Theorem mulasssr 5211

Description: Multiplication of signed reals is associative.

Hypotheses

Ref	Expression
mulasssr.1	|- B e. V
mulasssr.2	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
mulasssr	|- ((A .R B) .R C) = (A .R (B .R C))

Proof of Theorem mulasssr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 5179	. . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
2		mulsrpr 5197	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) = [<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>.] ~R )
3		mulsrpr 5197	. . 3 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ([<.z, w>.] ~R .R [<.v, u>.] ~R ) = [<.((z .P. v) +P. (w .P. u)), ((z .P. u) +P. (w .P. v))>.] ~R )
4		mulsrpr 5197	. . 3 |- (((((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P. /\ ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ([<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>.] ~R .R [<.v, u>.] ~R ) = [<.((((x .P. z) +P. (y .P. w)) .P. v) +P. (((x .P. w) +P. (y .P. z)) .P. u)), ((((x .P. z) +P. (y .P. w)) .P. u) +P. (((x .P. w) +P. (y .P. z)) .P. v))>.] ~R )
5		mulsrpr 5197	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (((z .P. v) +P. (w .P. u)) e. P. /\ ((z .P. u) +P. (w .P. v)) e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.((z .P. v) +P. (w .P. u)), ((z .P. u) +P. (w .P. v))>.] ~R ) = [<.((x .P. ((z .P. v) +P. (w .P. u))) +P. (y .P. ((z .P. u) +P. (w .P. v)))), ((x .P. ((z .P. u) +P. (w .P. v))) +P. (y .P. ((z .P. v) +P. (w .P. u))))>.] ~R )
6		addclpr 5132	. . . . . 6 |- (((x .P. z) e. P. /\ (y .P. w) e. P.) -> ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.)
7		mulclpr 5134	. . . . . 6 |- ((x e. P. /\ z e. P.) -> (x .P. z) e. P.)
8		mulclpr 5134	. . . . . 6 |- ((y e. P. /\ w e. P.) -> (y .P. w) e. P.)
9	6, 7, 8	syl2an 456	. . . . 5 |- (((x e. P. /\ z e. P.) /\ (y e. P. /\ w e. P.)) -> ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.)
10	9	an4s 510	. . . 4 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.)
11		addclpr 5132	. . . . . 6 |- (((x .P. w) e. P. /\ (y .P. z) e. P.) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.)
12		mulclpr 5134	. . . . . 6 |- ((x e. P. /\ w e. P.) -> (x .P. w) e. P.)
13		mulclpr 5134	. . . . . 6 |- ((y e. P. /\ z e. P.) -> (y .P. z) e. P.)
14	11, 12, 13	syl2an 456	. . . . 5 |- (((x e. P. /\ w e. P.) /\ (y e. P. /\ z e. P.)) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.)
15	14	an42s 511	. . . 4 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.)
16	10, 15	jca 288	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> (((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P. /\ ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.))
17		addclpr 5132	. . . . . 6 |- (((z .P. v) e. P. /\ (w .P. u) e. P.) -> ((z .P. v) +P. (w .P. u)) e. P.)
18		mulclpr 5134	. . . . . 6 |- ((z e. P. /\ v e. P.) -> (z .P. v) e. P.)
19		mulclpr 5134	. . . . . 6 |- ((w e. P. /\ u e. P.) -> (w .P. u) e. P.)
20	17, 18, 19	syl2an 456	. . . . 5 |- (((z e. P. /\ v e. P.) /\ (w e. P. /\ u e. P.)) -> ((z .P. v) +P. (w .P. u)) e. P.)
21	20	an4s 510	. . . 4 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ((z .P. v) +P. (w .P. u)) e. P.)
22		addclpr 5132	. . . . . 6 |- (((z .P. u) e. P. /\ (w .P. v) e. P.) -> ((z .P. u) +P. (w .P. v)) e. P.)
23		mulclpr 5134	. . . . . 6 |- ((z e. P. /\ u e. P.) -> (z .P. u) e. P.)
24		mulclpr 5134	. . . . . 6 |- ((w e. P. /\ v e. P.) -> (w .P. v) e. P.)
25	22, 23, 24	syl2an 456	. . . . 5 |- (((z e. P. /\ u e. P.) /\ (w e. P. /\ v e. P.)) -> ((z .P. u) +P. (w .P. v)) e. P.)
26	25	an42s 511	. . . 4 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> ((z .P. u) +P. (w .P. v)) e. P.)
27	21, 26	jca 288	. . 3 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (v e. P. /\ u e. P.)) -> (((z .P. v) +P. (w .P. u)) e. P. /\ ((z .P. u) +P. (w .P. v)) e. P.))
28		visset 1816	. . . 4 |- x e. V
29		visset 1816	. . . 4 |- y e. V
30		visset 1816	. . . 4 |- z e. V
31		visset 1816	. . . . 5 |- f e. V
32		visset 1816	. . . . 5 |- g e. V
33	31, 32	mulcompr 5137	. . . 4 |- (f .P. g) = (g .P. f)
34		visset 1816	. . . . 5 |- h e. V
35	32, 34	distrpr 5144	. . . 4 |- (f .P. (g +P. h)) = ((f .P. g) +P. (f .P. h))
36		visset 1816	. . . 4 |- w e. V
37		visset 1816	. . . 4 |- v e. V
38	32, 34	mulasspr 5138	. . . 4 |- ((f .P. g) .P. h) = (f .P. (g .P. h))
39		visset 1816	. . . 4 |- u e. V
40	31, 32	addcompr 5135	. . . 4 |- (f +P. g) = (g +P. f)
41	32, 34	addasspr 5136	. . . 4 |- ((f +P. g) +P. h) = (f +P. (g +P. h))
42	28, 29, 30, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41	caoprlem2 4075	. . 3 |- ((((x .P. z) +P. (y .P. w)) .P. v) +P. (((x .P. w) +P. (y .P. z)) .P. u)) = ((x .P. ((z .P. v) +P. (w .P. u))) +P. (y .P. ((z .P. u) +P. (w .P. v))))
43	28, 29, 30, 33, 35, 36, 39, 38, 37, 40, 41	caoprlem2 4075	. . 3 |- ((((x .P. z) +P. (y .P. w)) .P. u) +P. (((x .P. w) +P. (y .P. z)) .P. v)) = ((x .P. ((z .P. u) +P. (w .P. v))) +P. (y .P. ((z .P. v) +P. (w .P. u))))
44	1, 2, 3, 4, 5, 16, 27, 42, 43	ecoprass 4326	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R. /\ C e. R.) -> ((A .R B) .R C) = (A .R (B .R C)))
45		mulasssr.1	. . 3 |- B e. V
46		dmmulsr 5207	. . 3 |- dom .R = (R. X. R.)
47		mulasssr.2	. . 3 |- C e. V
48		0nsr 5200	. . 3 |- -. (/) e. R.
49	45, 46, 47, 48	ndmoprass 4054	. 2 |- (-. (A e. R. /\ B e. R. /\ C e. R.) -> ((A .R B) .R C) = (A .R (B .R C)))
50	44, 49	pm2.61i 126	1 |- ((A .R B) .R C) = (A .R (B .R C))

Syntax hints:   /\ wa 223   /\ w3a 777   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  (class class class)co 3969  P.cnp 4997   +P. cpp 4999   .P. cmp 5000   ~R cer 5004  R.cnr 5005   .R cmr 5010

This theorem is referenced by:  sqgt0sr 5227  recexsr 5228  axmulass 5290

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-mr 5181

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