MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02d Unicode version

Theorem mul02d 9010
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
mul02d  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  A
)  =  0 )

Proof of Theorem mul02d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mul02 8990 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  x.  A )  =  0 )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  A
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737    x. cmul 8742
This theorem is referenced by:  mulneg1  9216  mulge0  9291  mul0or  9408  prodgt0  9601  un0mulcl  9998  lincmb01cmp  10777  iccf1o  10778  discr1  11237  discr  11238  hashxplem  11385  remul2  11615  immul2  11622  binomlem  12287  geomulcvg  12332  efne0  12377  dvds0  12544  smumullem  12683  mulgcd  12725  qnumgt0  12821  pcexp  12912  vdwapun  13021  vdwlem1  13028  mulgnn0ass  14596  odmulg  14869  torsubg  15146  isabvd  15585  prmirredlem  16446  nmo0  18244  nmoeq0  18245  blcvx  18304  reparphti  18495  pcorevlem  18524  ipcau2  18664  itg1addlem4  19054  itg1addlem5  19055  itg1mulc  19059  itg2mulc  19102  dvcmul  19293  dvmptcmul  19313  dvexp3  19325  dvef  19327  dveq0  19347  dv11cn  19348  ply1termlem  19585  plyeq0lem  19592  plypf1  19594  plyaddlem1  19595  plymullem1  19596  coeeulem  19606  coeidlem  19619  coeid3  19622  coemullem  19631  coemulhi  19635  coemulc  19636  dgrco  19656  vieta1lem2  19691  elqaalem2  19700  aalioulem3  19714  taylthlem2  19753  abelthlem6  19812  pilem2  19828  sinhalfpip  19860  sinhalfpim  19861  coshalfpip  19862  coshalfpim  19863  logtayl  20007  mulcxp  20032  cxpmul2  20036  cxpeq  20097  chordthmlem5  20133  cubic  20145  atans2  20227  atantayl2  20234  leibpi  20238  efrlim  20264  scvxcvx  20280  amgm  20285  ftalem5  20314  basellem2  20319  mumul  20419  muinv  20433  dchrn0  20489  dchrinvcl  20492  lgsdirnn0  20578  lgsdinn0  20579  lgsquad2lem2  20598  rpvmasumlem  20636  dchrisum0flblem1  20657  rpvmasum2  20661  ostth2lem2  20783  nvz0  21234  ipasslem1  21409  hi01  21675  subfacp1lem6  23127  cvxpcon  23184  cvxscon  23185  brbtwn2  23944  axsegconlem1  23956  axpaschlem  23979  axcontlem7  24009  axcontlem8  24010  pell1234qrne0  26350  bezoutr1  26485  jm2.19lem3  26496  jm2.25  26504  flcidc  26791  dvconstbi  26963  itgsinexplem1  27160  sigarcol  27266  sharhght  27267
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-ltxr 8872
  Copyright terms: Public domain W3C validator