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Theorem mulogsumlem 21085
Description: Lemma for mulogsum 21086. (Contributed by Mario Carneiro, 14-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
mulogsumlem  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  O ( 1 )
Distinct variable group:    m, n, x

Proof of Theorem mulogsumlem
StepHypRef Expression
1 fzfid 11232 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e. 
Fin )
2 elfznn 11005 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  NN )
32adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  NN )
4 mucl 20784 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
mmu `  n )  e.  ZZ )
53, 4syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  ZZ )
65zred 10300 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  RR )
76, 3nndivred 9973 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  RR )
87recnd 9040 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
mmu `  n )  /  n )  e.  CC )
91, 8fsumcl 12447 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
109adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC )
11 emre 20704 . . . . . 6  |-  gamma  e.  RR
1211recni 9028 . . . . 5  |-  gamma  e.  CC
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  gamma  e.  CC )
14 mudivsum 21084 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
) )  e.  O
( 1 )
1514a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n ) )  e.  O ( 1 ) )
16 rpssre 10547 . . . . . 6  |-  RR+  C_  RR
17 o1const 12333 . . . . . 6  |-  ( (
RR+  C_  RR  /\  gamma  e.  CC )  ->  (
x  e.  RR+  |->  gamma )  e.  O ( 1 ) )
1816, 12, 17mp2an 654 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  gamma )  e.  O ( 1 )
1918a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  gamma )  e.  O ( 1 ) )
2010, 13, 15, 19o1mul2 12338 . . 3  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )
)  e.  O ( 1 ) )
21 fzfid 11232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) )  e. 
Fin )
22 elfznn 11005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) )  ->  m  e.  NN )
2322adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  m  e.  NN )
2423nnrecred 9970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  RR )
2521, 24fsumrecl 12448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  e.  RR )
262nnrpd 10572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) )  ->  n  e.  RR+ )
27 rpdivcl 10559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  RR+ )  ->  (
x  /  n )  e.  RR+ )
2826, 27sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  /  n )  e.  RR+ )
2928relogcld 20378 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  e.  RR )
3025, 29resubcld 9390 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  RR )
317, 30remulcld 9042 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  RR )
321, 31fsumrecl 12448 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  RR )
3332recnd 9040 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  CC )
3433adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  e.  CC )
35 mulcl 9000 . . . . . 6  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n )  e.  CC  /\  gamma  e.  CC )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma )  e.  CC )
369, 12, 35sylancl 644 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
gamma )  e.  CC )
3736adantl 453 . . . 4  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
gamma )  e.  CC )
38 nnrecre 9961 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  (
1  /  m )  e.  RR )
3938recnd 9040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
1  /  m )  e.  CC )
4023, 39syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  /\  m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) )  ->  ( 1  /  m )  e.  CC )
4121, 40fsumcl 12447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  e.  CC )
4229recnd 9040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( log `  ( x  /  n
) )  e.  CC )
4341, 42subcld 9336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) )  e.  CC )
448, 43mulcld 9034 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  e.  CC )
45 mulcl 9000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  e.  CC  /\  gamma  e.  CC )  ->  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )  e.  CC )
468, 12, 45sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma )  e.  CC )
471, 44, 46fsumsub 12491 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( ( mmu `  n )  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  -  ( ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
gamma ) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma ) ) )
4812a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  gamma  e.  CC )
4941, 42, 48subsub4d 9367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n
) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  (
x  /  n ) ) )  -  gamma )  =  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )
5049oveq2d 6029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) )  -  gamma )
)  =  ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) ) )
518, 43, 48subdid 9414 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) )  -  gamma )
)  =  ( ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  -  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )
) )
5250, 51eqtr3d 2414 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )  =  ( ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  -  ( ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
gamma ) ) )
5352sumeq2dv 12417 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  -  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )
) )
5412a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  gamma  e.  CC )
551, 54, 8fsummulc1 12488 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( mmu `  n )  /  n )  x. 
gamma )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma ) )
5655oveq2d 6029 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )
)  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( log `  ( x  /  n
) ) ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )
) )
5747, 53, 563eqtr4d 2422 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) )  =  (
sum_ n  e.  (
1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma ) ) )
5857mpteq2ia 4225 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma ) ) )
5916a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  RR+  C_  RR )
6042, 48addcld 9033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( log `  ( x  /  n ) )  + 
gamma )  e.  CC )
6141, 60subcld 9336 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
)  e.  CC )
628, 61mulcld 9034 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )  e.  CC )
631, 62fsumcl 12447 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) )  e.  CC )
6463adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) )  e.  CC )
65 1re 9016 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
6665a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  1  e.  RR )
6763abscld 12158 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  e.  RR )
6862abscld 12158 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  e.  RR )
691, 68fsumrecl 12448 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  e.  RR )
7065a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  1  e.  RR )
711, 62fsumabs 12500 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) ) ) )
72 rprege0 10551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
73 flge0nn0 11145 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( |_ `  x
)  e.  NN0 )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  e. 
NN0 )
7574nn0red 10200 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  e.  RR )
76 rerpdivcl 10564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( ( |_ `  x )  /  x
)  e.  RR )
7775, 76mpancom 651 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  x )  /  x )  e.  RR )
78 rpreccl 10560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
7978adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR+ )
8079rpred 10573 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  x )  e.  RR )
818abscld 12158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  e.  RR )
823nnrecred 9970 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  RR )
8361abscld 12158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )  e.  RR )
84 id 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR+ )
85 rpdivcl 10559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  RR+  /\  x  e.  RR+ )  ->  (
n  /  x )  e.  RR+ )
8626, 84, 85syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  /  x )  e.  RR+ )
8786rpred 10573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  /  x )  e.  RR )
888absge0d 12166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( ( mmu `  n )  /  n ) ) )
8961absge0d 12166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  0  <_  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )
906recnd 9040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( mmu `  n )  e.  CC )
913nncnd 9941 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  CC )
923nnne0d 9969 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  =/=  0 )
9390, 91, 92absdivd 12177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  ( ( abs `  (
mmu `  n )
)  /  ( abs `  n ) ) )
943nnrpd 10572 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  n  e.  RR+ )
95 rprege0 10551 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  e.  RR  /\  0  <_  n ) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  e.  RR  /\  0  <_  n ) )
97 absid 12021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  RR  /\  0  <_  n )  -> 
( abs `  n
)  =  n )
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  n )  =  n )
9998oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( mmu `  n ) )  / 
( abs `  n
) )  =  ( ( abs `  (
mmu `  n )
)  /  n ) )
10093, 99eqtrd 2412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  =  ( ( abs `  (
mmu `  n )
)  /  n ) )
10190abscld 12158 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( mmu `  n
) )  e.  RR )
10265a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  RR )
103 mule1 20791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( abs `  ( mmu `  n ) )  <_ 
1 )
1043, 103syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( mmu `  n
) )  <_  1
)
105101, 102, 94, 104lediv1dd 10627 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( mmu `  n ) )  /  n )  <_  (
1  /  n ) )
106100, 105eqbrtrd 4166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  <_  (
1  /  n ) )
107 harmonicbnd4 20709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  /  n )  e.  RR+  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )  <_  ( 1  / 
( x  /  n
) ) )
10828, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )  <_  ( 1  / 
( x  /  n
) ) )
109 rpcnne0 10554 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
110109adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
111 rpcnne0 10554 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  RR+  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
11294, 111syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )
113 recdiv 9645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 ) )  -> 
( 1  /  (
x  /  n ) )  =  ( n  /  x ) )
114110, 112, 113syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  ( x  /  n ) )  =  ( n  /  x
) )
115108, 114breqtrd 4170 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) )  <_  ( n  /  x ) )
11681, 82, 83, 87, 88, 89, 106, 115lemul12ad 9878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( ( abs `  ( ( mmu `  n )  /  n
) )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) ) )  <_  ( (
1  /  n )  x.  ( n  /  x ) ) )
1178, 61absmuld 12176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  =  ( ( abs `  (
( mmu `  n
)  /  n ) )  x.  ( abs `  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_
`  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) ) ) )
118 ax-1cn 8974 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  1  e.  CC )
120 dmdcan 9649 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  CC  /\  n  =/=  0 )  /\  ( x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  1  e.  CC )  ->  (
( n  /  x
)  x.  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  /  x ) )
121112, 110, 119, 120syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  /  x )  x.  ( 1  /  n ) )  =  ( 1  /  x
) )
12286rpcnd 10575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( n  /  x )  e.  CC )
12382recnd 9040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  n )  e.  CC )
124122, 123mulcomd 9035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( (
n  /  x )  x.  ( 1  /  n ) )  =  ( ( 1  /  n )  x.  (
n  /  x ) ) )
125121, 124eqtr3d 2414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( 1  /  x )  =  ( ( 1  /  n )  x.  (
n  /  x ) ) )
126116, 117, 1253brtr4d 4176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR+  /\  n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  ->  ( abs `  ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  <_ 
( 1  /  x
) )
1271, 68, 80, 126fsumle 12498 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  <_  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x ) )
128 hashfz1 11550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( |_ `  x )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
12974, 128syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  =  ( |_
`  x ) )
130129oveq1d 6028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  ( 1  /  x
) )  =  ( ( |_ `  x
)  x.  ( 1  /  x ) ) )
13178rpcnd 10575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( 1  /  x )  e.  CC )
132 fsumconst 12493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1 ... ( |_ `  x ) )  e.  Fin  /\  (
1  /  x )  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x )  =  ( ( # `  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) )  x.  ( 1  /  x ) ) )
1331, 131, 132syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x
)  =  ( (
# `  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) )  x.  ( 1  /  x
) ) )
13474nn0cnd 10201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  e.  CC )
135 rpcn 10545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  CC )
136 rpne0 10552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  =/=  0 )
137134, 135, 136divrecd 9718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  x )  /  x )  =  ( ( |_ `  x )  x.  (
1  /  x ) ) )
138130, 133, 1373eqtr4d 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( 1  /  x
)  =  ( ( |_ `  x )  /  x ) )
139127, 138breqtrd 4170 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  <_ 
( ( |_ `  x )  /  x
) )
140 rpre 10543 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
141 flle 11128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  <_  x )
142140, 141syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  <_  x )
143135mulid1d 9031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  x.  1 )  =  x )
144142, 143breqtrrd 4172 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  <_ 
( x  x.  1 ) )
145 reflcl 11125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  RR )
146140, 145syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( |_
`  x )  e.  RR )
147 rpregt0 10550 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( x  e.  RR  /\  0  <  x ) )
148 ledivmul 9808 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( |_ `  x
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
x  e.  RR  /\  0  <  x ) )  ->  ( ( ( |_ `  x )  /  x )  <_ 
1  <->  ( |_ `  x )  <_  (
x  x.  1 ) ) )
149146, 70, 147, 148syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( ( |_ `  x
)  /  x )  <_  1  <->  ( |_ `  x )  <_  (
x  x.  1 ) ) )
150144, 149mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( ( |_ `  x )  /  x )  <_ 
1 )
15169, 77, 70, 139, 150letrd 9152 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR+  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( abs `  (
( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  <_ 
1 )
15267, 69, 70, 71, 151letrd 9152 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  <_ 
1 )
153152ad2antrl 709 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  ( x  e.  RR+  /\  1  <_  x ) )  -> 
( abs `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x
) ) ( ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  ( x  /  n ) ) ) ( 1  /  m
)  -  ( ( log `  ( x  /  n ) )  +  gamma ) ) ) )  <_  1 )
15459, 64, 66, 66, 153elo1d 12250 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( ( log `  (
x  /  n ) )  +  gamma )
) ) )  e.  O ( 1 ) )
15558, 154syl5eqelr 2465 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) )  -  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( mmu `  n
)  /  n )  x.  gamma ) ) )  e.  O ( 1 ) )
15634, 37, 155o1dif 12343 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  O ( 1 )  <-> 
( x  e.  RR+  |->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_
`  x ) ) ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  gamma )
)  e.  O ( 1 ) ) )
15720, 156mpbird 224 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  sum_
n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  O ( 1 ) )
158157trud 1329 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( |_ `  x ) ) ( ( ( mmu `  n )  /  n
)  x.  ( sum_ m  e.  ( 1 ... ( |_ `  (
x  /  n ) ) ) ( 1  /  m )  -  ( log `  ( x  /  n ) ) ) ) )  e.  O ( 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543    C_ wss 3256   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Fincfn 7038   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919    x. cmul 8921    < clt 9046    <_ cle 9047    - cmin 9216    / cdiv 9602   NNcn 9925   NN0cn0 10146   ZZcz 10207   RR+crp 10537   ...cfz 10968   |_cfl 11121   #chash 11538   abscabs 11959   O ( 1 )co1 12200   sum_csu 12399   logclog 20312   gammacem 20690   mmucmu 20737
This theorem is referenced by:  mulogsum  21086
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994  ax-addf 8995  ax-mulf 8996
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-disj 4117  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-fi 7344  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-cda 7974  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-xneg 10635  df-xadd 10636  df-xmul 10637  df-ioo 10845  df-ioc 10846  df-ico 10847  df-icc 10848  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-fl 11122  df-mod 11171  df-seq 11244  df-exp 11303  df-fac 11487  df-bc 11514  df-hash 11539  df-shft 11802  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-limsup 12185  df-clim 12202  df-rlim 12203  df-o1 12204  df-lo1 12205  df-sum 12400  df-ef 12590  df-e 12591  df-sin 12592  df-cos 12593  df-pi 12595  df-dvds 12773  df-gcd 12927  df-prm 13000  df-pc 13131  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-starv 13464  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-unif 13472  df-hom 13473  df-cco 13474  df-rest 13570  df-topn 13571  df-topgen 13587  df-pt 13588  df-prds 13591  df-xrs 13646  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-qtop 13653  df-imas 13654  df-xps 13656  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-acs 13734  df-mnd 14610  df-submnd 14659  df-mulg 14735  df-cntz 15036  df-cmn 15334  df-xmet 16612  df-met 16613  df-bl 16614  df-mopn 16615  df-fbas 16616  df-fg 16617  df-cnfld 16620  df-top 16879  df-bases 16881  df-topon 16882  df-topsp 16883  df-cld 16999  df-ntr 17000  df-cls 17001  df-nei 17078  df-lp 17116  df-perf 17117  df-cn 17206  df-cnp 17207  df-haus 17294  df-tx 17508  df-hmeo 17701  df-fil 17792  df-fm 17884  df-flim 17885  df-flf 17886  df-xms 18252  df-ms 18253  df-tms 18254  df-cncf 18772  df-limc 19613  df-dv 19614  df-log 20314  df-em 20691  df-mu 20743
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