MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcan2d Unicode version

Theorem mulcan2d 9370
Description: Cancellation law for multiplication. Theorem I.7 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulcand.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mulcand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
mulcand.3  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
mulcand.4  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
mulcan2d  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  =  ( B  x.  C )  <-> 
A  =  B ) )

Proof of Theorem mulcan2d
StepHypRef Expression
1 mulcand.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mulcand.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
31, 2mulcomd 8824 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  x.  C
)  =  ( C  x.  A ) )
4 mulcand.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
54, 2mulcomd 8824 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  x.  C
)  =  ( C  x.  B ) )
63, 5eqeq12d 2272 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  =  ( B  x.  C )  <-> 
( C  x.  A
)  =  ( C  x.  B ) ) )
7 mulcand.4 . . 3  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
81, 4, 2, 7mulcand 9369 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  A )  =  ( C  x.  B )  <-> 
A  =  B ) )
96, 8bitrd 246 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  C )  =  ( B  x.  C )  <-> 
A  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    <-> wb 178    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421  (class class class)co 5792   CCcc 8703   0cc0 8705    x. cmul 8710
This theorem is referenced by:  mulcan2ad  9372  mulcan2  9374  mul0or  9376  qredeq  12748  sylow3lem3  14903  odadd2  15104  dcubic  20105  dquartlem2  20111  lgsquadlem1  20556  ax5seglem6  23938  pellfund14  26351
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-iota 6225  df-riota 6272  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008
  Copyright terms: Public domain W3C validator