Theorem mulcanpi 5007

Description: Multiplication cancellation law for positive integers.

Hypothesis

Ref	Expression
mulcanpi.1	|- C e. V

Assertion

Ref	Expression
mulcanpi	|- ((A e. N. /\ B e. N.) -> ((A .N B) = (A .N C) -> B = C))

Proof of Theorem mulcanpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulpiord 4993	. . . . . . . . 9 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) = (A .o B))
2	1	adantr 389	. . . . . . . 8 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> (A .N B) = (A .o B))
3		mulpiord 4993	. . . . . . . . 9 |- ((A e. N. /\ C e. N.) -> (A .N C) = (A .o C))
4	3	adantlr 393	. . . . . . . 8 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> (A .N C) = (A .o C))
5	2, 4	eqeq12d 1486	. . . . . . 7 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> ((A .N B) = (A .N C) <-> (A .o B) = (A .o C)))
6		nnmcan 4238	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = (A .o C) <-> B = C))
7	6	biimpd 153	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ (/) e. A) -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C))
8		elni2 4985	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A e. N. <-> (A e. om /\ (/) e. A))
9	8	pm3.27bi 326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A e. N. -> (/) e. A)
10	7, 9	sylan2 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) /\ A e. N.) -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C))
11	10	ex 373	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. om /\ B e. om /\ C e. om) -> (A e. N. -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C)))
12		pinn 4986	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. N. -> A e. om)
13		pinn 4986	. . . . . . . . . . . 12 |- (B e. N. -> B e. om)
14		pinn 4986	. . . . . . . . . . . 12 |- (C e. N. -> C e. om)
15	11, 12, 13, 14	syl3an 867	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. N. /\ B e. N. /\ C e. N.) -> (A e. N. -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C)))
16	15	3exp 831	. . . . . . . . . 10 |- (A e. N. -> (B e. N. -> (C e. N. -> (A e. N. -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C)))))
17	16	com4r 41	. . . . . . . . 9 |- (A e. N. -> (A e. N. -> (B e. N. -> (C e. N. -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C)))))
18	17	pm2.43i 64	. . . . . . . 8 |- (A e. N. -> (B e. N. -> (C e. N. -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C))))
19	18	imp31 362	. . . . . . 7 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> ((A .o B) = (A .o C) -> B = C))
20	5, 19	sylbid 203	. . . . . 6 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ C e. N.) -> ((A .N B) = (A .N C) -> B = C))
21		eleq1 1531	. . . . . . . . 9 |- ((A .N B) = (A .N C) -> ((A .N B) e. N. <-> (A .N C) e. N.))
22		mulclpi 5001	. . . . . . . . 9 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) e. N.)
23	21, 22	syl5bi 208	. . . . . . . 8 |- ((A .N B) = (A .N C) -> ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N C) e. N.))
24	23	imp 350	. . . . . . 7 |- (((A .N B) = (A .N C) /\ (A e. N. /\ B e. N.)) -> (A .N C) e. N.)
25		mulcanpi.1	. . . . . . . 8 |- C e. V
26		dmmulpi 4999	. . . . . . . 8 |- dom .N = (N. X. N.)
27		0npi 4990	. . . . . . . 8 |- -. (/) e. N.
28	25, 26, 27	ndmoprrcl 4038	. . . . . . 7 |- ((A .N C) e. N. -> (A e. N. /\ C e. N.))
29		pm3.27 323	. . . . . . 7 |- ((A e. N. /\ C e. N.) -> C e. N.)
30	24, 28, 29	3syl 20	. . . . . 6 |- (((A .N B) = (A .N C) /\ (A e. N. /\ B e. N.)) -> C e. N.)
31	20, 30	sylan2 451	. . . . 5 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ ((A .N B) = (A .N C) /\ (A e. N. /\ B e. N.))) -> ((A .N B) = (A .N C) -> B = C))
32	31	exp32 377	. . . 4 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> ((A .N B) = (A .N C) -> ((A e. N. /\ B e. N.) -> ((A .N B) = (A .N C) -> B = C))))
33	32	imp4b 365	. . 3 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (A .N B) = (A .N C)) -> (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (A .N B) = (A .N C)) -> B = C))
34	33	pm2.43i 64	. 2 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (A .N B) = (A .N C)) -> B = C)
35	34	ex 373	1 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> ((A .N B) = (A .N C) -> B = C))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956  Vcvv 1807  (/)c0 2276  omcom 3126  (class class class)co 3954   .o comu 4121  N.cnpi 4952   .N cmi 4954

This theorem is referenced by:  enqer 5026

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-ni 4980  df-mi 4982

Copyright terms: Public domain