MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul01 Unicode version

Theorem mul01 8993
Description: Multiplication by  0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 15-May-1999.) (Revised by Scott Fenton, 3-Jan-2013.)
Assertion
Ref Expression
mul01  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )

Proof of Theorem mul01
StepHypRef Expression
1 0cn 8833 . . 3  |-  0  e.  CC
2 mulcom 8825 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( A  x.  0 )  =  ( 0  x.  A ) )
31, 2mpan2 652 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  0 )  =  ( 0  x.  A ) )
4 mul02 8992 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  x.  A )  =  0 )
53, 4eqtrd 2317 1  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1625    e. wcel 1686  (class class class)co 5860   CCcc 8737   0cc0 8739    x. cmul 8744
This theorem is referenced by:  addid1  8994  cnegex  8995  mul01i  9004  mul01d  9013  bernneq  11229  bcval5  11332  geo2lim  12333  efexp  12383  gcdmultiplez  12732  plymul0or  19663  fta1lem  19689  1cxp  20021  cxpmul2  20038  efrlim  20266  lgsne0  20574  vcz  21128  blocnilem  21384  hvmul0  21605  ocsh  21864  0lnfn  22567  nlelshi  22642  stoweidlem26  27786  stoweidlem37  27797  stoweidlem44  27804
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-ltxr 8874
  Copyright terms: Public domain W3C validator