MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul01d Unicode version

Theorem mul01d 9011
Description: Multiplication by  0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
mul01d  |-  ( ph  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )

Proof of Theorem mul01d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mul01 8991 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  0 )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737    x. cmul 8742
This theorem is referenced by:  mulge0  9291  mul0or  9408  diveq0  9434  div0  9452  lemul1a  9610  un0mulcl  9998  rexmul  10591  modid  10993  expmul  11147  sqlecan  11209  discr  11238  hashf1lem2  11394  hashf1  11395  fsummulc2  12246  geolim  12326  geomulcvg  12332  0dvds  12549  smumullem  12683  bezoutlem1  12717  mulgcddvds  12783  prmdiv  12853  pcaddlem  12936  qexpz  12949  prmreclem4  12966  prmreclem5  12967  mulgnn0ass  14596  odadd2  15141  isabvd  15585  nmolb2d  18227  nmoleub  18240  reparphti  18495  pcorevlem  18524  itg1val2  19039  i1fmullem  19049  itg1addlem4  19054  itg10a  19065  itg1ge0a  19066  itg2const  19095  itg2monolem1  19105  itg0  19134  itgz  19135  iblmulc2  19185  itgmulc2lem1  19186  bddmulibl  19193  dvcnp2  19269  dvcobr  19295  dvlip  19340  dvlipcn  19341  c1lip1  19344  dvlt0  19352  plymullem1  19596  coefv0  19629  coemullem  19631  coemulhi  19635  dgrmulc  19652  dgrcolem2  19655  dvply1  19664  plydivlem3  19675  elqaalem2  19700  elqaalem3  19701  tayl0  19741  dvtaylp  19749  radcnv0  19792  dvradcnv  19797  pserdvlem2  19804  abelthlem2  19808  pilem2  19828  sinmpi  19855  cosmpi  19856  sinppi  19857  cosppi  19858  tanregt0  19901  argregt0  19964  argrege0  19965  argimgt0  19966  logtayl  20007  mulcxplem  20031  mulcxp  20032  cxpmul2  20036  pythag  20115  quad2  20135  dcubic  20142  atans2  20227  mumul  20419  logexprlim  20464  dchrsum2  20507  sumdchr2  20509  lgsdilem  20561  lgsdirnn0  20578  lgsdinn0  20579  lgsquad3  20600  rpvmasumlem  20636  dchrisumlem1  20638  dchrvmasumiflem2  20651  rpvmasum2  20661  dchrisum0re  20662  pntrlog2bndlem4  20729  pntlemf  20754  pntleml  20760  ostth2lem2  20783  ostth3  20787  gxnn0mul  20944  nmlnoubi  21374  ipasslem2  21410  cdj3lem1  23014  xrge0iifhom  23319  zetacvg  23689  colinearalg  24538  areacirc  24931  geomcau  26475  bfp  26548  irrapxlem1  26907  pell1qr1  26956  pell1qrgaplem  26958  rmxy0  27008  jm2.18  27081  mpaaeu  27355  stirlinglem7  27829  sharhght  27855
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872
  Copyright terms: Public domain W3C validator