MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulogsum Structured version   Unicode version

Theorem mulogsum 21218
Description: Asymptotic formula for  sum_ n  <_  x ,  ( mmu ( n )  /  n ) log (
x  /  n )  =  O ( 1 ). Equation 10.2.6 of [Shapiro], p. 406. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulogsum  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  O ( 1 )
Distinct variable group:    x, n

Proof of Theorem mulogsum
Dummy variables  k  m  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpssre 10614 . . . 4  |-  RR+  C_  RR
2 ax-1cn 9040 . . . 4  |-  1  e.  CC
3 o1const 12405 . . . 4  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O ( 1 ) )
41, 2, 3mp2an 654 . . 3  |-  ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O ( 1 )
52a1i 11 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  1  e.  CC )
6 fzfid 11304 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
7 elfznn 11072 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
87adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
9 mucl 20916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
mmu `  n )  e.  ZZ )
108, 9syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  ZZ )
1110zred 10367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  RR )
1211, 8nndivred 10040 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  RR )
137nnrpd 10639 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  RR+ )
14 rpdivcl 10626 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
x  /  n )  e.  RR+ )
1513, 14sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
1615relogcld 20510 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
1712, 16remulcld 9108 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  e.  RR )
1817recnd 9106 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  e.  CC )
196, 18fsumcl 12519 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) )  e.  CC )
2019adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) )  e.  CC )
21 mulogsumlem 21217 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  O ( 1 )
22 sumex 12473 . . . . . . . 8  |-  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  _V
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  _V )
2421a1i 11 . . . . . . 7  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
2523, 24o1mptrcl 12408 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  CC )
265, 20subcld 9403 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( 1  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  CC )
27 1re 9082 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2827a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
29 elfznn 11072 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  k  e.  NN )
3029ssriv 3344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  C_  NN
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  C_  NN )
3231sselda 3340 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
3332, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  ZZ )
3433zred 10367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  RR )
3534, 32nndivred 10040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  RR )
3635recnd 9106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
37 fzfid 11304 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  e.  Fin )
38 elfznn 11072 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  ->  m  e.  NN )
3938adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
4039nnrpd 10639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  RR+ )
4140rpcnne0d 10649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )
42 reccl 9677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 )  -> 
( 1  /  m
)  e.  CC )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  CC )
4437, 43fsumcl 12519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  e.  CC )
45 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  x  e.  RR+ )
4645, 13, 14syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
4746relogcld 20510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  (
x  /  n ) )  e.  RR )
4847recnd 9106 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  (
x  /  n ) )  e.  CC )
4936, 44, 48subdid 9481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( mmu `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  =  ( ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) )  -  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )
5049sumeq2dv 12489 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) )  -  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )
51 fzfid 11304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  (
1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
5236, 44mulcld 9100 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m ) )  e.  CC )
5318adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( mmu `  n )  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) )  e.  CC )
5451, 52, 53fsumsub 12563 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m ) )  -  ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )
55 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  x.  m )  ->  (
1  /  k )  =  ( 1  / 
( n  x.  m
) ) )
5655oveq2d 6089 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  x.  m )  ->  (
( mmu `  n
)  x.  ( 1  /  k ) )  =  ( ( mmu `  n )  x.  (
1  /  ( n  x.  m ) ) ) )
57 rpre 10610 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
5857adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  x  e.  RR )
59 ssrab2 3420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  C_  NN
60 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  n  e.  { y  e.  NN  |  y  ||  k } )
6159, 60sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  n  e.  NN )
6261, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  (
mmu `  n )  e.  ZZ )
6362zcnd 10368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  (
mmu `  n )  e.  CC )
6429adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  k  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  k  e.  NN )
6564nnrecred 10037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  k  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
k )  e.  RR )
6665recnd 9106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  k  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  / 
k )  e.  CC )
6766adantrr 698 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  (
1  /  k )  e.  CC )
6863, 67mulcld 9100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  ( k  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )  /\  n  e.  {
y  e.  NN  | 
y  ||  k }
) )  ->  (
( mmu `  n
)  x.  ( 1  /  k ) )  e.  CC )
6956, 58, 68dvdsflsumcom 20965 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
( mmu `  n
)  x.  ( 1  /  k ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  ( 1  /  ( n  x.  m ) ) ) )
70 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  1  ->  (
1  /  k )  =  ( 1  / 
1 ) )
712div1i 9734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  1 )  =  1
7270, 71syl6eq 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  (
1  /  k )  =  1 )
73 flge1nn 11218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  /\  1  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN )
7457, 73sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  NN )
75 nnuz 10513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
7674, 75syl6eleq 2525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
77 eluzfz1 11056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( |_ `  x )  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
7876, 77syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  1  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )
7972, 51, 31, 78, 66musumsum 20969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ n  e.  { y  e.  NN  |  y 
||  k }  (
( mmu `  n
)  x.  ( 1  /  k ) )  =  1 )
8033zcnd 10368 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  CC )
8180adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  CC )
8232adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  n  e.  NN )
8382nnrpd 10639 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
8483rpcnne0d 10649 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
85 divdiv1 9717 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( mmu `  n
)  e.  CC  /\  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 )  /\  ( m  e.  CC  /\  m  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( mmu `  n )  /  n
)  /  m )  =  ( ( mmu `  n )  /  (
n  x.  m ) ) )
8681, 84, 41, 85syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  /  m )  =  ( ( mmu `  n )  /  (
n  x.  m ) ) )
8736adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  CC )
8839nncnd 10008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  CC )
8939nnne0d 10036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  =/=  0 )
9087, 88, 89divrecd 9785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  /  m )  =  ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( 1  /  m ) ) )
91 nnmulcl 10015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN  /\  m  e.  NN )  ->  ( n  x.  m
)  e.  NN )
9232, 38, 91syl2an 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( n  x.  m )  e.  NN )
9392nncnd 10008 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( n  x.  m )  e.  CC )
9492nnne0d 10036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( n  x.  m )  =/=  0
)
9581, 93, 94divrecd 9785 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  ( n  x.  m ) )  =  ( ( mmu `  n )  x.  (
1  /  ( n  x.  m ) ) ) )
9686, 90, 953eqtr3rd 2476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x
)  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  x.  ( 1  /  (
n  x.  m ) ) )  =  ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( 1  /  m ) ) )
9796sumeq2dv 12489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
1  /  ( n  x.  m ) ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( 1  /  m ) ) )
9837, 36, 43fsummulc2 12559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m ) )  =  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( 1  /  m ) ) )
9997, 98eqtr4d 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  /\  n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( ( mmu `  n )  x.  (
1  /  ( n  x.  m ) ) )  =  ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) ) )
10099sumeq2dv 12489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) )
sum_ m  e.  (
1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( ( mmu `  n
)  x.  ( 1  /  ( n  x.  m ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) ) )
10169, 79, 1003eqtr3rd 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) )  =  1 )
102101oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) )  =  ( 1  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )
10350, 54, 1023eqtrd 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( 1  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )
104103adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  =  ( 1  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) ) )
10525, 26, 28, 104o1eq 12356 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  RR+  |->  ( 1  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
10621, 105mpbii 203 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( 1  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( log `  (
x  /  n ) ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
1075, 20, 106o1dif 12415 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  1 )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  O ( 1 ) ) )
1084, 107mpbii 203 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
109108trud 1332 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  O ( 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 359    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   {crab 2701   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   CCcc 8980   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    x. cmul 8987    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   ZZcz 10274   ZZ>=cuz 10480   RR+crp 10604   ...cfz 11035   |_cfl 11193   O ( 1 )co1 12272   sum_csu 12471    || cdivides 12844   logclog 20444   mmucmu 20869
This theorem is referenced by:  mulog2sumlem3  21222  selberglem1  21231
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-o1 12276  df-lo1 12277  df-sum 12472  df-ef 12662  df-e 12663  df-sin 12664  df-cos 12665  df-pi 12667  df-dvds 12845  df-gcd 12999  df-prm 13072  df-pc 13203  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-log 20446  df-em 20823  df-mu 20875
  Copyright terms: Public domain W3C validator