Theorem mulidpq 5041

Description: Multiplication identity element for positive fractions.

Assertion

Ref	Expression
mulidpq	|- (A e. Q. -> (A .Q 1Q) = A)

Proof of Theorem mulidpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq 5010	. 2 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
2		opreq1 3953	. . 3 |- ([<.x, y>.] ~Q = A -> ([<.x, y>.] ~Q .Q 1Q) = (A .Q 1Q))
3		id 59	. . 3 |- ([<.x, y>.] ~Q = A -> [<.x, y>.] ~Q = A)
4	2, 3	eqeq12d 1481	. 2 |- ([<.x, y>.] ~Q = A -> (([<.x, y>.] ~Q .Q 1Q) = [<.x, y>.] ~Q <-> (A .Q 1Q) = A))
5		1pi 4983	. . . . . 6 |- 1o e. N.
6	5, 5	pm3.2i 285	. . . . 5 |- (1o e. N. /\ 1o e. N.)
7		mulpipq 5027	. . . . 5 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (1o e. N. /\ 1o e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q .Q [<.1o, 1o>.] ~Q ) = [<.(x .N 1o), (y .N 1o)>.] ~Q )
8	6, 7	mpan2 694	. . . 4 |- ((x e. N. /\ y e. N.) -> ([<.x, y>.] ~Q .Q [<.1o, 1o>.] ~Q ) = [<.(x .N 1o), (y .N 1o)>.] ~Q )
9		df-1q 5015	. . . . 5 |- 1Q = [<.1o, 1o>.] ~Q
10	9	opreq2i 3957	. . . 4 |- ([<.x, y>.] ~Q .Q 1Q) = ([<.x, y>.] ~Q .Q [<.1o, 1o>.] ~Q )
11	5	elisseti 1809	. . . . . . 7 |- 1o e. V
12		visset 1804	. . . . . . 7 |- x e. V
13	11, 12	mulcompi 4996	. . . . . 6 |- (1o .N x) = (x .N 1o)
14		visset 1804	. . . . . . 7 |- y e. V
15	11, 14	mulcompi 4996	. . . . . 6 |- (1o .N y) = (y .N 1o)
16	13, 15	opeq12i 2483	. . . . 5 |- <.(1o .N x), (1o .N y)>. = <.(x .N 1o), (y .N 1o)>.
17		eceq2 4262	. . . . 5 |- (<.(1o .N x), (1o .N y)>. = <.(x .N 1o), (y .N 1o)>. -> [<.(1o .N x), (1o .N y)>.] ~Q = [<.(x .N 1o), (y .N 1o)>.] ~Q )
18	16, 17	ax-mp 7	. . . 4 |- [<.(1o .N x), (1o .N y)>.] ~Q = [<.(x .N 1o), (y .N 1o)>.] ~Q
19	8, 10, 18	3eqtr4g 1523	. . 3 |- ((x e. N. /\ y e. N.) -> ([<.x, y>.] ~Q .Q 1Q) = [<.(1o .N x), (1o .N y)>.] ~Q )
20	11, 12, 14	distrpqlem 5038	. . . 4 |- ((1o e. N. /\ x e. N. /\ y e. N.) -> [<.(1o .N x), (1o .N y)>.] ~Q = [<.x, y>.] ~Q )
21	5, 20	mp3an1 900	. . 3 |- ((x e. N. /\ y e. N.) -> [<.(1o .N x), (1o .N y)>.] ~Q = [<.x, y>.] ~Q )
22	19, 21	eqtrd 1499	. 2 |- ((x e. N. /\ y e. N.) -> ([<.x, y>.] ~Q .Q 1Q) = [<.x, y>.] ~Q )
23	1, 4, 22	ecoptocl 4287	1 |- (A e. Q. -> (A .Q 1Q) = A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 953   e. wcel 955  <.cop 2401  (class class class)co 3948  1oc1o 4112  [cec 4243  N.cnpi 4944   .N cmi 4946   ~Q ceq 4950  Q.cnq 4951  1Qc1q 4952   .Q cmq 4954

This theorem is referenced by:  recmulpq 5042  ltaddpq 5051  1pr 5089  addclprlem1 5090  addclprlem2 5091  mulclprlem 5093  1idpr 5105  prlem934a 5109  prlem936a 5125  prlem936 5127  reclem3pr 5130

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-mi 4974  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-mq 5012  df-1q 5015

Copyright terms: Public domain