MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcan2d Unicode version

Theorem mulcan2d 9398
Description: Cancellation law for multiplication. Theorem I.7 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulcand.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mulcand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
mulcand.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
mulcand.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
mulcan2d  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  =  ( B  x.  C )  <-> 
A  =  B ) )

Proof of Theorem mulcan2d
StepHypRef Expression
1 mulcand.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mulcand.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
31, 2mulcomd 8852 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  =  ( C  x.  A ) )
4 mulcand.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
54, 2mulcomd 8852 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  x.  C
)  =  ( C  x.  B ) )
63, 5eqeq12d 2298 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  =  ( B  x.  C )  <-> 
( C  x.  A
)  =  ( C  x.  B ) ) )
7 mulcand.4 . . 3  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
81, 4, 2, 7mulcand 9397 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  A )  =  ( C  x.  B )  <-> 
A  =  B ) )
96, 8bitrd 244 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  =  ( B  x.  C )  <-> 
A  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1685    =/= wne 2447  (class class class)co 5820   CCcc 8731   0cc0 8733    x. cmul 8738
This theorem is referenced by:  mulcan2ad  9400  mulcan2  9402  mul0or  9404  qredeq  12781  sylow3lem3  14936  odadd2  15137  dcubic  20138  dquartlem2  20144  lgsquadlem1  20589  ax5seglem6  23972  pellfund14  26394
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-iota 6253  df-riota 6300  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036
  Copyright terms: Public domain W3C validator