Theorem mulcomsr 5352

Description: Multiplication of signed reals is commutative.

Hypotheses

Ref	Expression
mulcomsr.1	|- A e. V
mulcomsr.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
mulcomsr	|- (A .R B) = (B .R A)

Proof of Theorem mulcomsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 5321	. . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
2		mulsrpr 5339	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) = [<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>.] ~R )
3		mulsrpr 5339	. . 3 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (x e. P. /\ y e. P.)) -> ([<.z, w>.] ~R .R [<.x, y>.] ~R ) = [<.((z .P. x) +P. (w .P. y)), ((z .P. y) +P. (w .P. x))>.] ~R )
4		visset 1859	. . . . 5 |- x e. V
5		visset 1859	. . . . 5 |- z e. V
6	4, 5	mulcompr 5279	. . . 4 |- (x .P. z) = (z .P. x)
7		visset 1859	. . . . 5 |- y e. V
8		visset 1859	. . . . 5 |- w e. V
9	7, 8	mulcompr 5279	. . . 4 |- (y .P. w) = (w .P. y)
10	6, 9	opreq12i 4031	. . 3 |- ((x .P. z) +P. (y .P. w)) = ((z .P. x) +P. (w .P. y))
11	4, 8	mulcompr 5279	. . . . 5 |- (x .P. w) = (w .P. x)
12	7, 5	mulcompr 5279	. . . . 5 |- (y .P. z) = (z .P. y)
13	11, 12	opreq12i 4031	. . . 4 |- ((x .P. w) +P. (y .P. z)) = ((w .P. x) +P. (z .P. y))
14		oprex 4041	. . . . 5 |- (w .P. x) e. V
15		oprex 4041	. . . . 5 |- (z .P. y) e. V
16	14, 15	addcompr 5277	. . . 4 |- ((w .P. x) +P. (z .P. y)) = ((z .P. y) +P. (w .P. x))
17	13, 16	eqtri 1538	. . 3 |- ((x .P. w) +P. (y .P. z)) = ((z .P. y) +P. (w .P. x))
18	1, 2, 3, 10, 17	ecoprcom 4460	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A .R B) = (B .R A))
19		mulcomsr.2	. . 3 |- B e. V
20		dmmulsr 5349	. . 3 |- dom .R = (R. X. R.)
21		mulcomsr.1	. . 3 |- A e. V
22	19, 20, 21	ndmoprcom 4108	. 2 |- (-. (A e. R. /\ B e. R.) -> (A .R B) = (B .R A))
23	18, 22	pm2.61i 124	1 |- (A .R B) = (B .R A)

Syntax hints:   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  Vcvv 1857  (class class class)co 4021  P.cnp 5139   +P. cpp 5141   .P. cmp 5142   ~R cer 5146  R.cnr 5147   .R cmr 5152

This theorem is referenced by:  sqgt0sr 5369  mulresr 5411  axmulcom 5430  axmulass 5432  axcnre 5440

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-mr 5323

Copyright terms: Public domain