MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulneg1i Unicode version

Theorem mulneg1i 9220
Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 10-Feb-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
mulm1.1  |-  A  e.  CC
mulneg.2  |-  B  e.  CC
Assertion
Ref Expression
mulneg1i  |-  ( -u A  x.  B )  =  -u ( A  x.  B )

Proof of Theorem mulneg1i
StepHypRef Expression
1 mulm1.1 . 2  |-  A  e.  CC
2 mulneg.2 . 2  |-  B  e.  CC
3 mulneg1 9211 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( -u A  x.  B )  =  -u ( A  x.  B
) )
41, 2, 3mp2an 655 1  |-  ( -u A  x.  B )  =  -u ( A  x.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1624    e. wcel 1685  (class class class)co 5819   CCcc 8730    x. cmul 8737   -ucneg 9033
This theorem is referenced by:  recgt0ii  9657  crreczi  11220  sinhval  12428  coshval  12429  dvdslelem  12567  divalglem2  12588  divalglem6  12591  gcdaddmlem  12701  ang180lem2  20102  ang180lem3  20103  1cubrlem  20131  asinsinlem  20181  asinsin  20182  asin1  20184  lgsdir2lem5  20560  nvpi  21224  ipasslem10  21409  normlem3  21683
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-iota 6252  df-riota 6299  df-er 6655  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-ltxr 8867  df-sub 9034  df-neg 9035
  Copyright terms: Public domain W3C validator