Theorem mulclsr 5176

Description: Closure of multiplication on signed reals.

Assertion

Ref	Expression
mulclsr	|- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A .R B) e. R.)

Proof of Theorem mulclsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 5150	. . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
2		opreq1 3963	. . . 4 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) = (A .R [<.z, w>.] ~R ))
3	2	eleq1d 1538	. . 3 |- ([<.x, y>.] ~R = A -> (([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) e. ((P. X. P.)/. ~R ) <-> (A .R [<.z, w>.] ~R ) e. ((P. X. P.)/. ~R )))
4		opreq2 3964	. . . 4 |- ([<.z, w>.] ~R = B -> (A .R [<.z, w>.] ~R ) = (A .R B))
5	4	eleq1d 1538	. . 3 |- ([<.z, w>.] ~R = B -> ((A .R [<.z, w>.] ~R ) e. ((P. X. P.)/. ~R ) <-> (A .R B) e. ((P. X. P.)/. ~R )))
6		mulsrpr 5168	. . . 4 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) = [<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>.] ~R )
7		addclpr 5103	. . . . . . . 8 |- (((x .P. z) e. P. /\ (y .P. w) e. P.) -> ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.)
8		mulclpr 5105	. . . . . . . 8 |- ((x e. P. /\ z e. P.) -> (x .P. z) e. P.)
9		mulclpr 5105	. . . . . . . 8 |- ((y e. P. /\ w e. P.) -> (y .P. w) e. P.)
10	7, 8, 9	syl2an 454	. . . . . . 7 |- (((x e. P. /\ z e. P.) /\ (y e. P. /\ w e. P.)) -> ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.)
11	10	an4s 508	. . . . . 6 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P.)
12		addclpr 5103	. . . . . . . 8 |- (((x .P. w) e. P. /\ (y .P. z) e. P.) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.)
13		mulclpr 5105	. . . . . . . 8 |- ((x e. P. /\ w e. P.) -> (x .P. w) e. P.)
14		mulclpr 5105	. . . . . . . 8 |- ((y e. P. /\ z e. P.) -> (y .P. z) e. P.)
15	12, 13, 14	syl2an 454	. . . . . . 7 |- (((x e. P. /\ w e. P.) /\ (y e. P. /\ z e. P.)) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.)
16	15	an42s 509	. . . . . 6 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.)
17	11, 16	jca 288	. . . . 5 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> (((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P. /\ ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.))
18		opelxpi 3213	. . . . 5 |- ((((x .P. z) +P. (y .P. w)) e. P. /\ ((x .P. w) +P. (y .P. z)) e. P.) -> <.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>. e. (P. X. P.))
19		enrex 5161	. . . . . 6 |- ~R e. V
20	19	ecelqsi 4285	. . . . 5 |- (<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>. e. (P. X. P.) -> [<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>.] ~R e. ((P. X. P.)/. ~R ))
21	17, 18, 20	3syl 20	. . . 4 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> [<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>.] ~R e. ((P. X. P.)/. ~R ))
22	6, 21	eqeltrd 1546	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) e. ((P. X. P.)/. ~R ))
23	1, 3, 5, 22	2ecoptocl 4297	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A .R B) e. ((P. X. P.)/. ~R ))
24	23, 1	syl6eleqr 1557	1 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A .R B) e. R.)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  <.cop 2408   X. cxp 3164  (class class class)co 3958  [cec 4252  /.cqs 4253  P.cnp 4968   +P. cpp 4970   .P. cmp 4971   ~R cer 4975  R.cnr 4976   .R cmr 4981

This theorem is referenced by:  dmmulsr 5178  negexsr 5194  sqgt0sr 5198  recexsr 5199  ssgt0sr 5200  supsrlem2 5209  mulresr 5240  axmulopr 5249  axmulrcl 5257  axmulass 5261  axdistr 5262

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-mr 5152

Copyright terms: Public domain