428 . . . . . . . . . . 11  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  C_  NN
76 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) } )  ->  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  / 
k ) } )
7775, 76sseldi 3346 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) } )  ->  j  e.  NN )
7877, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) } )  ->  ( mmu `  j )  e.  ZZ )
7978zcnd 10376 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )  /\  j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) } )  ->  ( mmu `  j )  e.  CC )
8071, 74, 79fsummulc1 12568 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  ( mmu `  j )  x.  ( F `  k )
)  =  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k )
) )
81 oveq1 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( ( m  / 
k )  =  1 ,  1 ,  0 )  =  1  -> 
( if ( ( m  /  k )  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  ( F `  k
) )  =  ( 1  x.  ( F `
 k ) ) )
82 oveq1 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( ( m  / 
k )  =  1 ,  1 ,  0 )  =  0  -> 
( if ( ( m  /  k )  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  ( F `  k
) )  =  ( 0  x.  ( F `
 k ) ) )
8381, 82ifsb 3748 . . . . . . . 8  |-  ( if ( ( m  / 
k )  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  ( F `
 k ) )  =  if ( ( m  /  k )  =  1 ,  ( 1  x.  ( F `
 k ) ) ,  ( 0  x.  ( F `  k
) ) )
84 nncn 10008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
8584ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  m  e.  CC )
8673adantl 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  k  e.  NN )
8786nncnd 10016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  k  e.  CC )
88 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
8988a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  1  e.  CC )
9086nnne0d 10044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  k  =/=  0 )
9185, 87, 89, 90divmuld 9812 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
m  /  k )  =  1  <->  ( k  x.  1 )  =  m ) )
9287mulid1d 9105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( k  x.  1 )  =  k )
9392eqeq1d 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
k  x.  1 )  =  m  <->  k  =  m ) )
9491, 93bitrd 245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( (
m  /  k )  =  1  <->  k  =  m ) )
9574mulid2d 9106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( 1  x.  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
) )
9674mul02d 9264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( 0  x.  ( F `  k ) )  =  0 )
9794, 95, 96ifbieq12d 3761 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  if (
( m  /  k
)  =  1 ,  ( 1  x.  ( F `  k )
) ,  ( 0  x.  ( F `  k ) ) )  =  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
9883, 97syl5eq 2480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  ( if ( ( m  / 
k )  =  1 ,  1 ,  0 )  x.  ( F `
 k ) )  =  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
9966, 80, 983eqtr3d 2476 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }
)  ->  sum_ j  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k ) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k )
)  =  if ( k  =  m ,  ( F `  k
) ,  0 ) )
10099sumeq2dv 12497 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) )  = 
sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  m } if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
10155nnzd 10374 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  ZZ )
102 iddvds 12863 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  ||  m )
103101, 102syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  ||  m )
104 breq1 4215 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  m  ->  (
x  ||  m  <->  m  ||  m
) )
105104elrab 3092 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  <->  ( m  e.  NN  /\  m  ||  m ) )
10655, 103, 105sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e. 
{ x  e.  NN  |  x  ||  m }
)
107106snssd 3943 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  { m }  C_  { x  e.  NN  |  x  ||  m } )
108107sselda 3348 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { m } )  ->  k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  m } )
109108, 74syldan 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { m } )  ->  ( F `  k )  e.  CC )
110 0cn 9084 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
111 ifcl 3775 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( k  =  m ,  ( F `
 k ) ,  0 )  e.  CC )
112109, 110, 111sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  { m } )  ->  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  e.  CC )
113 eldifsni 3928 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( { x  e.  NN  |  x  ||  m }  \  { m } )  ->  k  =/=  m )
114113adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( { x  e.  NN  |  x  ||  m }  \  { m } ) )  -> 
k  =/=  m )
115114neneqd 2617 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( { x  e.  NN  |  x  ||  m }  \  { m } ) )  ->  -.  k  =  m
)
116 iffalse 3746 . . . . . . 7  |-  ( -.  k  =  m  ->  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  0 )
117115, 116syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  k  e.  ( { x  e.  NN  |  x  ||  m }  \  { m } ) )  ->  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  0 )
118 fzfid 11312 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 1 ... m )  e. 
Fin )
119 sgmss 20889 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  C_  ( 1 ... m ) )
120119adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  C_  ( 1 ... m ) )
121 ssfi 7329 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... m
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  C_  ( 1 ... m
) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  e.  Fin )
122118, 120, 121syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  e.  Fin )
123107, 112, 117, 122fsumss 12519 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  { m } if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 ) )
1241ffvelrnda 5870 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  e.  CC )
125 iftrue 3745 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  ( F `
 k ) )
126 fveq2 5728 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  m  ->  ( F `  k )  =  ( F `  m ) )
127125, 126eqtrd 2468 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  ( F `
 m ) )
128127sumsn 12534 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( F `  m )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  { m } if ( k  =  m ,  ( F `
 k ) ,  0 )  =  ( F `  m ) )
12955, 124, 128syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  { m } if ( k  =  m ,  ( F `  k ) ,  0 )  =  ( F `
 m ) )
130100, 123, 1293eqtr2d 2474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  ( m  /  k
) }  ( ( mmu `  j )  x.  ( F `  k ) )  =  ( F `  m
) )
13154, 59, 1303eqtrd 2472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
( ( mmu `  j )  x.  ( G `  ( m  /  j ) ) )  =  ( F `
 m ) )
132131mpteq2dva 4295 . 2  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m }  ( (
mmu `  j )  x.  ( G `  (
m  /  j ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( F `  m ) ) )
1332, 132eqtr4d 2471 1  |-  ( ph  ->  F  =  ( m  e.  NN  |->  sum_ j  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  m } 
( ( mmu `  j )  x.  ( G `  ( m  /  j ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   {crab 2709    \ cdif 3317    C_ wss 3320   ifcif 3739   {csn 3814   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Fincfn 7109   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    x. cmul 8995    < clt 9120    / cdiv 9677   NNcn 10000   ZZcz 10282   ...cfz 11043   sum_csu 12479    || cdivides 12852   mmucmu 20877
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem1  21189  logsqvma2  21237
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-disj 4183  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-clim 12282  df-sum 12480  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-pc 13211  df-mu 20883
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