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Theorem mulcanpi 8524
Description: Multiplication cancellation law for positive integers. (Contributed by NM, 4-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcanpi  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  =  ( A  .N  C )  <-> 
B  =  C ) )

Proof of Theorem mulcanpi
StepHypRef Expression
1 mulclpi 8517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  e.  N. )
2 eleq1 2343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  .N  B )  =  ( A  .N  C )  ->  (
( A  .N  B
)  e.  N.  <->  ( A  .N  C )  e.  N. ) )
31, 2syl5ib 210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  .N  B )  =  ( A  .N  C )  ->  (
( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  C
)  e.  N. )
)
43imp 418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  .N  B
)  =  ( A  .N  C )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( A  .N  C )  e.  N. )
5 dmmulpi 8515 . . . . . . . . 9  |-  dom  .N  =  ( N.  X.  N. )
6 0npi 8506 . . . . . . . . 9  |-  -.  (/)  e.  N.
75, 6ndmovrcl 6006 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  .N  C )  e.  N.  ->  ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. ) )
8 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  C  e.  N. )
94, 7, 83syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  .N  B
)  =  ( A  .N  C )  /\  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  C  e.  N. )
10 mulpiord 8509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  .N  B
)  =  ( A  .o  B ) )
1110adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .N  B )  =  ( A  .o  B ) )
12 mulpiord 8509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .N  C
)  =  ( A  .o  C ) )
1312adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  .N  C )  =  ( A  .o  C ) )
1411, 13eqeq12d 2297 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  =  ( A  .N  C
)  <->  ( A  .o  B )  =  ( A  .o  C ) ) )
15 pinn 8502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
16 pinn 8502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
17 pinn 8502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( C  e.  N.  ->  C  e.  om )
18 elni2 8501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  N.  <->  ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
) )
1918simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  N.  ->  (/)  e.  A
)
20 nnmcan 6632 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  B )  =  ( A  .o  C
)  <->  B  =  C
) )
2120biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  (/)  e.  A )  ->  ( ( A  .o  B )  =  ( A  .o  C
)  ->  B  =  C ) )
2219, 21sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  /\  A  e.  N. )  ->  ( ( A  .o  B )  =  ( A  .o  C
)  ->  B  =  C ) )
2322ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om  /\  C  e.  om )  ->  ( A  e.  N.  ->  ( ( A  .o  B
)  =  ( A  .o  C )  ->  B  =  C )
) )
2415, 16, 17, 23syl3an 1224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N.  /\  C  e.  N. )  ->  ( A  e.  N.  ->  ( ( A  .o  B
)  =  ( A  .o  C )  ->  B  =  C )
) )
25243exp 1150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  N.  ->  ( B  e.  N.  ->  ( C  e.  N.  ->  ( A  e.  N.  ->  ( ( A  .o  B
)  =  ( A  .o  C )  ->  B  =  C )
) ) ) )
2625com4r 80 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  e.  N.  ->  ( B  e.  N.  ->  ( C  e.  N.  ->  ( ( A  .o  B
)  =  ( A  .o  C )  ->  B  =  C )
) ) ) )
2726pm2.43i 43 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  N.  ->  ( B  e.  N.  ->  ( C  e.  N.  ->  ( ( A  .o  B
)  =  ( A  .o  C )  ->  B  =  C )
) ) )
2827imp31 421 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  .o  B )  =  ( A  .o  C
)  ->  B  =  C ) )
2914, 28sylbid 206 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  C  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  =  ( A  .N  C
)  ->  B  =  C ) )
309, 29sylan2 460 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( ( A  .N  B )  =  ( A  .N  C )  /\  ( A  e. 
N.  /\  B  e.  N. ) ) )  -> 
( ( A  .N  B )  =  ( A  .N  C )  ->  B  =  C ) )
3130exp32 588 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  =  ( A  .N  C )  ->  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  (
( A  .N  B
)  =  ( A  .N  C )  ->  B  =  C )
) ) )
3231imp4b 573 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( A  .N  B
)  =  ( A  .N  C ) )  ->  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( A  .N  B
)  =  ( A  .N  C ) )  ->  B  =  C ) )
3332pm2.43i 43 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  /\  ( A  .N  B
)  =  ( A  .N  C ) )  ->  B  =  C )
3433ex 423 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  =  ( A  .N  C )  ->  B  =  C ) )
35 oveq2 5866 . 2  |-  ( B  =  C  ->  ( A  .N  B )  =  ( A  .N  C
) )
3634, 35impbid1 194 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  .N  B )  =  ( A  .N  C )  <-> 
B  =  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   (/)c0 3455   omcom 4656  (class class class)co 5858    .o comu 6477   N.cnpi 8466    .N cmi 8468
This theorem is referenced by:  enqer  8545  nqereu  8553  adderpqlem  8578  mulerpqlem  8579
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-ni 8496  df-mi 8498
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