MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulneg1d Unicode version

Theorem mulneg1d 9186
Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
mulnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
mulneg1d  |-  ( ph  ->  ( -u A  x.  B )  =  -u ( A  x.  B
) )

Proof of Theorem mulneg1d
StepHypRef Expression
1 mulm1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 mulnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 mulneg1 9170 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  x.  B )  =  -u ( A  x.  B
) )
41, 2, 3syl2anc 645 1  |-  ( ph  ->  ( -u A  x.  B )  =  -u ( A  x.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621  (class class class)co 5778   CCcc 8689    x. cmul 8696   -ucneg 8992
This theorem is referenced by:  divsubdiv  9430  recgt0  9554  xmulneg1  10541  expmulz  11100  discr1  11189  iseraltlem3  12107  mulgass  14545  mbfmulc2lem  18950  mbfmulc2  18966  itg2monolem1  19053  itgmulc2  19136  dvexp3  19273  dvfsumlem2  19322  aaliou3lem2  19671  advlogexp  19950  logtayl2  19957  dcubic2  20088  dcubic  20090  ftalem5  20262  lgsdilem  20509  2sqlem4  20554  pntrsumo1  20662  pntrlog2bndlem4  20677  brbtwn2  23894  colinearalglem4  23898  axeuclidlem  23951  pellexlem6  26272  jm2.19lem1  26435  jm2.19lem4  26438  jm2.19  26439
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470  ax-resscn 8748  ax-1cn 8749  ax-icn 8750  ax-addcl 8751  ax-addrcl 8752  ax-mulcl 8753  ax-mulrcl 8754  ax-mulcom 8755  ax-addass 8756  ax-mulass 8757  ax-distr 8758  ax-i2m1 8759  ax-1ne0 8760  ax-1rid 8761  ax-rnegex 8762  ax-rrecex 8763  ax-cnre 8764  ax-pre-lttri 8765  ax-pre-lttrn 8766  ax-pre-ltadd 8767
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-op 3609  df-uni 3788  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpt2 5783  df-iota 6211  df-riota 6258  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-pnf 8823  df-mnf 8824  df-ltxr 8826  df-sub 8993  df-neg 8994
  Copyright terms: Public domain W3C validator