Theorem mulcompi 5036

Description: Multiplication of positive integers is commutative.

Hypotheses

Ref	Expression
mulcompi.1	|- A e. V
mulcompi.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
mulcompi	|- (A .N B) = (B .N A)

Proof of Theorem mulcompi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnmcom 4247	. . . 4 |- ((A e. om /\ B e. om) -> (A .o B) = (B .o A))
2		pinn 5018	. . . 4 |- (A e. N. -> A e. om)
3		pinn 5018	. . . 4 |- (B e. N. -> B e. om)
4	1, 2, 3	syl2an 456	. . 3 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .o B) = (B .o A))
5		mulpiord 5025	. . 3 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) = (A .o B))
6		mulpiord 5025	. . . 4 |- ((B e. N. /\ A e. N.) -> (B .N A) = (B .o A))
7	6	ancoms 438	. . 3 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (B .N A) = (B .o A))
8	4, 5, 7	3eqtr4d 1520	. 2 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) = (B .N A))
9		mulcompi.2	. . 3 |- B e. V
10		dmmulpi 5031	. . 3 |- dom .N = (N. X. N.)
11		mulcompi.1	. . 3 |- A e. V
12	9, 10, 11	ndmoprcom 4053	. 2 |- (-. (A e. N. /\ B e. N.) -> (A .N B) = (B .N A))
13	8, 12	pm2.61i 126	1 |- (A .N B) = (B .N A)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  omcom 3137  (class class class)co 3969   .o comu 4137  N.cnpi 4984   .N cmi 4986

This theorem is referenced by:  dmenq 5057  enqer 5058  addcmpblnq 5064  mulcmpblnq 5065  ordpipq 5068  addcompq 5074  addasspq 5075  mulcompq 5076  distrpqlem 5078  distrpq 5079  mulidpq 5081  recmulpq 5082  ltsopq 5087  ltapq 5088  ltmpq 5089  ltexpq 5092  halfpq 5094  prlem934b 5150

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-ni 5012  df-mi 5014

Copyright terms: Public domain