MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclpr Unicode version

Theorem mulclpr 8598
Description: Closure of multiplication on positive reals. First statement of Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclpr  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  .P.  B
)  e.  P. )

Proof of Theorem mulclpr
StepHypRef Expression
1 df-mp 8562 . 2  |-  .P.  =  ( w  e.  P. ,  v  e.  P.  |->  { x  |  E. y  e.  w  E. z  e.  v  x  =  ( y  .Q  z ) } )
2 mulclnq 8525 . 2  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  z  e.  Q. )  ->  ( y  .Q  z
)  e.  Q. )
3 ltmnq 8550 . 2  |-  ( h  e.  Q.  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  .Q  f )  <Q  (
h  .Q  g ) ) )
4 mulcomnq 8531 . 2  |-  ( x  .Q  y )  =  ( y  .Q  x
)
5 mulclprlem 8597 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  g  e.  A )  /\  ( B  e.  P.  /\  h  e.  B ) )  /\  x  e.  Q. )  ->  ( x  <Q  (
g  .Q  h )  ->  x  e.  ( A  .P.  B ) ) )
61, 2, 3, 4, 5genpcl 8586 1  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( A  .P.  B
)  e.  P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    e. wcel 1621  (class class class)co 5778    .Q cmq 8432   P.cnp 8435    .P. cmp 8438
This theorem is referenced by:  mulasspr  8602  distrlem1pr  8603  distrlem4pr  8604  distrlem5pr  8605  mulcmpblnr  8650  mulclsr  8660  mulasssr  8666  distrsr  8667  m1m1sr  8669  1idsr  8674  00sr  8675  recexsrlem  8679  mulgt0sr  8681
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-inf2 7296
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-1st 6042  df-2nd 6043  df-recs 6342  df-rdg 6377  df-1o 6433  df-oadd 6437  df-omul 6438  df-er 6614  df-ni 8450  df-mi 8452  df-lti 8453  df-mpq 8487  df-ltpq 8488  df-enq 8489  df-nq 8490  df-erq 8491  df-mq 8493  df-1nq 8494  df-rq 8495  df-ltnq 8496  df-np 8559  df-mp 8562
  Copyright terms: Public domain W3C validator