MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul2neg Unicode version

Theorem mul2neg 9437
Description: Product of two negatives. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
mul2neg  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  x.  -u B )  =  ( A  x.  B ) )

Proof of Theorem mul2neg
StepHypRef Expression
1 negcl 9270 . . 3  |-  ( B  e.  CC  ->  -u B  e.  CC )
2 mulneg12 9436 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  -u B  e.  CC )  ->  ( -u A  x.  -u B )  =  ( A  x.  -u -u B
) )
31, 2sylan2 461 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  x.  -u B )  =  ( A  x.  -u -u B
) )
4 negneg 9315 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  -u -u B  =  B )
54adantl 453 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
-u -u B  =  B )
65oveq2d 6064 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  -u -u B
)  =  ( A  x.  B ) )
73, 6eqtrd 2444 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  x.  -u B )  =  ( A  x.  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721  (class class class)co 6048   CCcc 8952    x. cmul 8959   -ucneg 9256
This theorem is referenced by:  mulsub  9440  mulsub2  9441  mul2negi  9445  mul2negd  9452  mullt0  9511  zmulcl  10288  sqneg  11405  sqrneglem  12035  absneg  12045  iseraltlem2  12439  sinneg  12710  cosneg  12711  negdvdsb  12829  atantan  20724  gxmul  21827  mulge0b  25152
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-riota 6516  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-ltxr 9089  df-sub 9257  df-neg 9258
  Copyright terms: Public domain W3C validator