Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulog2sumlem1 Structured version   Unicode version

Theorem mulog2sumlem1 21220
 Description: Asymptotic formula for , with explicit constants. Equation 10.2.7 of [Shapiro], p. 407. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
logdivsum.1
mulog2sumlem.1
mulog2sumlem1.2
mulog2sumlem1.3
Assertion
Ref Expression
mulog2sumlem1
Distinct variable groups:   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem mulog2sumlem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11304 . . . . . 6
2 mulog2sumlem1.2 . . . . . . . . 9
3 elfznn 11072 . . . . . . . . . 10
43nnrpd 10639 . . . . . . . . 9
5 rpdivcl 10626 . . . . . . . . 9
62, 4, 5syl2an 464 . . . . . . . 8
76relogcld 20510 . . . . . . 7
83adantl 453 . . . . . . 7
97, 8nndivred 10040 . . . . . 6
101, 9fsumrecl 12520 . . . . 5
112relogcld 20510 . . . . . . . 8
1211resqcld 11541 . . . . . . 7
1312rehalfcld 10206 . . . . . 6
14 emre 20836 . . . . . . . 8
15 remulcl 9067 . . . . . . . 8
1614, 11, 15sylancr 645 . . . . . . 7
17 rpsup 11239 . . . . . . . . 9
1817a1i 11 . . . . . . . 8
19 logdivsum.1 . . . . . . . . . . . . 13
2019logdivsum 21219 . . . . . . . . . . . 12
2120simp1i 966 . . . . . . . . . . 11
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10
2322feqmptd 5771 . . . . . . . . 9
24 mulog2sumlem.1 . . . . . . . . 9
2523, 24eqbrtrrd 4226 . . . . . . . 8
2621ffvelrni 5861 . . . . . . . . 9
2726adantl 453 . . . . . . . 8
2818, 25, 27rlimrecl 12366 . . . . . . 7
2916, 28resubcld 9457 . . . . . 6
3013, 29readdcld 9107 . . . . 5
3110, 30resubcld 9457 . . . 4
3231recnd 9106 . . 3
3332abscld 12230 . 2
34 rerpdivcl 10631 . . . . . . . 8
3511, 4, 34syl2an 464 . . . . . . 7
3635recnd 9106 . . . . . 6
371, 36fsumcl 12519 . . . . 5
3811recnd 9106 . . . . . 6
39 readdcl 9065 . . . . . . . 8
4011, 14, 39sylancl 644 . . . . . . 7
4140recnd 9106 . . . . . 6
4238, 41mulcld 9100 . . . . 5
4337, 42subcld 9403 . . . 4
4443abscld 12230 . . 3
458nnrpd 10639 . . . . . . . . 9
4645relogcld 20510 . . . . . . . 8
4746, 8nndivred 10040 . . . . . . 7
4847recnd 9106 . . . . . 6
491, 48fsumcl 12519 . . . . 5
5013recnd 9106 . . . . . 6
5128recnd 9106 . . . . . 6
5250, 51addcld 9099 . . . . 5
5349, 52subcld 9403 . . . 4
5453abscld 12230 . . 3
56 2re 10061 . . 3
5711, 2rerpdivcld 10667 . . 3
58 remulcl 9067 . . 3
5956, 57, 58sylancr 645 . 2
60 relogdiv 20479 . . . . . . . . . . 11
612, 4, 60syl2an 464 . . . . . . . . . 10
6261oveq1d 6088 . . . . . . . . 9
6338adantr 452 . . . . . . . . . 10
6446recnd 9106 . . . . . . . . . 10
6545rpcnne0d 10649 . . . . . . . . . 10
66 divsubdir 9702 . . . . . . . . . 10
6763, 64, 65, 66syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
6862, 67eqtrd 2467 . . . . . . . 8
6968sumeq2dv 12489 . . . . . . 7
701, 36, 48fsumsub 12563 . . . . . . 7
7169, 70eqtrd 2467 . . . . . 6
72 remulcl 9067 . . . . . . . . . . . . 13
7311, 14, 72sylancl 644 . . . . . . . . . . . 12
7413, 73readdcld 9107 . . . . . . . . . . 11
7574recnd 9106 . . . . . . . . . 10
7675, 50pncand 9404 . . . . . . . . 9
7714recni 9094 . . . . . . . . . . . . 13
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
7938, 38, 78adddid 9104 . . . . . . . . . . 11
8012recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . 14
81802halvesd 10205 . . . . . . . . . . . . 13
8238sqvald 11512 . . . . . . . . . . . . 13
8381, 82eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12
8483oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11
8573recnd 9106 . . . . . . . . . . . 12
8650, 50, 85add32d 9280 . . . . . . . . . . 11
8779, 84, 863eqtr2d 2473 . . . . . . . . . 10
8887oveq1d 6088 . . . . . . . . 9
89 mulcom 9068 . . . . . . . . . . 11
9077, 38, 89sylancr 645 . . . . . . . . . 10
9190oveq2d 6089 . . . . . . . . 9
9276, 88, 913eqtr4rd 2478 . . . . . . . 8
9392oveq1d 6088 . . . . . . 7
9490, 85eqeltrd 2509 . . . . . . . 8
9550, 94, 51addsubassd 9423 . . . . . . 7
9642, 50, 51subsub4d 9434 . . . . . . 7
9793, 95, 963eqtr3d 2475 . . . . . 6
9871, 97oveq12d 6091 . . . . 5
9937, 49, 42, 52sub4d 9452 . . . . 5
10098, 99eqtrd 2467 . . . 4
101100fveq2d 5724 . . 3
10243, 53abs2dif2d 12252 . . 3
103101, 102eqbrtrd 4224 . 2
104 harmonicbnd4 20841 . . . . . . 7
1052, 104syl 16 . . . . . 6
1068nnrecred 10037 . . . . . . . . . . 11
1071, 106fsumrecl 12520 . . . . . . . . . 10
108107, 40resubcld 9457 . . . . . . . . 9
109108recnd 9106 . . . . . . . 8
110109abscld 12230 . . . . . . 7
1112rprecred 10651 . . . . . . 7
112 0re 9083 . . . . . . . . 9
113112a1i 11 . . . . . . . 8
114 1re 9082 . . . . . . . . 9
115114a1i 11 . . . . . . . 8
116 0lt1 9542 . . . . . . . . 9
117116a1i 11 . . . . . . . 8
118 loge 20473 . . . . . . . . 9
119 mulog2sumlem1.3 . . . . . . . . . 10
120 epr 12799 . . . . . . . . . . 11
121 logleb 20490 . . . . . . . . . . 11
122120, 2, 121sylancr 645 . . . . . . . . . 10
123119, 122mpbid 202 . . . . . . . . 9
124118, 123syl5eqbrr 4238 . . . . . . . 8
125113, 115, 11, 117, 124ltletrd 9222 . . . . . . 7
126 lemul2 9855 . . . . . . 7
127110, 111, 11, 125, 126syl112anc 1188 . . . . . 6
128105, 127mpbid 202 . . . . 5
12945rpcnd 10642 . . . . . . . . . . . 12
13045rpne0d 10645 . . . . . . . . . . . 12
13163, 129, 130divrecd 9785 . . . . . . . . . . 11
132131sumeq2dv 12489 . . . . . . . . . 10
133106recnd 9106 . . . . . . . . . . 11
1341, 38, 133fsummulc2 12559 . . . . . . . . . 10
135132, 134eqtr4d 2470 . . . . . . . . 9
136135oveq1d 6088 . . . . . . . 8
1371, 133fsumcl 12519 . . . . . . . . 9
13838, 137, 41subdid 9481 . . . . . . . 8
139136, 138eqtr4d 2470 . . . . . . 7
140139fveq2d 5724 . . . . . 6
141137, 41subcld 9403 . . . . . . 7
14238, 141absmuld 12248 . . . . . 6
143113, 11, 125ltled 9213 . . . . . . . 8
14411, 143absidd 12217 . . . . . . 7
145144oveq1d 6088 . . . . . 6
146140, 142, 1453eqtrd 2471 . . . . 5
1472rpcnd 10642 . . . . . 6
1482rpne0d 10645 . . . . . 6
14938, 147, 148divrecd 9785 . . . . 5
150128, 146, 1493brtr4d 4234 . . . 4
151 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . 14
152 id 20 . . . . . . . . . . . . . 14
153151, 152oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . 13
154153cbvsumv 12482 . . . . . . . . . . . 12
155 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . 14
156155oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . 13
157156sumeq1d 12487 . . . . . . . . . . . 12
158154, 157syl5eq 2479 . . . . . . . . . . 11
159 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . 13
160159oveq1d 6088 . . . . . . . . . . . 12
161160oveq1d 6088 . . . . . . . . . . 11
162158, 161oveq12d 6091 . . . . . . . . . 10
163 ovex 6098 . . . . . . . . . 10
164162, 19, 163fvmpt 5798 . . . . . . . . 9
1652, 164syl 16 . . . . . . . 8
166165oveq1d 6088 . . . . . . 7
16749, 50, 51subsub4d 9434 . . . . . . 7
168166, 167eqtrd 2467 . . . . . 6
169168fveq2d 5724 . . . . 5
17020simp3i 968 . . . . . 6
17124, 2, 119, 170syl3anc 1184 . . . . 5
172169, 171eqbrtrrd 4226 . . . 4
17344, 54, 57, 57, 150, 172le2addd 9636 . . 3
17457recnd 9106 . . . 4
1751742timesd 10202 . . 3
176173, 175breqtrrd 4230 . 2
17733, 55, 59, 103, 176letrd 9219 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   wne 2598   class class class wbr 4204   cmpt 4258   cdm 4870  wf 5442  cfv 5446  (class class class)co 6073  csup 7437  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cmul 8987   cpnf 9109  cxr 9111   clt 9112   cle 9113   cmin 9283   cdiv 9669  cn 9992  c2 10041  crp 10604  cfz 11035  cfl 11193  cexp 11374  cabs 12031   crli 12271  csu 12471  ceu 12657  clog 20444  cem 20822 This theorem is referenced by:  mulog2sumlem2  21221 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-e 12663  df-sin 12664  df-cos 12665  df-pi 12667  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-cmp 17442  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-log 20446  df-cxp 20447  df-em 20823
 Copyright terms: Public domain W3C validator