Theorem mulcompr 5279

Description: Multiplication of positive reals is commutative. Proposition 9-3.7(ii) of [Gleason] p. 124.

Hypotheses

Ref	Expression
mulcompr.1	|- A e. V
mulcompr.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
mulcompr	|- (A .P. B) = (B .P. A)

Proof of Theorem mulcompr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpv 5268	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A .P. B) = {x | E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y .Q z))})
2		mpv 5268	. . . . 5 |- ((B e. P. /\ A e. P.) -> (B .P. A) = {x | E.zE.y((z e. B /\ y e. A) /\ x = (z .Q y))})
3		ancom 437	. . . . . . . . 9 |- ((z e. B /\ y e. A) <-> (y e. A /\ z e. B))
4		visset 1859	. . . . . . . . . . 11 |- z e. V
5		visset 1859	. . . . . . . . . . 11 |- y e. V
6	4, 5	mulcompq 5218	. . . . . . . . . 10 |- (z .Q y) = (y .Q z)
7	6	eqeq2i 1528	. . . . . . . . 9 |- (x = (z .Q y) <-> x = (y .Q z))
8	3, 7	anbi12i 485	. . . . . . . 8 |- (((z e. B /\ y e. A) /\ x = (z .Q y)) <-> ((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y .Q z)))
9	8	2exbii 1088	. . . . . . 7 |- (E.zE.y((z e. B /\ y e. A) /\ x = (z .Q y)) <-> E.zE.y((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y .Q z)))
10		excom 1082	. . . . . . 7 |- (E.zE.y((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y .Q z)) <-> E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y .Q z)))
11	9, 10	bitri 171	. . . . . 6 |- (E.zE.y((z e. B /\ y e. A) /\ x = (z .Q y)) <-> E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y .Q z)))
12	11	abbii 1618	. . . . 5 |- {x | E.zE.y((z e. B /\ y e. A) /\ x = (z .Q y))} = {x | E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y .Q z))}
13	2, 12	syl6eq 1566	. . . 4 |- ((B e. P. /\ A e. P.) -> (B .P. A) = {x | E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y .Q z))})
14	13	ancoms 438	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (B .P. A) = {x | E.yE.z((y e. A /\ z e. B) /\ x = (y .Q z))})
15	1, 14	eqtr4d 1553	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A .P. B) = (B .P. A))
16		mulcompr.2	. . 3 |- B e. V
17		dmmp 5270	. . 3 |- dom .P. = (P. X. P.)
18		mulcompr.1	. . 3 |- A e. V
19	16, 17, 18	ndmoprcom 4108	. 2 |- (-. (A e. P. /\ B e. P.) -> (A .P. B) = (B .P. A))
20	15, 19	pm2.61i 124	1 |- (A .P. B) = (B .P. A)

Syntax hints:   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  E.wex 1016  {cab 1505  Vcvv 1857  (class class class)co 4021   .Q cmq 5136  P.cnp 5139   .P. cmp 5142

This theorem is referenced by:  mulcmpblnrlem 5336  mulcomsr 5352  mulasssr 5353  m1m1sr 5356  recexsrlem 5366  mulgt0sr 5368

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-ni 5154  df-mi 5156  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-mq 5194  df-mp 5243

Copyright terms: Public domain