MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulne0d Unicode version

Theorem mulne0d 9510
Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
msq0d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mul0ord.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
mulne0d.3  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
mulne0d.4  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
mulne0d  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  =/=  0 )

Proof of Theorem mulne0d
StepHypRef Expression
1 mulne0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
2 mulne0d.4 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
3 msq0d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4 mul0ord.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
53, 4mulne0bd 9509 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  =/=  0  /\  B  =/=  0 )  <->  ( A  x.  B )  =/=  0
) )
61, 2, 5mpbi2and 887 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1710    =/= wne 2521  (class class class)co 5945   CCcc 8825   0cc0 8827    x. cmul 8832
This theorem is referenced by:  divdivdiv  9551  absrpcl  11869  tanval3  12511  tanaddlem  12543  tanadd  12544  pcqmul  13003  abvdom  15702  itg1mulc  19163  dgrmul  19755  aalioulem4  19819  taylthlem2  19857  tanarg  20081  mulcxp  20143  cxpmul2  20147  angcan  20211  ssscongptld  20233  chordthmlem2  20241  quad2  20246  dcubic2  20251  dcubic  20253  mcubic  20254  cubic2  20255  cubic  20256  lgsdilem2  20682  lgsdi  20683  pntrlog2bndlem2  20839  padicabv  20891  qqhghm  23645  qqhrhm  23646  lgamgulmlem2  24063  prodfn0  24523  ntrivcvgmullem  24530  risefacn0  24647  itg2addnclem  25492  dvreasin  25515  areacirclem2  25517  clim1fr1  27050  wallispilem4  27140  wallispilem5  27141  wallispi2lem1  27143  wallispi2lem2  27144  wallispi2  27145  stirlinglem3  27148  stirlinglem4  27149  stirlinglem10  27155  stirlinglem12  27157  stirlinglem13  27158  stirlinglem14  27159  stirlinglem15  27160  sigardiv  27174  cevathlem1  27180
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3909  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130
  Copyright terms: Public domain W3C validator