Theorem mulclpi 5175

Description: Closure of multiplication of positive integers.

Assertion

Ref	Expression
mulclpi	|- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) e. N.)

Proof of Theorem mulclpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulpiord 5167	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) = (A .o B))
2		nnmcl 4370	. . . . 5 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A .o B) e. om)
3		pinn 5160	. . . . 5 |- (A e. N. -> A e. om)
4		pinn 5160	. . . . 5 |- (B e. N. -> B e. om)
5	2, 3, 4	syl2an 456	. . . 4 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .o B) e. om)
6		peano1 3237	. . . . . . . . . 10 |- (/) e. om
7		nnmordi 4386	. . . . . . . . . 10 |- (((/) e. om /\ B e. om /\ A e. om) -> (((/) e. B /\ (/) e. A) -> (A .o (/)) e. (A .o B)))
8	6, 7	mp3an1 909	. . . . . . . . 9 |- ((B e. om /\ A e. om) -> (((/) e. B /\ (/) e. A) -> (A .o (/)) e. (A .o B)))
9	8	imp 348	. . . . . . . 8 |- (((B e. om /\ A e. om) /\ ((/) e. B /\ (/) e. A)) -> (A .o (/)) e. (A .o B))
10	9	an4s 511	. . . . . . 7 |- (((B e. om /\ (/) e. B) /\ (A e. om /\ (/) e. A)) -> (A .o (/)) e. (A .o B))
11		elni2 5159	. . . . . . 7 |- (B e. N. <-> (B e. om /\ (/) e. B))
12		elni2 5159	. . . . . . 7 |- (A e. N. <-> (A e. om /\ (/) e. A))
13	10, 11, 12	syl2anb 457	. . . . . 6 |- ((B e. N. /\ A e. N.) -> (A .o (/)) e. (A .o B))
14	13	ancoms 438	. . . . 5 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .o (/)) e. (A .o B))
15		ne0i 2338	. . . . 5 |- ((A .o (/)) e. (A .o B) -> (A .o B) =/= (/))
16	14, 15	syl 10	. . . 4 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .o B) =/= (/))
17	5, 16	jca 286	. . 3 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> ((A .o B) e. om /\ (A .o B) =/= (/)))
18		elni 5158	. . 3 |- ((A .o B) e. N. <-> ((A .o B) e. om /\ (A .o B) =/= (/)))
19	17, 18	sylibr 198	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .o B) e. N.)
20	1, 19	eqeltrd 1591	1 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) e. N.)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   e. wcel 994   =/= wne 1628  (/)c0 2332  omcom 3218  (class class class)co 4021   .o comu 4267  N.cnpi 5126   .N cmi 5128

This theorem is referenced by:  mulasspi 5179  distrpi 5180  mulcanpi 5181  ltmpi 5185  enqer 5200  addcmpblnq 5206  mulcmpblnq 5207  ordpipq 5210  addclpq 5212  mulclpq 5214  addasspq 5217  mulasspq 5219  distrpqlem 5220  distrpq 5221  recmulpq 5224  ltsopq 5229  ltapq 5230  ltmpq 5231  ltexpq 5234  prlem934b 5292  prlem934 5293

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-rdg 4233  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-ni 5154  df-mi 5156

Copyright terms: Public domain