MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulne0d Unicode version

Theorem mulne0d 9422
Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
msq0d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mul0ord.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
mulne0d.3  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
mulne0d.4  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
mulne0d  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  =/=  0 )

Proof of Theorem mulne0d
StepHypRef Expression
1 mulne0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
2 mulne0d.4 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
3 msq0d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4 mul0ord.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
53, 4mulne0bd 9421 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  =/=  0  /\  B  =/=  0 )  <->  ( A  x.  B )  =/=  0
) )
61, 2, 5mpbi2and 887 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1686    =/= wne 2448  (class class class)co 5860   CCcc 8737   0cc0 8739    x. cmul 8744
This theorem is referenced by:  divdivdiv  9463  absrpcl  11775  tanval3  12416  tanaddlem  12448  tanadd  12449  pcqmul  12908  abvdom  15605  itg1mulc  19061  dgrmul  19653  aalioulem4  19717  taylthlem2  19755  tanarg  19972  mulcxp  20034  cxpmul2  20038  angcan  20102  ssscongptld  20124  chordthmlem2  20132  quad2  20137  dcubic2  20142  dcubic  20144  mcubic  20145  cubic2  20146  cubic  20147  lgsdilem2  20572  lgsdi  20573  pntrlog2bndlem2  20729  padicabv  20781  dvreasin  24925  itg2addnclem  24933  areacirclem2  24936  clim1fr1  27738  wallispilem4  27828  wallispilem5  27829  wallispi2lem1  27831  wallispi2lem2  27832  wallispi2  27833  stirlinglem3  27836  stirlinglem4  27837  stirlinglem10  27843  stirlinglem12  27845  stirlinglem13  27846  stirlinglem14  27847  stirlinglem15  27848  sigardiv  27862  cevathlem1  27868
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-riota 6306  df-er 6662  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042
  Copyright terms: Public domain W3C validator