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Theorem mulerpq 8549
Description: Multiplication is compatible with the equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulerpq  |-  ( ( /Q `  A )  .Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )

Proof of Theorem mulerpq
StepHypRef Expression
1 nqercl 8523 . . . 4  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  A )  e. 
Q. )
2 nqercl 8523 . . . 4  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  B )  e. 
Q. )
3 mulpqnq 8533 . . . 4  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. )  -> 
( ( /Q `  A )  .Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
41, 2, 3syl2an 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  .Q  ( /Q
`  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
5 enqer 8513 . . . . . 6  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
65a1i 12 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
)
7 nqerrel 8524 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  A  ~Q  ( /Q `  A ) )
87adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  A  ~Q  ( /Q `  A
) )
9 elpqn 8517 . . . . . . . . 9  |-  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  ->  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. ) )
101, 9syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  A )  e.  ( N.  X.  N. ) )
11 mulerpqlem 8547 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. )
)  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A
)  <->  ( A  .pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A ) 
.pQ  B ) ) )
12113exp 1155 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  .pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  .pQ  B )
) ) ) )
1310, 12mpd 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  .pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  .pQ  B )
) ) )
1413imp 420 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  .pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  .pQ  B )
) )
158, 14mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  .pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  .pQ  B
) )
16 nqerrel 8524 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  B  ~Q  ( /Q `  B ) )
1716adantl 454 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  B  ~Q  ( /Q `  B
) )
18 elpqn 8517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( /Q `  B )  e.  Q.  ->  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
192, 18syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
20 mulerpqlem 8547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )
)  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B
)  <->  ( B  .pQ  ( /Q `  A ) )  ~Q  ( ( /Q `  B ) 
.pQ  ( /Q `  A ) ) ) )
21203exp 1155 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  .pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  .pQ  ( /Q `  A ) ) ) ) ) )
2219, 21mpd 16 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  .pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  .pQ  ( /Q `  A ) ) ) ) )
2310, 22mpan9 457 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  .pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  .pQ  ( /Q `  A ) ) ) )
2417, 23mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( B  .pQ  ( /Q `  A ) )  ~Q  ( ( /Q `  B )  .pQ  ( /Q `  A ) ) )
25 mulcompq 8544 . . . . . 6  |-  ( B 
.pQ  ( /Q `  A ) )  =  ( ( /Q `  A )  .pQ  B
)
26 mulcompq 8544 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  B ) 
.pQ  ( /Q `  A ) )  =  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) )
2724, 25, 263brtr3g 4028 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  .pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) )
286, 15, 27ertrd 6644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  .pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) )
29 mulpqf 8538 . . . . . 6  |-  .pQ  :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> ( N.  X.  N. )
3029fovcl 5883 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  .pQ  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
3129fovcl 5883 . . . . . 6  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  .pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )
3210, 19, 31syl2an 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  .pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )
33 nqereq 8527 . . . . 5  |-  ( ( ( A  .pQ  B
)  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  (
( /Q `  A
)  .pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( A  .pQ  B
)  ~Q  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) )  <->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  =  ( /Q
`  ( ( /Q
`  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) ) ) )
3430, 32, 33syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( A  .pQ  B
)  ~Q  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) )  <->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  =  ( /Q
`  ( ( /Q
`  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) ) ) )
3528, 34mpbid 203 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A ) 
.pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
364, 35eqtr4d 2293 . 2  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  .Q  ( /Q
`  B ) )  =  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) ) )
37 0nnq 8516 . . . . . . . 8  |-  -.  (/)  e.  Q.
38 nqerf 8522 . . . . . . . . . . . 12  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.
3938fdmi 5332 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  /Q  =  ( N.  X.  N. )
4039eleq2i 2322 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom  /Q  <->  A  e.  ( N.  X.  N. )
)
41 ndmfv 5486 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  A
)  =  (/) )
4240, 41sylnbir 300 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  ( /Q `  A )  =  (/) )
4342eleq1d 2324 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  (
( /Q `  A
)  e.  Q.  <->  (/)  e.  Q. ) )
4437, 43mtbiri 296 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  -.  ( /Q `  A )  e.  Q. )
4544con4i 124 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  ->  A  e.  ( N.  X.  N. ) )
4639eleq2i 2322 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  dom  /Q  <->  B  e.  ( N.  X.  N. )
)
47 ndmfv 5486 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  B  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  B
)  =  (/) )
4846, 47sylnbir 300 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  ( /Q `  B )  =  (/) )
4948eleq1d 2324 . . . . . . . 8  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  (
( /Q `  B
)  e.  Q.  <->  (/)  e.  Q. ) )
5037, 49mtbiri 296 . . . . . . 7  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  -.  ( /Q `  B )  e.  Q. )
5150con4i 124 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  B )  e.  Q.  ->  B  e.  ( N.  X.  N. ) )
5245, 51anim12i 551 . . . . 5  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. )  -> 
( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
5352con3i 129 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  -.  ( ( /Q `  A )  e. 
Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. ) )
54 mulnqf 8541 . . . . . 6  |-  .Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
5554fdmi 5332 . . . . 5  |-  dom  .Q  =  ( Q.  X.  Q. )
5655ndmov 5938 . . . 4  |-  ( -.  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  /\  ( /Q `  B
)  e.  Q. )  ->  ( ( /Q `  A )  .Q  ( /Q `  B ) )  =  (/) )
5753, 56syl 17 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( /Q
`  A )  .Q  ( /Q `  B
) )  =  (/) )
58 0nelxp 4705 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  ( N.  X.  N. )
5939eleq2i 2322 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  dom  /Q  <->  (/)  e.  ( N.  X.  N. )
)
6058, 59mtbir 292 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  dom  /Q
6129fdmi 5332 . . . . . . 7  |-  dom  .pQ  =  ( ( N. 
X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) )
6261ndmov 5938 . . . . . 6  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  .pQ  B )  =  (/) )
6362eleq1d 2324 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( A 
.pQ  B )  e. 
dom  /Q  <->  (/)  e.  dom  /Q ) )
6460, 63mtbiri 296 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  -.  ( A  .pQ  B )  e.  dom  /Q )
65 ndmfv 5486 . . . 4  |-  ( -.  ( A  .pQ  B
)  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  =  (/) )
6664, 65syl 17 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  =  (/) )
6757, 66eqtr4d 2293 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( /Q
`  A )  .Q  ( /Q `  B
) )  =  ( /Q `  ( A 
.pQ  B ) ) )
6836, 67pm2.61i 158 1  |-  ( ( /Q `  A )  .Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621   (/)c0 3430   class class class wbr 3997    X. cxp 4659   dom cdm 4661   ` cfv 4673  (class class class)co 5792    Er wer 6625   N.cnpi 8434    .pQ cmpq 8439    ~Q ceq 8441   Q.cnq 8442   /Qcerq 8444    .Q cmq 8446
This theorem is referenced by:  mulassnq  8551  distrnq  8553  recmulnq  8556
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-omul 6452  df-er 6628  df-ni 8464  df-mi 8466  df-lti 8467  df-mpq 8501  df-enq 8503  df-nq 8504  df-erq 8505  df-mq 8507  df-1nq 8508
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