MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul02d Unicode version

Theorem mul02d 9026
Description: Multiplication by 0. Theorem I.6 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
muld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
mul02d  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  A
)  =  0 )

Proof of Theorem mul02d
StepHypRef Expression
1 muld.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mul02 9006 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
0  x.  A )  =  0 )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  A
)  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753    x. cmul 8758
This theorem is referenced by:  mulneg1  9232  mulge0  9307  mul0or  9424  prodgt0  9617  un0mulcl  10014  lincmb01cmp  10793  iccf1o  10794  discr1  11253  discr  11254  hashxplem  11401  remul2  11631  immul2  11638  binomlem  12303  geomulcvg  12348  efne0  12393  dvds0  12560  smumullem  12699  mulgcd  12741  qnumgt0  12837  pcexp  12928  vdwapun  13037  vdwlem1  13044  mulgnn0ass  14612  odmulg  14885  torsubg  15162  isabvd  15601  prmirredlem  16462  nmo0  18260  nmoeq0  18261  blcvx  18320  reparphti  18511  pcorevlem  18540  ipcau2  18680  itg1addlem4  19070  itg1addlem5  19071  itg1mulc  19075  itg2mulc  19118  dvcmul  19309  dvmptcmul  19329  dvexp3  19341  dvef  19343  dveq0  19363  dv11cn  19364  ply1termlem  19601  plyeq0lem  19608  plypf1  19610  plyaddlem1  19611  plymullem1  19612  coeeulem  19622  coeidlem  19635  coeid3  19638  coemullem  19647  coemulhi  19651  coemulc  19652  dgrco  19672  vieta1lem2  19707  elqaalem2  19716  aalioulem3  19730  taylthlem2  19769  abelthlem6  19828  pilem2  19844  sinhalfpip  19876  sinhalfpim  19877  coshalfpip  19878  coshalfpim  19879  logtayl  20023  mulcxp  20048  cxpmul2  20052  cxpeq  20113  chordthmlem5  20149  cubic  20161  atans2  20243  atantayl2  20250  leibpi  20254  efrlim  20280  scvxcvx  20296  amgm  20301  ftalem5  20330  basellem2  20335  mumul  20435  muinv  20449  dchrn0  20505  dchrinvcl  20508  lgsdirnn0  20594  lgsdinn0  20595  lgsquad2lem2  20614  rpvmasumlem  20652  dchrisum0flblem1  20673  rpvmasum2  20677  ostth2lem2  20799  nvz0  21250  ipasslem1  21425  hi01  21691  xrge0iifhom  23334  indsum  23621  subfacp1lem6  23731  cvxpcon  23788  cvxscon  23789  brbtwn2  24605  axsegconlem1  24617  axpaschlem  24640  axcontlem7  24670  axcontlem8  24671  pell1234qrne0  27041  bezoutr1  27176  jm2.19lem3  27187  jm2.25  27195  flcidc  27482  dvconstbi  27654  itgsinexplem1  27851  sigarcol  27957  sharhght  27958
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888
  Copyright terms: Public domain W3C validator