Theorem mul01i 5585

Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18.

Hypothesis

Ref	Expression
mulzer.1	|- A e. CC

Assertion

Ref	Expression
mul01i	|- (A x. 0) = 0

Proof of Theorem mul01i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulzer.1	. . 3 |- A e. CC
2		0cn 5482	. . 3 |- 0 e. CC
3	1, 2, 2	subdii 5583	. 2 |- (A x. (0 - 0)) = ((A x. 0) - (A x. 0))
4	2	subidi 5545	. . 3 |- (0 - 0) = 0
5	4	opreq2i 4030	. 2 |- (A x. (0 - 0)) = (A x. 0)
6	1, 2	mulcli 5475	. . 3 |- (A x. 0) e. CC
7	6	subidi 5545	. 2 |- ((A x. 0) - (A x. 0)) = 0
8	3, 5, 7	3eqtr3i 1546	1 |- (A x. 0) = 0

Syntax hints:   = wceq 992   e. wcel 994  (class class class)co 4021  CCcc 5386  0cc0 5388   x. cmul 5393   - cmin 5446

This theorem is referenced by:  mul02i 5586  ine0 5588  1re 5589  mul01 5597  mulneg1i 5599  mulge0i 5761  msqge0i 5768  recextlem2 5839  mul0ori 5846  lt2msqi 6026  nn0mulcli 6290  discrlem1 6857  discrlem3 6859  sqr0 6873  sqrlem6 6879  sqrthi 6900  crne0i 6940  rimul 6945  reim0b 6976  rereb 6977  abs00i 7044  geolimilem 7440  sin0 7652  cos0 7654  sin4lt0 7690  demoivre 7695  ipid 8617  ip0r 8624  nmblolbii 8714  siilem1 8767  cospi 8949  eulerid 8950  sin2pi 8951  sinperlem1 8953  efper 9019  projlem7 9468  eigorthi 10043  lnopeq0i 10211  nmbdoplbi 10228  nmcoplbi 10237  nmbdfnlbi 10257  nmcfnlbi 10266  nmopcoi 10307  cdj3lem1 10643  csbrni 11895  bfplem8 12061  phtpyco 12098

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-0r 5325  df-1r 5326  df-m1r 5327  df-c 5394  df-0 5395  df-1 5396  df-i 5397  df-r 5398  df-plus 5399  df-mul 5400  df-sub 5510  df-neg 5512

Copyright terms: Public domain