Theorem mulcomsr 5350

Description: Multiplication of signed reals is commutative.

Hypotheses

Ref	Expression
mulcomsr.1	|- A e. V
mulcomsr.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
mulcomsr	|- (A .R B) = (B .R A)

Proof of Theorem mulcomsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 5319	. . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
2		mulsrpr 5337	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) = [<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>.] ~R )
3		mulsrpr 5337	. . 3 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (x e. P. /\ y e. P.)) -> ([<.z, w>.] ~R .R [<.x, y>.] ~R ) = [<.((z .P. x) +P. (w .P. y)), ((z .P. y) +P. (w .P. x))>.] ~R )
4		visset 1858	. . . . 5 |- x e. V
5		visset 1858	. . . . 5 |- z e. V
6	4, 5	mulcompr 5277	. . . 4 |- (x .P. z) = (z .P. x)
7		visset 1858	. . . . 5 |- y e. V
8		visset 1858	. . . . 5 |- w e. V
9	7, 8	mulcompr 5277	. . . 4 |- (y .P. w) = (w .P. y)
10	6, 9	opreq12i 4029	. . 3 |- ((x .P. z) +P. (y .P. w)) = ((z .P. x) +P. (w .P. y))
11	4, 8	mulcompr 5277	. . . . 5 |- (x .P. w) = (w .P. x)
12	7, 5	mulcompr 5277	. . . . 5 |- (y .P. z) = (z .P. y)
13	11, 12	opreq12i 4029	. . . 4 |- ((x .P. w) +P. (y .P. z)) = ((w .P. x) +P. (z .P. y))
14		oprex 4039	. . . . 5 |- (w .P. x) e. V
15		oprex 4039	. . . . 5 |- (z .P. y) e. V
16	14, 15	addcompr 5275	. . . 4 |- ((w .P. x) +P. (z .P. y)) = ((z .P. y) +P. (w .P. x))
17	13, 16	eqtri 1537	. . 3 |- ((x .P. w) +P. (y .P. z)) = ((z .P. y) +P. (w .P. x))
18	1, 2, 3, 10, 17	ecoprcom 4458	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A .R B) = (B .R A))
19		mulcomsr.2	. . 3 |- B e. V
20		dmmulsr 5347	. . 3 |- dom .R = (R. X. R.)
21		mulcomsr.1	. . 3 |- A e. V
22	19, 20, 21	ndmoprcom 4106	. 2 |- (-. (A e. R. /\ B e. R.) -> (A .R B) = (B .R A))
23	18, 22	pm2.61i 124	1 |- (A .R B) = (B .R A)

Syntax hints:   /\ wa 221   = wceq 991   e. wcel 993  Vcvv 1856  (class class class)co 4019  P.cnp 5137   +P. cpp 5139   .P. cmp 5140   ~R cer 5144  R.cnr 5145   .R cmr 5150

This theorem is referenced by:  sqgt0sr 5367  mulresr 5409  axmulcom 5428  axmulass 5430  axcnre 5438

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 997  ax-gen 998  ax-8 999  ax-9 1000  ax-10 1001  ax-11 1002  ax-12 1003  ax-13 1004  ax-14 1005  ax-17 1006  ax-4 1008  ax-5o 1010  ax-6o 1013  ax-9o 1158  ax-10o 1176  ax-16 1246  ax-11o 1254  ax-ext 1499  ax-rep 2766  ax-sep 2776  ax-nul 2783  ax-pow 2817  ax-pr 2854  ax-un 3088  ax-inf2 4768

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 781  df-3an 782  df-ex 1016  df-sb 1208  df-eu 1420  df-mo 1421  df-clab 1505  df-cleq 1510  df-clel 1513  df-ne 1629  df-ral 1694  df-rex 1695  df-reu 1696  df-rab 1697  df-v 1857  df-sbc 1986  df-csb 2051  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-pss 2106  df-nul 2332  df-if 2415  df-pw 2458  df-sn 2469  df-pr 2470  df-tp 2472  df-op 2473  df-uni 2569  df-int 2600  df-iun 2634  df-br 2692  df-opab 2740  df-tr 2754  df-eprel 2909  df-id 2912  df-po 2917  df-so 2928  df-fr 2946  df-we 2961  df-ord 2977  df-on 2978  df-lim 2979  df-suc 2980  df-om 3218  df-xp 3264  df-rel 3265  df-cnv 3266  df-co 3267  df-dm 3268  df-rn 3269  df-res 3270  df-ima 3271  df-fun 3272  df-fn 3273  df-f 3274  df-fv 3278  df-opr 4021  df-oprab 4022  df-1st 4138  df-2nd 4139  df-rdg 4231  df-1o 4267  df-oadd 4269  df-omul 4270  df-er 4399  df-ec 4401  df-qs 4404  df-ni 5152  df-pli 5153  df-mi 5154  df-lti 5155  df-plpq 5187  df-mpq 5188  df-enq 5189  df-nq 5190  df-plq 5191  df-mq 5192  df-rq 5193  df-ltq 5194  df-1q 5195  df-np 5238  df-plp 5240  df-mp 5241  df-ltp 5242  df-mpr 5317  df-enr 5318  df-nr 5319  df-mr 5321

Copyright terms: Public domain