MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulne0d Unicode version

Theorem mulne0d 9416
Description: The product of two nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
msq0d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mul0ord.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
mulne0d.3  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
mulne0d.4  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
Assertion
Ref Expression
mulne0d  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  =/=  0 )

Proof of Theorem mulne0d
StepHypRef Expression
1 mulne0d.3 . 2  |-  ( ph  ->  A  =/=  0 )
2 mulne0d.4 . 2  |-  ( ph  ->  B  =/=  0 )
3 msq0d.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
4 mul0ord.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
53, 4mulne0bd 9415 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  =/=  0  /\  B  =/=  0 )  <->  ( A  x.  B )  =/=  0
) )
61, 2, 5mpbi2and 887 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  =/=  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1685    =/= wne 2447  (class class class)co 5820   CCcc 8731   0cc0 8733    x. cmul 8738
This theorem is referenced by:  divdivdiv  9457  absrpcl  11769  tanval3  12410  tanaddlem  12442  tanadd  12443  pcqmul  12902  abvdom  15599  itg1mulc  19055  dgrmul  19647  aalioulem4  19711  taylthlem2  19749  tanarg  19966  mulcxp  20028  cxpmul2  20032  angcan  20096  ssscongptld  20118  chordthmlem2  20126  quad2  20131  dcubic2  20136  dcubic  20138  mcubic  20139  cubic2  20140  cubic  20141  lgsdilem2  20566  lgsdi  20567  pntrlog2bndlem2  20723  padicabv  20775  dvreasin  24333  areacirclem2  24335  clim1fr1  27138  wallispilem4  27228  wallispilem5  27229  wallispi2lem1  27231  wallispi2lem2  27232  wallispi2  27233  stirlinglem3  27236  stirlinglem4  27237  stirlinglem10  27243  stirlinglem12  27245  stirlinglem13  27246  stirlinglem14  27247  stirlinglem15  27248
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-iota 6253  df-riota 6300  df-er 6656  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036
  Copyright terms: Public domain W3C validator