Theorem mulclprlem 5101

Description: Lemma to prove downward closure in positive real multiplication. Part of proof of Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124.

Assertion

Ref	Expression
mulclprlem	|- ((((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) /\ x e. Q.) -> (x <Q (g .Q h) -> x e. (A .P. B)))

Distinct variable groups:   x,g,h   x,A   x,B

Proof of Theorem mulclprlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recclpq 5052	. . . . . . . . 9 |- (h e. Q. -> (*Q` h) e. Q.)
2	1	adantl 388	. . . . . . . 8 |- ((g e. Q. /\ h e. Q.) -> (*Q` h) e. Q.)
3		visset 1809	. . . . . . . . 9 |- x e. V
4		oprex 3974	. . . . . . . . 9 |- (g .Q h) e. V
5		visset 1809	. . . . . . . . . 10 |- y e. V
6		visset 1809	. . . . . . . . . 10 |- z e. V
7	5, 6	ltmpq 5057	. . . . . . . . 9 |- (w e. Q. -> (y <Q z <-> (w .Q y) <Q (w .Q z)))
8		fvex 3723	. . . . . . . . 9 |- (*Q` h) e. V
9	5, 6	mulcompq 5044	. . . . . . . . 9 |- (y .Q z) = (z .Q y)
10	3, 4, 7, 8, 9	caoprord2 4049	. . . . . . . 8 |- ((*Q` h) e. Q. -> (x <Q (g .Q h) <-> (x .Q (*Q` h)) <Q ((g .Q h) .Q (*Q` h))))
11	2, 10	syl 10	. . . . . . 7 |- ((g e. Q. /\ h e. Q.) -> (x <Q (g .Q h) <-> (x .Q (*Q` h)) <Q ((g .Q h) .Q (*Q` h))))
12		recidpq 5051	. . . . . . . . . . 11 |- (h e. Q. -> (h .Q (*Q` h)) = 1Q)
13	12	opreq2d 3967	. . . . . . . . . 10 |- (h e. Q. -> (g .Q (h .Q (*Q` h))) = (g .Q 1Q))
14		visset 1809	. . . . . . . . . . 11 |- h e. V
15	14, 8	mulasspq 5045	. . . . . . . . . 10 |- ((g .Q h) .Q (*Q` h)) = (g .Q (h .Q (*Q` h)))
16	13, 15	syl5eq 1516	. . . . . . . . 9 |- (h e. Q. -> ((g .Q h) .Q (*Q` h)) = (g .Q 1Q))
17		mulidpq 5049	. . . . . . . . 9 |- (g e. Q. -> (g .Q 1Q) = g)
18	16, 17	sylan9eqr 1526	. . . . . . . 8 |- ((g e. Q. /\ h e. Q.) -> ((g .Q h) .Q (*Q` h)) = g)
19	18	breq2d 2625	. . . . . . 7 |- ((g e. Q. /\ h e. Q.) -> ((x .Q (*Q` h)) <Q ((g .Q h) .Q (*Q` h)) <-> (x .Q (*Q` h)) <Q g))
20	11, 19	bitrd 527	. . . . . 6 |- ((g e. Q. /\ h e. Q.) -> (x <Q (g .Q h) <-> (x .Q (*Q` h)) <Q g))
21		elprpq 5075	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ g e. A) -> g e. Q.)
22		elprpq 5075	. . . . . 6 |- ((B e. P. /\ h e. B) -> h e. Q.)
23	20, 21, 22	syl2an 454	. . . . 5 |- (((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) -> (x <Q (g .Q h) <-> (x .Q (*Q` h)) <Q g))
24		prcdpq 5077	. . . . . 6 |- ((A e. P. /\ g e. A) -> ((x .Q (*Q` h)) <Q g -> (x .Q (*Q` h)) e. A))
25	24	adantr 389	. . . . 5 |- (((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) -> ((x .Q (*Q` h)) <Q g -> (x .Q (*Q` h)) e. A))
26	23, 25	sylbid 203	. . . 4 |- (((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) -> (x <Q (g .Q h) -> (x .Q (*Q` h)) e. A))
27		df-mp 5069	. . . . . . . . 9 |- .P. = {<.<.w, v>., u>. | ((w e. P. /\ v e. P.) /\ u = {x | E.y e. w E.z e. v x = (y .Q z)})}
28	27	genpprecl 5084	. . . . . . . 8 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (((x .Q (*Q` h)) e. A /\ h e. B) -> ((x .Q (*Q` h)) .Q h) e. (A .P. B)))
29	28	exp4b 379	. . . . . . 7 |- (A e. P. -> (B e. P. -> ((x .Q (*Q` h)) e. A -> (h e. B -> ((x .Q (*Q` h)) .Q h) e. (A .P. B)))))
30	29	com34 36	. . . . . 6 |- (A e. P. -> (B e. P. -> (h e. B -> ((x .Q (*Q` h)) e. A -> ((x .Q (*Q` h)) .Q h) e. (A .P. B)))))
31	30	imp32 363	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ (B e. P. /\ h e. B)) -> ((x .Q (*Q` h)) e. A -> ((x .Q (*Q` h)) .Q h) e. (A .P. B)))
32	31	adantlr 393	. . . 4 |- (((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) -> ((x .Q (*Q` h)) e. A -> ((x .Q (*Q` h)) .Q h) e. (A .P. B)))
33	26, 32	syld 27	. . 3 |- (((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) -> (x <Q (g .Q h) -> ((x .Q (*Q` h)) .Q h) e. (A .P. B)))
34	33	adantr 389	. 2 |- ((((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) /\ x e. Q.) -> (x <Q (g .Q h) -> ((x .Q (*Q` h)) .Q h) e. (A .P. B)))
35	8, 14	mulcompq 5044	. . . . . . . 8 |- ((*Q` h) .Q h) = (h .Q (*Q` h))
36	12, 35	syl5eq 1516	. . . . . . 7 |- (h e. Q. -> ((*Q` h) .Q h) = 1Q)
37	36	opreq2d 3967	. . . . . 6 |- (h e. Q. -> (x .Q ((*Q` h) .Q h)) = (x .Q 1Q))
38	8, 14	mulasspq 5045	. . . . . 6 |- ((x .Q (*Q` h)) .Q h) = (x .Q ((*Q` h) .Q h))
39	37, 38	syl5eq 1516	. . . . 5 |- (h e. Q. -> ((x .Q (*Q` h)) .Q h) = (x .Q 1Q))
40		mulidpq 5049	. . . . 5 |- (x e. Q. -> (x .Q 1Q) = x)
41	39, 40	sylan9eq 1524	. . . 4 |- ((h e. Q. /\ x e. Q.) -> ((x .Q (*Q` h)) .Q h) = x)
42	41	eleq1d 1537	. . 3 |- ((h e. Q. /\ x e. Q.) -> (((x .Q (*Q` h)) .Q h) e. (A .P. B) <-> x e. (A .P. B)))
43	22	adantl 388	. . 3 |- (((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) -> h e. Q.)
44	42, 43	sylan 448	. 2 |- ((((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) /\ x e. Q.) -> (((x .Q (*Q` h)) .Q h) e. (A .P. B) <-> x e. (A .P. B)))
45	34, 44	sylibd 202	1 |- ((((A e. P. /\ g e. A) /\ (B e. P. /\ h e. B)) /\ x e. Q.) -> (x <Q (g .Q h) -> x e. (A .P. B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 956   class class class wbr 2614  ` cfv 3177  (class class class)co 3954  Q.cnq 4959  1Qc1q 4960   .Q cmq 4962  *Qcrq 4963   <Q cltq 4964  P.cnp 4965   .P. cmp 4968

This theorem is referenced by:  mulclpr 5102

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-mi 4982  df-lti 4983  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-mp 5069

Copyright terms: Public domain