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Theorem mulerpq 8769
Description: Multiplication is compatible with the equivalence relation. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulerpq  |-  ( ( /Q `  A )  .Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )

Proof of Theorem mulerpq
StepHypRef Expression
1 nqercl 8743 . . . 4  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  A )  e. 
Q. )
2 nqercl 8743 . . . 4  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  B )  e. 
Q. )
3 mulpqnq 8753 . . . 4  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. )  -> 
( ( /Q `  A )  .Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
41, 2, 3syl2an 464 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  .Q  ( /Q
`  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
5 enqer 8733 . . . . . 6  |-  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
65a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ~Q  Er  ( N.  X.  N. )
)
7 nqerrel 8744 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  A  ~Q  ( /Q `  A ) )
87adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  A  ~Q  ( /Q `  A
) )
9 elpqn 8737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  ->  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. ) )
101, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  A )  e.  ( N.  X.  N. ) )
11 mulerpqlem 8767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. )
)  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A
)  <->  ( A  .pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A ) 
.pQ  B ) ) )
12113exp 1152 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  .pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  .pQ  B )
) ) ) )
1310, 12mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  .pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  .pQ  B )
) ) )
1413imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  ~Q  ( /Q `  A )  <->  ( A  .pQ  B )  ~Q  (
( /Q `  A
)  .pQ  B )
) )
158, 14mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  .pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  .pQ  B
) )
16 nqerrel 8744 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  B  ~Q  ( /Q `  B ) )
1716adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  B  ~Q  ( /Q `  B
) )
18 elpqn 8737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( /Q `  B )  e.  Q.  ->  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
192, 18syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( /Q
`  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
20 mulerpqlem 8767 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. )  /\  ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )
)  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B
)  <->  ( B  .pQ  ( /Q `  A ) )  ~Q  ( ( /Q `  B ) 
.pQ  ( /Q `  A ) ) ) )
21203exp 1152 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  .pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  .pQ  ( /Q `  A ) ) ) ) ) )
2219, 21mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( ( /Q `  A )  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  .pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  .pQ  ( /Q `  A ) ) ) ) )
2310, 22mpan9 456 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( B  ~Q  ( /Q `  B )  <->  ( B  .pQ  ( /Q `  A
) )  ~Q  (
( /Q `  B
)  .pQ  ( /Q `  A ) ) ) )
2417, 23mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( B  .pQ  ( /Q `  A ) )  ~Q  ( ( /Q `  B )  .pQ  ( /Q `  A ) ) )
25 mulcompq 8764 . . . . . 6  |-  ( B 
.pQ  ( /Q `  A ) )  =  ( ( /Q `  A )  .pQ  B
)
26 mulcompq 8764 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  B ) 
.pQ  ( /Q `  A ) )  =  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) )
2724, 25, 263brtr3g 4186 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  .pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) )
286, 15, 27ertrd 6859 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  .pQ  B )  ~Q  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) )
29 mulpqf 8758 . . . . . 6  |-  .pQ  :
( ( N.  X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) ) --> ( N.  X.  N. )
3029fovcl 6116 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  .pQ  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )
3129fovcl 6116 . . . . . 6  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  ( /Q `  B )  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  .pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )
3210, 19, 31syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  .pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )
33 nqereq 8747 . . . . 5  |-  ( ( ( A  .pQ  B
)  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  (
( /Q `  A
)  .pQ  ( /Q `  B ) )  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( A  .pQ  B
)  ~Q  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) )  <->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  =  ( /Q
`  ( ( /Q
`  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) ) ) )
3430, 32, 33syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( A  .pQ  B
)  ~Q  ( ( /Q `  A )  .pQ  ( /Q `  B ) )  <->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  =  ( /Q
`  ( ( /Q
`  A )  .pQ  ( /Q `  B ) ) ) ) )
3528, 34mpbid 202 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  =  ( /Q `  ( ( /Q `  A ) 
.pQ  ( /Q `  B ) ) ) )
364, 35eqtr4d 2424 . 2  |-  ( ( A  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  (
( /Q `  A
)  .Q  ( /Q
`  B ) )  =  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) ) )
37 0nnq 8736 . . . . . . . 8  |-  -.  (/)  e.  Q.
38 nqerf 8742 . . . . . . . . . . . 12  |-  /Q :
( N.  X.  N. )
--> Q.
3938fdmi 5538 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  /Q  =  ( N.  X.  N. )
4039eleq2i 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  dom  /Q  <->  A  e.  ( N.  X.  N. )
)
41 ndmfv 5697 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  A  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  A
)  =  (/) )
4240, 41sylnbir 299 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  ( /Q `  A )  =  (/) )
4342eleq1d 2455 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  (
( /Q `  A
)  e.  Q.  <->  (/)  e.  Q. ) )
4437, 43mtbiri 295 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  -.  ( /Q `  A )  e.  Q. )
4544con4i 124 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  ->  A  e.  ( N.  X.  N. ) )
4639eleq2i 2453 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  dom  /Q  <->  B  e.  ( N.  X.  N. )
)
47 ndmfv 5697 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  B  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  B
)  =  (/) )
4846, 47sylnbir 299 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  ( /Q `  B )  =  (/) )
4948eleq1d 2455 . . . . . . . 8  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  (
( /Q `  B
)  e.  Q.  <->  (/)  e.  Q. ) )
5037, 49mtbiri 295 . . . . . . 7  |-  ( -.  B  e.  ( N. 
X.  N. )  ->  -.  ( /Q `  B )  e.  Q. )
5150con4i 124 . . . . . 6  |-  ( ( /Q `  B )  e.  Q.  ->  B  e.  ( N.  X.  N. ) )
5245, 51anim12i 550 . . . . 5  |-  ( ( ( /Q `  A
)  e.  Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. )  -> 
( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
5352con3i 129 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  -.  ( ( /Q `  A )  e. 
Q.  /\  ( /Q `  B )  e.  Q. ) )
54 mulnqf 8761 . . . . . 6  |-  .Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
5554fdmi 5538 . . . . 5  |-  dom  .Q  =  ( Q.  X.  Q. )
5655ndmov 6172 . . . 4  |-  ( -.  ( ( /Q `  A )  e.  Q.  /\  ( /Q `  B
)  e.  Q. )  ->  ( ( /Q `  A )  .Q  ( /Q `  B ) )  =  (/) )
5753, 56syl 16 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( /Q
`  A )  .Q  ( /Q `  B
) )  =  (/) )
58 0nelxp 4848 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  ( N.  X.  N. )
5939eleq2i 2453 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  dom  /Q  <->  (/)  e.  ( N.  X.  N. )
)
6058, 59mtbir 291 . . . . 5  |-  -.  (/)  e.  dom  /Q
6129fdmi 5538 . . . . . . 7  |-  dom  .pQ  =  ( ( N. 
X.  N. )  X.  ( N.  X.  N. ) )
6261ndmov 6172 . . . . . 6  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( A  .pQ  B )  =  (/) )
6362eleq1d 2455 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( A 
.pQ  B )  e. 
dom  /Q  <->  (/)  e.  dom  /Q ) )
6460, 63mtbiri 295 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  -.  ( A  .pQ  B )  e.  dom  /Q )
65 ndmfv 5697 . . . 4  |-  ( -.  ( A  .pQ  B
)  e.  dom  /Q  ->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  =  (/) )
6664, 65syl 16 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )  =  (/) )
6757, 66eqtr4d 2424 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  ( N.  X.  N. )  /\  B  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( ( /Q
`  A )  .Q  ( /Q `  B
) )  =  ( /Q `  ( A 
.pQ  B ) ) )
6836, 67pm2.61i 158 1  |-  ( ( /Q `  A )  .Q  ( /Q `  B ) )  =  ( /Q `  ( A  .pQ  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   (/)c0 3573   class class class wbr 4155    X. cxp 4818   dom cdm 4820   ` cfv 5396  (class class class)co 6022    Er wer 6840   N.cnpi 8654    .pQ cmpq 8659    ~Q ceq 8661   Q.cnq 8662   /Qcerq 8664    .Q cmq 8666
This theorem is referenced by:  mulassnq  8771  distrnq  8773  recmulnq  8776
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-oadd 6666  df-omul 6667  df-er 6843  df-ni 8684  df-mi 8686  df-lti 8687  df-mpq 8721  df-enq 8723  df-nq 8724  df-erq 8725  df-mq 8727  df-1nq 8728
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