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Theorem mulogsum 20697
Description: Asymptotic formula for  sum_ n  <_  x ,  ( mmu ( n )  /  n ) log (
x  /  n )  =  O ( 1 ). Equation 10.2.6 of [Shapiro], p. 406. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulogsum  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  O ( 1 )
Distinct variable group:    x, n

Proof of Theorem mulogsum
Dummy variables  k  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 10380 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
2 ax-1cn 8811 . . . 4  |-  1  e.  CC
3 o1const 12109 . . . 4  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O ( 1 ) )
41, 2, 3mp2an 653 . . 3  |-  ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O ( 1 )
52a1i 10 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
6 fzfid 11051 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
7 elfznn 10835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
87adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
9 mucl 20395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
mmu `  n )  e.  ZZ )
108, 9syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  ZZ )
1110zred 10133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  RR )
1211, 8nndivred 9810 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  RR )
137nnrpd 10405 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  RR+ )
14 rpdivcl 10392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
x  /  n )  e.  RR+ )
1513, 14sylan2 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
1615relogcld 19990 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
1712, 16remulcld 8879 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
1817recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  e.  CC )
196, 18fsumcl 12222 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) )  e.  CC )
2019adantl 452 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) )  e.  CC )
21 mulogsumlem 20696 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  O ( 1 )
22 sumex 12176 . . . . . . . 8  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  _V
2322a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  _V )
2421a1i 10 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
2523, 24o1mptrcl 12112 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  CC )
265, 20subcld 9173 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  CC )
27 1re 8853 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2827a1i 10 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
29 elfznn 10835 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  k  e.  NN )
3029ssriv 3197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  C_  NN
3130a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  C_  NN )
3231sselda 3193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
3332, 9syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  ZZ )
3433zred 10133 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  RR )
3534, 32nndivred 9810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  RR )
3635recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
37 fzfid 11051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  e.  Fin )
38 elfznn 10835 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  ->  m  e.  NN )
3938adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
4039nnrpd 10405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
4140rpcnne0d 10415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )
42 reccl 9447 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 )  -> 
( 1  /  m
)  e.  CC )
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  CC )
4437, 43fsumcl 12222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  e.  CC )
45 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  x  e.  RR+ )
4645, 13, 14syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
4746relogcld 19990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  (
x  /  n ) )  e.  RR )
4847recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  (
x  /  n ) )  e.  CC )
4936, 44, 48subdid 9251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( mmu `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  =  ( ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) )  -  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )
5049sumeq2dv 12192 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) )  -  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )
51 fzfid 11051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
5236, 44mulcld 8871 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m ) )  e.  CC )
5318adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( mmu `  n )  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  e.  CC )
5451, 52, 53fsumsub 12266 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m ) )  -  ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )
55 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  x.  m )  ->  (
1  /  k )  =  ( 1  / 
( n  x.  m
) ) )
5655oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  x.  m )  ->  (
( mmu `  n
)  x.  ( 1  /  k ) )  =  ( ( mmu `  n )  x.  (
1  /  ( n  x.  m ) ) ) )
57 rpre 10376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
5857adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  x  e.  RR )
59 ssrab2 3271 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  C_  NN
60 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )
6159, 60sseldi 3191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  n  e.  NN )
6261, 9syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  (
mmu `  n )  e.  ZZ )
6362zcnd 10134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  (
mmu `  n )  e.  CC )
6429adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  k  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  k  e.  NN )
6564nnrecred 9807 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  k  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
k )  e.  RR )
6665recnd 8877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  k  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
k )  e.  CC )
6766adantrr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  (
1  /  k )  e.  CC )
6863, 67mulcld 8871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  (
( mmu `  n
)  x.  ( 1  /  k ) )  e.  CC )
6956, 58, 68dvdsflsumcom 20444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
( mmu `  n
)  x.  ( 1  /  k ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  ( 1  /  ( n  x.  m ) ) ) )
70 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
1  /  k )  =  ( 1  / 
1 ) )
712div1i 9504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  1 )  =  1
7270, 71syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  (
1  /  k )  =  1 )
73 flge1nn 10965 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
7457, 73sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  NN )
75 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7674, 75syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
77 eluzfz1 10819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
7876, 77syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
7972, 51, 31, 78, 66musumsum 20448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
( mmu `  n
)  x.  ( 1  /  k ) )  =  1 )
8033zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  CC )
8180adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  CC )
8232adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
8382nnrpd 10405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
8483rpcnne0d 10415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
85 divdiv1 9487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( mmu `  n
)  e.  CC  /\  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 )  /\  ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( mmu `  n )  /  n
)  /  m )  =  ( ( mmu `  n )  /  (
n  x.  m ) ) )
8681, 84, 41, 85syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  /  m )  =  ( ( mmu `  n )  /  (
n  x.  m ) ) )
8736adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  CC )
8839nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
8939nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  =/=  0 )
9087, 88, 89divrecd 9555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  /  m )  =  ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( 1  /  m ) ) )
91 nnmulcl 9785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  ->  ( n  x.  m
)  e.  NN )
9232, 38, 91syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( n  x.  m )  e.  NN )
9392nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( n  x.  m )  e.  CC )
9492nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( n  x.  m )  =/=  0
)
9581, 93, 94divrecd 9555 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  ( n  x.  m ) )  =  ( ( mmu `  n )  x.  (
1  /  ( n  x.  m ) ) ) )
9686, 90, 953eqtr3rd 2337 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  x.  ( 1  /  (
n  x.  m ) ) )  =  ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( 1  /  m ) ) )
9796sumeq2dv 12192 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
1  /  ( n  x.  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( 1  /  m ) ) )
9837, 36, 43fsummulc2 12262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( 1  /  m ) ) )
9997, 98eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
1  /  ( n  x.  m ) ) )  =  ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) ) )
10099sumeq2dv 12192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  ( 1  /  ( n  x.  m ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) ) )
10169, 79, 1003eqtr3rd 2337 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) )  =  1 )
102101oveq1d 5889 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  =  ( 1  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )
10350, 54, 1023eqtrd 2332 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( 1  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )
104103adantl 452 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( 1  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )
10525, 26, 28, 104o1eq 12060 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  RR+  |->  ( 1  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
10621, 105mpbii 202 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
1075, 20, 106o1dif 12119 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
1084, 107mpbii 202 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
109108trud 1314 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  O ( 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   {crab 2560   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   ...cfz 10798   |_cfl 10940   O ( 1 )co1 11976   sum_csu 12174    || cdivides 12547   logclog 19928   mmucmu 20348
This theorem is referenced by:  mulog2sumlem3  20701  selberglem1  20710
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-o1 11980  df-lo1 11981  df-sum 12175  df-ef 12365  df-e 12366  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-em 20303  df-mu 20354
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