Theorem mulasssr 5353

Description: Multiplication of signed reals is associative.

Hypotheses

Ref	Expression
mulasssr.1	|- B e. V
mulasssr.2	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
mulasssr	|- ((A .R B) .R C) = (A .R (B .R C))

Proof of Theorem mulasssr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 5321	. . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
2		mulsrpr 5339	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) = [<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>.] ~R )
3		mulsrpr 5339	. . 3 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ([<.z, w>.] ~R .R [<.v, u>.] ~R ) = [<.((z .P. v) +P. (w .P. u)), ((z .P. u) +P. (w .P. v))>.] ~R )
4		mulsrpr 5339	. . 3 |- (((((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P. /\ ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ([<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>.] ~R .R [<.v, u>.] ~R ) = [<.((((x .P. z) +P. (y .P. w)) .P. v) +P. (((x .P. w) +P. (y .P. z)) .P. u)), ((((x .P. z) +P. (y .P. w)) .P. u) +P. (((x .P. w) +P. (y .P. z)) .P. v))>.] ~R )
5		mulsrpr 5339	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (((z .P. v) +P. (w .P. u)) e. P. /\ ((z .P. u) +P. (w .P. v)) e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.((z .P. v) +P. (w .P. u)), ((z .P. u) +P. (w .P. v))>.] ~R ) = [<.((x .P. ((z .P. v) +P. (w .P. u))) +P. (y .P. ((z .P. u) +P. (w .P. v)))), ((x .P. ((z .P. u) +P. (w .P. v))) +P. (y .P. ((z .P. v) +P. (w .P. u))))>.] ~R )
6		addclpr 5274	. . . . . 6 |- (((x .P. z) e. P. /\ (y .P. w) e. P.) -> ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.)
7		mulclpr 5276	. . . . . 6 |- ((x e. P. /\ z e. P.) -> (x .P. z) e. P.)
8		mulclpr 5276	. . . . . 6 |- ((y e. P. /\ w e. P.) -> (y .P. w) e. P.)
9	6, 7, 8	syl2an 456	. . . . 5 |- (((x e. P. /\ z e. P.) /\ (y e. P. /\ w e. P.)) -> ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.)
10	9	an4s 511	. . . 4 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.)
11		addclpr 5274	. . . . . 6 |- (((x .P. w) e. P. /\ (y .P. z) e. P.) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.)
12		mulclpr 5276	. . . . . 6 |- ((x e. P. /\ w e. P.) -> (x .P. w) e. P.)
13		mulclpr 5276	. . . . . 6 |- ((y e. P. /\ z e. P.) -> (y .P. z) e. P.)
14	11, 12, 13	syl2an 456	. . . . 5 |- (((x e. P. /\ w e. P.) /\ (y e. P. /\ z e. P.)) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.)
15	14	an42s 512	. . . 4 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.)
16	10, 15	jca 286	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> (((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P. /\ ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.))
17		addclpr 5274	. . . . . 6 |- (((z .P. v) e. P. /\ (w .P. u) e. P.) -> ((z .P. v) +P. (w .P. u)) e. P.)
18		mulclpr 5276	. . . . . 6 |- ((z e. P. /\ v e. P.) -> (z .P. v) e. P.)
19		mulclpr 5276	. . . . . 6 |- ((w e. P. /\ u e. P.) -> (w .P. u) e. P.)
20	17, 18, 19	syl2an 456	. . . . 5 |- (((z e. P. /\ v e. P.) /\ (w e. P. /\ u e. P.)) -> ((z .P. v) +P. (w .P. u)) e. P.)
21	20	an4s 511	. . . 4 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ((z .P. v) +P. (w .P. u)) e. P.)
22		addclpr 5274	. . . . . 6 |- (((z .P. u) e. P. /\ (w .P. v) e. P.) -> ((z .P. u) +P. (w .P. v)) e. P.)
23		mulclpr 5276	. . . . . 6 |- ((z e. P. /\ u e. P.) -> (z .P. u) e. P.)
24		mulclpr 5276	. . . . . 6 |- ((w e. P. /\ v e. P.) -> (w .P. v) e. P.)
25	22, 23, 24	syl2an 456	. . . . 5 |- (((z e. P. /\ u e. P.) /\ (w e. P. /\ v e. P.)) -> ((z .P. u) +P. (w .P. v)) e. P.)
26	25	an42s 512	. . . 4 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ((z .P. u) +P. (w .P. v)) e. P.)
27	21, 26	jca 286	. . 3 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> (((z .P. v) +P. (w .P. u)) e. P. /\ ((z .P. u) +P. (w .P. v)) e. P.))
28		visset 1859	. . . 4 |- x e. V
29		visset 1859	. . . 4 |- y e. V
30		visset 1859	. . . 4 |- z e. V
31		visset 1859	. . . . 5 |- f e. V
32		visset 1859	. . . . 5 |- g e. V
33	31, 32	mulcompr 5279	. . . 4 |- (f .P. g) = (g .P. f)
34		visset 1859	. . . . 5 |- h e. V
35	32, 34	distrpr 5286	. . . 4 |- (f .P. (g +P. h)) = ((f .P. g) +P. (f .P. h))
36		visset 1859	. . . 4 |- w e. V
37		visset 1859	. . . 4 |- v e. V
38	32, 34	mulasspr 5280	. . . 4 |- ((f .P. g) .P. h) = (f .P. (g .P. h))
39		visset 1859	. . . 4 |- u e. V
40	31, 32	addcompr 5277	. . . 4 |- (f +P. g) = (g +P. f)
41	32, 34	addasspr 5278	. . . 4 |- ((f +P. g) +P. h) = (f +P. (g +P. h))
42	28, 29, 30, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41	caoprlem2 4130	. . 3 |- ((((x .P. z) +P. (y .P. w)) .P. v) +P. (((x .P. w) +P. (y .P. z)) .P. u)) = ((x .P. ((z .P. v) +P. (w .P. u))) +P. (y .P. ((z .P. u) +P. (w .P. v))))
43	28, 29, 30, 33, 35, 36, 39, 38, 37, 40, 41	caoprlem2 4130	. . 3 |- ((((x .P. z) +P. (y .P. w)) .P. u) +P. (((x .P. w) +P. (y .P. z)) .P. v)) = ((x .P. ((z .P. u) +P. (w .P. v))) +P. (y .P. ((z .P. v) +P. (w .P. u))))
44	1, 2, 3, 4, 5, 16, 27, 42, 43	ecoprass 4461	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R. /\ C e. R.) -> ((A .R B) .R C) = (A .R (B .R C)))
45		mulasssr.1	. . 3 |- B e. V
46		dmmulsr 5349	. . 3 |- dom .R = (R. X. R.)
47		mulasssr.2	. . 3 |- C e. V
48		0nsr 5342	. . 3 |- -. (/) e. R.
49	45, 46, 47, 48	ndmoprass 4109	. 2 |- (-. (A e. R. /\ B e. R. /\ C e. R.) -> ((A .R B) .R C) = (A .R (B .R C)))
50	44, 49	pm2.61i 124	1 |- ((A .R B) .R C) = (A .R (B .R C))

Syntax hints:   /\ wa 221   /\ w3a 781   = wceq 992   e. wcel 994  Vcvv 1857  (class class class)co 4021  P.cnp 5139   +P. cpp 5141   .P. cmp 5142   ~R cer 5146  R.cnr 5147   .R cmr 5152

This theorem is referenced by:  sqgt0sr 5369  recexsr 5370  axmulass 5432

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-mr 5323

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