MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul01d Unicode version

Theorem mul01d 9027
Description: Multiplication by  0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
mul01d  |-  ( ph  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )

Proof of Theorem mul01d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mul01 9007 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753    x. cmul 8758
This theorem is referenced by:  mulge0  9307  mul0or  9424  diveq0  9450  div0  9468  lemul1a  9626  un0mulcl  10014  rexmul  10607  modid  11009  expmul  11163  sqlecan  11225  discr  11254  hashf1lem2  11410  hashf1  11411  fsummulc2  12262  geolim  12342  geomulcvg  12348  0dvds  12565  smumullem  12699  bezoutlem1  12733  mulgcddvds  12799  prmdiv  12869  pcaddlem  12952  qexpz  12965  prmreclem4  12982  prmreclem5  12983  mulgnn0ass  14612  odadd2  15157  isabvd  15601  nmolb2d  18243  nmoleub  18256  reparphti  18511  pcorevlem  18540  itg1val2  19055  i1fmullem  19065  itg1addlem4  19070  itg10a  19081  itg1ge0a  19082  itg2const  19111  itg2monolem1  19121  itg0  19150  itgz  19151  iblmulc2  19201  itgmulc2lem1  19202  bddmulibl  19209  dvcnp2  19285  dvcobr  19311  dvlip  19356  dvlipcn  19357  c1lip1  19360  dvlt0  19368  plymullem1  19612  coefv0  19645  coemullem  19647  coemulhi  19651  dgrmulc  19668  dgrcolem2  19671  dvply1  19680  plydivlem3  19691  elqaalem2  19716  elqaalem3  19717  tayl0  19757  dvtaylp  19765  radcnv0  19808  dvradcnv  19813  pserdvlem2  19820  abelthlem2  19824  pilem2  19844  sinmpi  19871  cosmpi  19872  sinppi  19873  cosppi  19874  tanregt0  19917  argregt0  19980  argrege0  19981  argimgt0  19982  logtayl  20023  mulcxplem  20047  mulcxp  20048  cxpmul2  20052  pythag  20131  quad2  20151  dcubic  20158  atans2  20243  mumul  20435  logexprlim  20480  dchrsum2  20523  sumdchr2  20525  lgsdilem  20577  lgsdirnn0  20594  lgsdinn0  20595  lgsquad3  20616  rpvmasumlem  20652  dchrisumlem1  20654  dchrvmasumiflem2  20667  rpvmasum2  20677  dchrisum0re  20678  pntrlog2bndlem4  20745  pntlemf  20770  pntleml  20776  ostth2lem2  20799  ostth3  20803  gxnn0mul  20960  nmlnoubi  21390  ipasslem2  21426  cdj3lem1  23030  xrge0iifhom  23334  zetacvg  23704  colinearalg  24610  ovoliunnfl  25001  itg2addnclem  25003  iblmulc2nc  25016  itgmulc2nclem1  25017  areacirc  25034  geomcau  26578  bfp  26651  irrapxlem1  27010  pell1qr1  27059  pell1qrgaplem  27061  rmxy0  27111  jm2.18  27184  mpaaeu  27458  stirlinglem7  27932  sharhght  27958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888
  Copyright terms: Public domain W3C validator