Theorem mulasspq 5077

Description: Multiplication of positive fractions is associative.

Hypotheses

Ref	Expression
mulasspq.1	|- B e. V
mulasspq.2	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
mulasspq	|- ((A .Q B) .Q C) = (A .Q (B .Q C))

Proof of Theorem mulasspq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq 5050	. . 3 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
2		mulpipq 5067	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.(x .N z), (y .N w)>.] ~Q )
3		mulpipq 5067	. . 3 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> ([<.z, w>.] ~Q .Q [<.v, u>.] ~Q ) = [<.(z .N v), (w .N u)>.] ~Q )
4		mulpipq 5067	. . 3 |- ((((x .N z) e. N. /\ (y .N w) e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> ([<.(x .N z), (y .N w)>.] ~Q .Q [<.v, u>.] ~Q ) = [<.((x .N z) .N v), ((y .N w) .N u)>.] ~Q )
5		mulpipq 5067	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ ((z .N v) e. N. /\ (w .N u) e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q .Q [<.(z .N v), (w .N u)>.] ~Q ) = [<.(x .N (z .N v)), (y .N (w .N u))>.] ~Q )
6		mulclpi 5033	. . . . 5 |- ((x e. N. /\ z e. N.) -> (x .N z) e. N.)
7		mulclpi 5033	. . . . 5 |- ((y e. N. /\ w e. N.) -> (y .N w) e. N.)
8	6, 7	anim12i 333	. . . 4 |- (((x e. N. /\ z e. N.) /\ (y e. N. /\ w e. N.)) -> ((x .N z) e. N. /\ (y .N w) e. N.))
9	8	an4s 510	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ((x .N z) e. N. /\ (y .N w) e. N.))
10		mulclpi 5033	. . . . 5 |- ((z e. N. /\ v e. N.) -> (z .N v) e. N.)
11		mulclpi 5033	. . . . 5 |- ((w e. N. /\ u e. N.) -> (w .N u) e. N.)
12	10, 11	anim12i 333	. . . 4 |- (((z e. N. /\ v e. N.) /\ (w e. N. /\ u e. N.)) -> ((z .N v) e. N. /\ (w .N u) e. N.))
13	12	an4s 510	. . 3 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> ((z .N v) e. N. /\ (w .N u) e. N.))
14		visset 1816	. . . 4 |- z e. V
15		visset 1816	. . . 4 |- v e. V
16	14, 15	mulasspi 5037	. . 3 |- ((x .N z) .N v) = (x .N (z .N v))
17		visset 1816	. . . 4 |- w e. V
18		visset 1816	. . . 4 |- u e. V
19	17, 18	mulasspi 5037	. . 3 |- ((y .N w) .N u) = (y .N (w .N u))
20	1, 2, 3, 4, 5, 9, 13, 16, 19	ecoprass 4326	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q.) -> ((A .Q B) .Q C) = (A .Q (B .Q C)))
21		mulasspq.1	. . 3 |- B e. V
22		dmmulpq 5073	. . 3 |- dom .Q = (Q. X. Q.)
23		mulasspq.2	. . 3 |- C e. V
24		0npq 5062	. . 3 |- -. (/) e. Q.
25	21, 22, 23, 24	ndmoprass 4054	. 2 |- (-. (A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q.) -> ((A .Q B) .Q C) = (A .Q (B .Q C)))
26	20, 25	pm2.61i 126	1 |- ((A .Q B) .Q C) = (A .Q (B .Q C))

Syntax hints:   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  (class class class)co 3969  N.cnpi 4984   .N cmi 4986   ~Q ceq 4990  Q.cnq 4991   .Q cmq 4994

This theorem is referenced by:  recmulpq 5082  addclprlem2 5131  mulclprlem 5133  mulasspr 5138  1idpr 5145  prlem936a 5165  prlem936 5167  reclem3pr 5170

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-mi 5014  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-mq 5052

Copyright terms: Public domain