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Theorem mulcanpi 8711
Description: Multiplication cancellation law for positive integers. (Contributed by NM, 4-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcanpi  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  =  ( A  .N  C )  <-> 
B  =  C ) )

Proof of Theorem mulcanpi
StepHypRef Expression
1 mulclpi 8704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  e.  N. )
2 eleq1 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  .N  B )  =  ( A  .N  C )  ->  (
( A  .N  B
)  e.  N.  <->  ( A  .N  C )  e.  N. ) )
31, 2syl5ib 211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .N  B )  =  ( A  .N  C )  ->  (
( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  C
)  e.  N. )
)
43imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .N  B
)  =  ( A  .N  C )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( A  .N  C )  e.  N. )
5 dmmulpi 8702 . . . . . . . . 9  |-  dom  .N  =  ( N.  X.  N. )
6 0npi 8693 . . . . . . . . 9  |-  -.  (/)  e.  N.
75, 6ndmovrcl 6173 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .N  C )  e.  N.  ->  ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. ) )
8 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  C  e.  N. )
94, 7, 83syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  .N  B
)  =  ( A  .N  C )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  C  e.  N. )
10 mulpiord 8696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( A  .o  B ) )
1110adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .N  B )  =  ( A  .o  B ) )
12 mulpiord 8696 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .N  C
)  =  ( A  .o  C ) )
1312adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .N  C )  =  ( A  .o  C ) )
1411, 13eqeq12d 2402 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  =  ( A  .N  C
)  <->  ( A  .o  B )  =  ( A  .o  C ) ) )
15 pinn 8689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
16 pinn 8689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
17 pinn 8689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  N.  ->  C  e.  om )
18 elni2 8688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  N.  <->  ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
) )
1918simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  N.  ->  (/)  e.  A
)
20 nnmcan 6814 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  B )  =  ( A  .o  C
)  <->  B  =  C
) )
2120biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  B )  =  ( A  .o  C
)  ->  B  =  C ) )
2219, 21sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  A  e.  N. )  ->  ( ( A  .o  B )  =  ( A  .o  C
)  ->  B  =  C ) )
2322ex 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  N.  ->  ( ( A  .o  B
)  =  ( A  .o  C )  ->  B  =  C )
) )
2415, 16, 17, 23syl3an 1226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  e.  N.  ->  ( ( A  .o  B
)  =  ( A  .o  C )  ->  B  =  C )
) )
25243exp 1152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  N.  ->  ( B  e.  N.  ->  ( C  e.  N.  ->  ( A  e.  N.  ->  ( ( A  .o  B
)  =  ( A  .o  C )  ->  B  =  C )
) ) ) )
2625com4r 82 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  e.  N.  ->  ( B  e.  N.  ->  ( C  e.  N.  ->  ( ( A  .o  B
)  =  ( A  .o  C )  ->  B  =  C )
) ) ) )
2726pm2.43i 45 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  N.  ->  ( B  e.  N.  ->  ( C  e.  N.  ->  ( ( A  .o  B
)  =  ( A  .o  C )  ->  B  =  C )
) ) )
2827imp31 422 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  .o  B )  =  ( A  .o  C
)  ->  B  =  C ) )
2914, 28sylbid 207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  =  ( A  .N  C
)  ->  B  =  C ) )
309, 29sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( ( A  .N  B )  =  ( A  .N  C )  /\  ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. ) ) )  -> 
( ( A  .N  B )  =  ( A  .N  C )  ->  B  =  C ) )
3130exp32 589 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  =  ( A  .N  C )  ->  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  (
( A  .N  B
)  =  ( A  .N  C )  ->  B  =  C )
) ) )
3231imp4b 574 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( A  .N  B
)  =  ( A  .N  C ) )  ->  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( A  .N  B
)  =  ( A  .N  C ) )  ->  B  =  C ) )
3332pm2.43i 45 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( A  .N  B
)  =  ( A  .N  C ) )  ->  B  =  C )
3433ex 424 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  =  ( A  .N  C )  ->  B  =  C ) )
35 oveq2 6029 . 2  |-  ( B  =  C  ->  ( A  .N  B )  =  ( A  .N  C
) )
3634, 35impbid1 195 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  =  ( A  .N  C )  <-> 
B  =  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   (/)c0 3572   omcom 4786  (class class class)co 6021    .o comu 6659   N.cnpi 8653    .N cmi 8655
This theorem is referenced by:  enqer  8732  nqereu  8740  adderpqlem  8765  mulerpqlem  8766
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-oadd 6665  df-omul 6666  df-ni 8683  df-mi 8685
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