MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcn2 Unicode version

Theorem mulcn2 12064
Description: Complex number multiplication is a continuous function. Part of Proposition 14-4.16 of [Gleason] p. 243. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
mulcn2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  B ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )
Distinct variable groups:    v, u, y, z, A    u, B, v, y, z    u, C, v, y, z

Proof of Theorem mulcn2
StepHypRef Expression
1 rphalfcl 10374 . . . 4  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( A  /  2 )  e.  RR+ )
213ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR+ )
3 abscl 11758 . . . . . 6  |-  ( C  e.  CC  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
433ad2ant3 980 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
5 abscl 11758 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  CC  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
653ad2ant2 979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
7 1re 8833 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
8 readdcl 8816 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  B
)  +  1 )  e.  RR )
96, 7, 8sylancl 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( abs `  B
)  +  1 )  e.  RR )
10 absge0 11767 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
11 0lt1 9292 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  1
12 addgegt0 9257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  /\  ( 0  <_  ( abs `  B )  /\  0  <  1 ) )  ->  0  <  (
( abs `  B
)  +  1 ) )
1312an4s 801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  B
) )  /\  (
1  e.  RR  /\  0  <  1 ) )  ->  0  <  (
( abs `  B
)  +  1 ) )
147, 11, 13mpanr12 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  B
) )  ->  0  <  ( ( abs `  B
)  +  1 ) )
155, 10, 14syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  0  <  ( ( abs `  B
)  +  1 ) )
16153ad2ant2 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  0  <  ( ( abs `  B
)  +  1 ) )
179, 16elrpd 10384 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( abs `  B
)  +  1 )  e.  RR+ )
182, 17rpdivcld 10403 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  e.  RR+ )
1918rpred 10386 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  e.  RR )
204, 19readdcld 8858 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  e.  RR )
21 absge0 11767 . . . . . 6  |-  ( C  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  C
) )
22213ad2ant3 980 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  0  <_  ( abs `  C
) )
23 elrp 10352 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  e.  RR+  <->  ( ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
24 addgegt0 9257 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( abs `  C
)  e.  RR  /\  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  e.  RR )  /\  ( 0  <_ 
( abs `  C
)  /\  0  <  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  0  <  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
2524an4s 801 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  C
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  C
) )  /\  (
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  e.  RR  /\  0  <  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  -> 
0  <  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )
2623, 25sylan2b 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ( abs `  C
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  C
) )  /\  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  e.  RR+ )  ->  0  <  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
274, 22, 18, 26syl21anc 1183 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  0  <  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
2820, 27elrpd 10384 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
292, 28rpdivcld 10403 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  e.  RR+ )
30 simprl 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  u  e.  CC )
31 simpl2 961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  B  e.  CC )
3230, 31subcld 9153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( u  -  B )  e.  CC )
3332abscld 11913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( u  -  B
) )  e.  RR )
342adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR+ )
3534rpred 10386 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( A  /  2 )  e.  RR )
3628adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  e.  RR+ )
3733, 35, 36ltmuldivd 10429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  < 
( A  /  2
)  <->  ( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) ) ) )
38 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  v  e.  CC )
39 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  C  e.  CC )
4038, 39abs2difd 11934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  v )  -  ( abs `  C ) )  <_  ( abs `  ( v  -  C
) ) )
4138abscld 11913 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  v )  e.  RR )
424adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  C )  e.  RR )
4341, 42resubcld 9207 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  v )  -  ( abs `  C ) )  e.  RR )
4438, 39subcld 9153 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( v  -  C )  e.  CC )
4544abscld 11913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( v  -  C
) )  e.  RR )
4619adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) )  e.  RR )
47 lelttr 8908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( abs `  v
)  -  ( abs `  C ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( v  -  C
) )  e.  RR  /\  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  v
)  -  ( abs `  C ) )  <_ 
( abs `  (
v  -  C ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C
) )  <  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  ->  ( ( abs `  v )  -  ( abs `  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
4843, 45, 46, 47syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( abs `  v
)  -  ( abs `  C ) )  <_ 
( abs `  (
v  -  C ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C
) )  <  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  ->  ( ( abs `  v )  -  ( abs `  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
4940, 48mpand 658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( ( abs `  v )  -  ( abs `  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
5041, 42, 46ltsubadd2d 9366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  v
)  -  ( abs `  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  <->  ( abs `  v
)  <  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) ) ) )
5149, 50sylibd 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( abs `  v )  <  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) ) )
5220adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  e.  RR )
53 ltle 8906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  v
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  e.  RR )  ->  (
( abs `  v
)  <  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  v )  <_ 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) ) )
5441, 52, 53syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  v )  < 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  -> 
( abs `  v
)  <_  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) ) ) )
5551, 54syld 42 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( abs `  v )  <_  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) ) )
5632absge0d 11921 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( u  -  B ) ) )
57 lemul2a 9607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( abs `  v
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
u  -  B ) ) ) )  /\  ( abs `  v )  <_  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  <_ 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) ) )
5857ex 425 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  v
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
u  -  B ) ) ) )  -> 
( ( abs `  v
)  <_  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  <_ 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) ) ) )
5941, 52, 33, 56, 58syl112anc 1188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  v )  <_ 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  -> 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  <_ 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) ) ) )
6033, 41remulcld 8859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  x.  ( abs `  v
) )  e.  RR )
6133, 52remulcld 8859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
62 lelttr 8908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  e.  RR  /\  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( A  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  <_ 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  /\  ( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  < 
( A  /  2
) )  ->  (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  < 
( A  /  2
) ) )
6360, 61, 35, 62syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  <_ 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  /\  ( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  < 
( A  /  2
) )  ->  (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  < 
( A  /  2
) ) )
6463exp3a 427 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  <_ 
( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( ( abs `  ( u  -  B
) )  x.  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  <  ( A  / 
2 )  ->  (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  < 
( A  /  2
) ) ) )
6555, 59, 643syld 53 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  < 
( A  /  2
)  ->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  x.  ( abs `  v
) )  <  ( A  /  2 ) ) ) )
6665com23 74 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  < 
( A  /  2
)  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  x.  ( abs `  v
) )  <  ( A  /  2 ) ) ) )
6737, 66sylbird 228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C
) )  <  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B
) )  x.  ( abs `  v ) )  <  ( A  / 
2 ) ) ) )
6867imp3a 422 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  < 
( A  /  2
) ) )
6932, 38absmuld 11931 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( ( u  -  B )  x.  v
) )  =  ( ( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) ) )
7030, 31, 38subdird 9232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
u  -  B )  x.  v )  =  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  v )
) )
7170fveq2d 5490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( ( u  -  B )  x.  v
) )  =  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  v ) ) ) )
7269, 71eqtr3d 2319 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  x.  ( abs `  v
) )  =  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  v ) ) ) )
7372breq1d 4035 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  x.  ( abs `  v ) )  < 
( A  /  2
)  <->  ( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  v ) ) )  <  ( A  /  2 ) ) )
7468, 73sylibd 207 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  v
) ) )  < 
( A  /  2
) ) )
7517adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  B )  +  1 )  e.  RR+ )
7645, 35, 75ltmuldiv2d 10430 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  <  ( A  /  2 )  <->  ( abs `  ( v  -  C
) )  <  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
7731, 38, 39subdid 9231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( B  x.  ( v  -  C
) )  =  ( ( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )
7877fveq2d 5490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( B  x.  (
v  -  C ) ) )  =  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C ) ) ) )
7931, 44absmuld 11931 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( B  x.  (
v  -  C ) ) )  =  ( ( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) ) )
8078, 79eqtr3d 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C )
) )  =  ( ( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) ) )
8131abscld 11913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
8281lep1d 9684 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  B )  <_  (
( abs `  B
)  +  1 ) )
839adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  B )  +  1 )  e.  RR )
84 abscl 11758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  -  C )  e.  CC  ->  ( abs `  ( v  -  C ) )  e.  RR )
85 absge0 11767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  -  C )  e.  CC  ->  0  <_  ( abs `  (
v  -  C ) ) )
8684, 85jca 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( v  -  C )  e.  CC  ->  (
( abs `  (
v  -  C ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
v  -  C ) ) ) )
87 lemul1a 9606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  B
)  +  1 )  e.  RR  /\  (
( abs `  (
v  -  C ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
v  -  C ) ) ) )  /\  ( abs `  B )  <_  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  ->  (
( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) )  <_ 
( ( ( abs `  B )  +  1 )  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) ) )
8887ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  B
)  +  1 )  e.  RR  /\  (
( abs `  (
v  -  C ) )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  (
v  -  C ) ) ) )  -> 
( ( abs `  B
)  <_  ( ( abs `  B )  +  1 )  ->  (
( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) )  <_ 
( ( ( abs `  B )  +  1 )  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) ) ) )
8986, 88syl3an3 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  ( ( abs `  B
)  +  1 )  e.  RR  /\  (
v  -  C )  e.  CC )  -> 
( ( abs `  B
)  <_  ( ( abs `  B )  +  1 )  ->  (
( abs `  B
)  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) )  <_ 
( ( ( abs `  B )  +  1 )  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) ) ) )
9081, 83, 44, 89syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  B )  <_ 
( ( abs `  B
)  +  1 )  ->  ( ( abs `  B )  x.  ( abs `  ( v  -  C ) ) )  <_  ( ( ( abs `  B )  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) ) ) )
9182, 90mpd 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  B )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  <_  (
( ( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) ) )
9280, 91eqbrtrd 4045 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C )
) )  <_  (
( ( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) ) )
9331, 38mulcld 8851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( B  x.  v )  e.  CC )
9431, 39mulcld 8851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( B  x.  C )  e.  CC )
9593, 94subcld 9153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C ) )  e.  CC )
9695abscld 11913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C )
) )  e.  RR )
9783, 45remulcld 8859 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  e.  RR )
98 lelttr 8908 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  (
( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( abs `  B )  +  1 )  x.  ( abs `  ( v  -  C
) ) )  e.  RR  /\  ( A  /  2 )  e.  RR )  ->  (
( ( abs `  (
( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <_  ( (
( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  /\  (
( ( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  <  ( A  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  ( A  /  2 ) ) )
9996, 97, 35, 98syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <_  ( (
( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  /\  (
( ( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  <  ( A  /  2 ) )  ->  ( abs `  (
( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  ( A  /  2 ) ) )
10092, 99mpand 658 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( ( abs `  B
)  +  1 )  x.  ( abs `  (
v  -  C ) ) )  <  ( A  /  2 )  -> 
( abs `  (
( B  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  ( A  /  2 ) ) )
10176, 100sylbird 228 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C )
) )  <  ( A  /  2 ) ) )
102101adantld 455 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
( A  /  2
) ) )
10374, 102jcad 521 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  (
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  v ) ) )  <  ( A  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C ) ) )  <  ( A  / 
2 ) ) ) )
104 mulcl 8817 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( u  x.  v
)  e.  CC )
105104adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( u  x.  v )  e.  CC )
106 simpl1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  A  e.  RR+ )
107106rpred 10386 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  A  e.  RR )
108 abs3lem 11817 . . . . 5  |-  ( ( ( ( u  x.  v )  e.  CC  /\  ( B  x.  C
)  e.  CC )  /\  ( ( B  x.  v )  e.  CC  /\  A  e.  RR ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  v )
) )  <  ( A  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C ) ) )  <  ( A  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )
109105, 94, 93, 107, 108syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  v ) ) )  <  ( A  /  2 )  /\  ( abs `  ( ( B  x.  v )  -  ( B  x.  C ) ) )  <  ( A  / 
2 ) )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )
110103, 109syld 42 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  /\  ( u  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
A ) )
111110ralrimivva 2637 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )
112 breq2 4029 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( abs `  ( u  -  B
) )  <  y  <->  ( abs `  ( u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) ) ) )
113112anbi1d 687 . . . . 5  |-  ( y  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( u  -  B ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
z )  <->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  z ) ) )
114113imbi1d 310 . . . 4  |-  ( y  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( ( ( abs `  (
u  -  B ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A )  <-> 
( ( ( abs `  ( u  -  B
) )  <  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) ) )
1151142ralbidv 2587 . . 3  |-  ( y  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  ->  ( A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  B ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
A )  <->  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) ) )
116 breq2 4029 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
z  <->  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )
117116anbi2d 686 . . . . 5  |-  ( z  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
z )  <->  ( ( abs `  ( u  -  B ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) ) )
118117imbi1d 310 . . . 4  |-  ( z  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( (
( ( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
z )  ->  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
A )  <->  ( (
( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
A ) ) )
1191182ralbidv 2587 . . 3  |-  ( z  =  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  B
)  +  1 ) )  ->  ( A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  z )  ->  ( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A )  <->  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  C )  +  ( ( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  < 
( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  B
)  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( u  x.  v )  -  ( B  x.  C
) ) )  < 
A ) ) )
120115, 119rspc2ev 2894 . 2  |-  ( ( ( ( A  / 
2 )  /  (
( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  e.  RR+  /\  (
( A  /  2
)  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) )  e.  RR+  /\  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  ( ( ( abs `  ( u  -  B ) )  <  ( ( A  /  2 )  / 
( ( abs `  C
)  +  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) ) )  /\  ( abs `  (
v  -  C ) )  <  ( ( A  /  2 )  /  ( ( abs `  B )  +  1 ) ) )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  B ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )
12129, 18, 111, 120syl3anc 1184 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  CC )  ->  E. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. u  e.  CC  A. v  e.  CC  (
( ( abs `  (
u  -  B ) )  <  y  /\  ( abs `  ( v  -  C ) )  <  z )  -> 
( abs `  (
( u  x.  v
)  -  ( B  x.  C ) ) )  <  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685   A.wral 2545   E.wrex 2546   class class class wbr 4025   ` cfv 5222  (class class class)co 5820   CCcc 8731   RRcr 8732   0cc0 8733   1c1 8734    + caddc 8736    x. cmul 8738    < clt 8863    <_ cle 8864    - cmin 9033    / cdiv 9419   2c2 9791   RR+crp 10350   abscabs 11714
This theorem is referenced by:  climmul  12101  rlimmul  12113  mulcn  18366  mulc1cncf  18404
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810  ax-pre-sup 8811
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-fun 5224  df-fn 5225  df-f 5226  df-f1 5227  df-fo 5228  df-f1o 5229  df-fv 5230  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-sup 7190  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-div 9420  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-rp 10351  df-seq 11042  df-exp 11100  df-cj 11579  df-re 11580  df-im 11581  df-sqr 11715  df-abs 11716
  Copyright terms: Public domain W3C validator