MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul01d Unicode version

Theorem mul01d 8979
Description: Multiplication by  0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
mul01d  |-  ( ph  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )

Proof of Theorem mul01d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mul01 8959 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
31, 2syl 17 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621  (class class class)co 5792   CCcc 8703   0cc0 8705    x. cmul 8710
This theorem is referenced by:  mulge0  9259  mul0or  9376  diveq0  9402  div0  9420  lemul1a  9578  un0mulcl  9965  rexmul  10557  modid  10959  expmul  11113  sqlecan  11175  discr  11204  hashf1lem2  11359  hashf1  11360  fsummulc2  12211  geolim  12288  geomulcvg  12294  0dvds  12511  smumullem  12645  bezoutlem1  12679  mulgcddvds  12745  prmdiv  12815  pcaddlem  12898  qexpz  12911  prmreclem4  12928  prmreclem5  12929  mulgnn0ass  14558  odadd2  15103  isabvd  15547  nmolb2d  18189  nmoleub  18202  reparphti  18457  pcorevlem  18486  itg1val2  19001  i1fmullem  19011  itg1addlem4  19016  itg10a  19027  itg1ge0a  19028  itg2const  19057  itg2monolem1  19067  itg0  19096  itgz  19097  iblmulc2  19147  itgmulc2lem1  19148  bddmulibl  19155  dvcnp2  19231  dvcobr  19257  dvlip  19302  dvlipcn  19303  c1lip1  19306  dvlt0  19314  plymullem1  19558  coefv0  19591  coemullem  19593  coemulhi  19597  dgrmulc  19614  dgrcolem2  19617  dvply1  19626  plydivlem3  19637  elqaalem2  19662  elqaalem3  19663  tayl0  19703  dvtaylp  19711  radcnv0  19754  dvradcnv  19759  pserdvlem2  19766  abelthlem2  19770  pilem2  19790  sinmpi  19817  cosmpi  19818  sinppi  19819  cosppi  19820  tanregt0  19863  argregt0  19926  argrege0  19927  argimgt0  19928  logtayl  19969  mulcxplem  19993  mulcxp  19994  cxpmul2  19998  pythag  20077  quad2  20097  dcubic  20104  atans2  20189  mumul  20381  logexprlim  20426  dchrsum2  20469  sumdchr2  20471  lgsdilem  20523  lgsdirnn0  20540  lgsdinn0  20541  lgsquad3  20562  rpvmasumlem  20598  dchrisumlem1  20600  dchrvmasumiflem2  20613  rpvmasum2  20623  dchrisum0re  20624  pntrlog2bndlem4  20691  pntlemf  20716  pntleml  20722  ostth2lem2  20745  ostth3  20749  gxnn0mul  20904  nmlnoubi  21334  ipasslem2  21370  cdj3lem1  22974  zetacvg  23061  colinearalg  23913  geomcau  25842  bfp  25915  irrapxlem1  26274  pell1qr1  26323  pell1qrgaplem  26325  rmxy0  26375  jm2.18  26448  mpaaeu  26722
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-ltxr 8840
  Copyright terms: Public domain W3C validator