Theorem muleqaddt 5700

Description: Property of numbers whose product equals their sum. Equation 5 of [Kreyszig] p. 12.

Assertion

Ref	Expression
muleqaddt	|- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. B) = (A + B) <-> ((A - 1) x. (B - 1)) = 1))

Proof of Theorem muleqaddt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1cn 5269	. . . . 5 |- 1 e. CC
2		mulsubt 5477	. . . . . 6 |- (((A e. CC /\ 1 e. CC) /\ (B e. CC /\ 1 e. CC)) -> ((A - 1) x. (B - 1)) = (((A x. B) + (1 x. 1)) - ((A x. 1) + (B x. 1))))
3	1, 2	mpanr2 710	. . . . 5 |- (((A e. CC /\ 1 e. CC) /\ B e. CC) -> ((A - 1) x. (B - 1)) = (((A x. B) + (1 x. 1)) - ((A x. 1) + (B x. 1))))
4	1, 3	mpanl2 707	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A - 1) x. (B - 1)) = (((A x. B) + (1 x. 1)) - ((A x. 1) + (B x. 1))))
5	1	mulid1 5332	. . . . . . 7 |- (1 x. 1) = 1
6	5	opreq2i 3972	. . . . . 6 |- ((A x. B) + (1 x. 1)) = ((A x. B) + 1)
7	6	a1i 8	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. B) + (1 x. 1)) = ((A x. B) + 1))
8		ax1id 5282	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (A x. 1) = A)
9		ax1id 5282	. . . . . 6 |- (B e. CC -> (B x. 1) = B)
10	8, 9	opreqan12d 3979	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. 1) + (B x. 1)) = (A + B))
11	7, 10	opreq12d 3978	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((A x. B) + (1 x. 1)) - ((A x. 1) + (B x. 1))) = (((A x. B) + 1) - (A + B)))
12		addsubt 5384	. . . . . 6 |- (((A x. B) e. CC /\ 1 e. CC /\ (A + B) e. CC) -> (((A x. B) + 1) - (A + B)) = (((A x. B) - (A + B)) + 1))
13	1, 12	mp3an2 904	. . . . 5 |- (((A x. B) e. CC /\ (A + B) e. CC) -> (((A x. B) + 1) - (A + B)) = (((A x. B) - (A + B)) + 1))
14		axmulcl 5273	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A x. B) e. CC)
15		axaddcl 5271	. . . . 5 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (A + B) e. CC)
16	13, 14, 15	sylanc 471	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((A x. B) + 1) - (A + B)) = (((A x. B) - (A + B)) + 1))
17	4, 11, 16	3eqtrd 1511	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A - 1) x. (B - 1)) = (((A x. B) - (A + B)) + 1))
18	17	eqeq1d 1483	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((A - 1) x. (B - 1)) = 1 <-> (((A x. B) - (A + B)) + 1) = 1))
19		subclt 5367	. . . . 5 |- (((A x. B) e. CC /\ (A + B) e. CC) -> ((A x. B) - (A + B)) e. CC)
20	19, 14, 15	sylanc 471	. . . 4 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. B) - (A + B)) e. CC)
21		0cn 5328	. . . . 5 |- 0 e. CC
22		addcan2t 5353	. . . . 5 |- ((((A x. B) - (A + B)) e. CC /\ 0 e. CC /\ 1 e. CC) -> ((((A x. B) - (A + B)) + 1) = (0 + 1) <-> ((A x. B) - (A + B)) = 0))
23	21, 1, 22	mp3an23 908	. . . 4 |- (((A x. B) - (A + B)) e. CC -> ((((A x. B) - (A + B)) + 1) = (0 + 1) <-> ((A x. B) - (A + B)) = 0))
24	20, 23	syl 10	. . 3 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((((A x. B) - (A + B)) + 1) = (0 + 1) <-> ((A x. B) - (A + B)) = 0))
25	1	addid2 5331	. . . 4 |- (0 + 1) = 1
26	25	eqeq2i 1485	. . 3 |- ((((A x. B) - (A + B)) + 1) = (0 + 1) <-> (((A x. B) - (A + B)) + 1) = 1)
27	24, 26	syl5rbbr 535	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((A x. B) - (A + B)) = 0 <-> (((A x. B) - (A + B)) + 1) = 1))
28		subeq0t 5403	. . 3 |- (((A x. B) e. CC /\ (A + B) e. CC) -> (((A x. B) - (A + B)) = 0 <-> (A x. B) = (A + B)))
29	28, 14, 15	sylanc 471	. 2 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((A x. B) - (A + B)) = 0 <-> (A x. B) = (A + B)))
30	18, 27, 29	3bitr2rd 547	1 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((A x. B) = (A + B) <-> ((A - 1) x. (B - 1)) = 1))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  (class class class)co 3963  CCcc 5232  0cc0 5234  1c1 5235   + caddc 5237   x. cmul 5239   - cmin 5292

This theorem is referenced by:  conjmult 5797

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-ni 5000  df-pli 5001  df-mi 5002  df-lti 5003  df-plpq 5035  df-mpq 5036  df-enq 5037  df-nq 5038  df-plq 5039  df-mq 5040  df-rq 5041  df-ltq 5042  df-1q 5043  df-np 5086  df-1p 5087  df-plp 5088  df-mp 5089  df-ltp 5090  df-plpr 5164  df-mpr 5165  df-enr 5166  df-nr 5167  df-plr 5168  df-mr 5169  df-0r 5171  df-1r 5172  df-m1r 5173  df-c 5240  df-0 5241  df-1 5242  df-i 5243  df-r 5244  df-plus 5245  df-mul 5246  df-sub 5356  df-neg 5358

Copyright terms: Public domain