Theorem mulcomsr 5210

Description: Multiplication of signed reals is commutative.

Hypotheses

Ref	Expression
mulcomsr.1	|- A e. V
mulcomsr.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
mulcomsr	|- (A .R B) = (B .R A)

Proof of Theorem mulcomsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 5179	. . 3 |- R. = ((P. X. P.)/. ~R )
2		mulsrpr 5197	. . 3 |- (((x e. P. /\ y e. P.) /\ (z e. P. /\ w e. P.)) -> ([<.x, y>.] ~R .R [<.z, w>.] ~R ) = [<.((x .P. z) +P. (y .P. w)), ((x .P. w) +P. (y .P. z))>.] ~R )
3		mulsrpr 5197	. . 3 |- (((z e. P. /\ w e. P.) /\ (x e. P. /\ y e. P.)) -> ([<.z, w>.] ~R .R [<.x, y>.] ~R ) = [<.((z .P. x) +P. (w .P. y)), ((z .P. y) +P. (w .P. x))>.] ~R )
4		visset 1816	. . . . 5 |- x e. V
5		visset 1816	. . . . 5 |- z e. V
6	4, 5	mulcompr 5137	. . . 4 |- (x .P. z) = (z .P. x)
7		visset 1816	. . . . 5 |- y e. V
8		visset 1816	. . . . 5 |- w e. V
9	7, 8	mulcompr 5137	. . . 4 |- (y .P. w) = (w .P. y)
10	6, 9	opreq12i 3979	. . 3 |- ((x .P. z) +P. (y .P. w)) = ((z .P. x) +P. (w .P. y))
11	4, 8	mulcompr 5137	. . . . 5 |- (x .P. w) = (w .P. x)
12	7, 5	mulcompr 5137	. . . . 5 |- (y .P. z) = (z .P. y)
13	11, 12	opreq12i 3979	. . . 4 |- ((x .P. w) +P. (y .P. z)) = ((w .P. x) +P. (z .P. y))
14		oprex 3989	. . . . 5 |- (w .P. x) e. V
15		oprex 3989	. . . . 5 |- (z .P. y) e. V
16	14, 15	addcompr 5135	. . . 4 |- ((w .P. x) +P. (z .P. y)) = ((z .P. y) +P. (w .P. x))
17	13, 16	eqtr 1498	. . 3 |- ((x .P. w) +P. (y .P. z)) = ((z .P. y) +P. (w .P. x))
18	1, 2, 3, 10, 17	ecoprcom 4325	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A .R B) = (B .R A))
19		mulcomsr.2	. . 3 |- B e. V
20		dmmulsr 5207	. . 3 |- dom .R = (R. X. R.)
21		mulcomsr.1	. . 3 |- A e. V
22	19, 20, 21	ndmoprcom 4053	. 2 |- (-. (A e. R. /\ B e. R.) -> (A .R B) = (B .R A))
23	18, 22	pm2.61i 126	1 |- (A .R B) = (B .R A)

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  Vcvv 1814  (class class class)co 3969  P.cnp 4997   +P. cpp 4999   .P. cmp 5000   ~R cer 5004  R.cnr 5005   .R cmr 5010

This theorem is referenced by:  sqgt0sr 5227  mulresr 5269  axmulcom 5288  axmulass 5290  axcnre 5298

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-mr 5181

Copyright terms: Public domain