Theorem mulpipq 5067

Description: Multiplication of positive fractions in terms of positive integers.

Assertion

Ref	Expression
mulpipq	|- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.A, B>.] ~Q .Q [<.C, D>.] ~Q ) = [<.(A .N C), (B .N D)>.] ~Q )

Proof of Theorem mulpipq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 2788	. 2 |- <.(A .N C), (B .N D)>. e. V
2		opex 2788	. 2 |- <.(a .N g), (b .N h)>. e. V
3		opex 2788	. 2 |- <.(c .N t), (d .N s)>. e. V
4		enqex 5060	. 2 |- ~Q e. V
5		enqer 5058	. 2 |- Er ~Q
6		dmenq 5057	. 2 |- dom ~Q = (N. X. N.)
7		df-enq 5049	. 2 |- ~Q = {<.x, y>. | ((x e. (N. X. N.) /\ y e. (N. X. N.)) /\ E.zE.wE.vE.u((x = <.z, w>. /\ y = <.v, u>.) /\ (z .N u) = (w .N v)))}
8		opreq12 3976	. . . 4 |- ((z = a /\ u = d) -> (z .N u) = (a .N d))
9		opreq12 3976	. . . 4 |- ((w = b /\ v = c) -> (w .N v) = (b .N c))
10	8, 9	eqeqan12d 1493	. . 3 |- (((z = a /\ u = d) /\ (w = b /\ v = c)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (a .N d) = (b .N c)))
11	10	an42s 511	. 2 |- (((z = a /\ w = b) /\ (v = c /\ u = d)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (a .N d) = (b .N c)))
12		opreq12 3976	. . . 4 |- ((z = g /\ u = s) -> (z .N u) = (g .N s))
13		opreq12 3976	. . . 4 |- ((w = h /\ v = t) -> (w .N v) = (h .N t))
14	12, 13	eqeqan12d 1493	. . 3 |- (((z = g /\ u = s) /\ (w = h /\ v = t)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (g .N s) = (h .N t)))
15	14	an42s 511	. 2 |- (((z = g /\ w = h) /\ (v = t /\ u = s)) -> ((z .N u) = (w .N v) <-> (g .N s) = (h .N t)))
16		df-mpq 5048	. 2 |- .pQ = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (N. X. N.) /\ y e. (N. X. N.)) /\ E.wE.vE.uE.f((x = <.w, v>. /\ y = <.u, f>.) /\ z = <.(w .N u), (v .N f)>.))}
17		opeq12 2493	. . . 4 |- (((w .N u) = (a .N g) /\ (v .N f) = (b .N h)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(a .N g), (b .N h)>.)
18		opreq12 3976	. . . 4 |- ((w = a /\ u = g) -> (w .N u) = (a .N g))
19		opreq12 3976	. . . 4 |- ((v = b /\ f = h) -> (v .N f) = (b .N h))
20	17, 18, 19	syl2an 456	. . 3 |- (((w = a /\ u = g) /\ (v = b /\ f = h)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(a .N g), (b .N h)>.)
21	20	an4s 510	. 2 |- (((w = a /\ v = b) /\ (u = g /\ f = h)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(a .N g), (b .N h)>.)
22		opeq12 2493	. . . 4 |- (((w .N u) = (c .N t) /\ (v .N f) = (d .N s)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(c .N t), (d .N s)>.)
23		opreq12 3976	. . . 4 |- ((w = c /\ u = t) -> (w .N u) = (c .N t))
24		opreq12 3976	. . . 4 |- ((v = d /\ f = s) -> (v .N f) = (d .N s))
25	22, 23, 24	syl2an 456	. . 3 |- (((w = c /\ u = t) /\ (v = d /\ f = s)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(c .N t), (d .N s)>.)
26	25	an4s 510	. 2 |- (((w = c /\ v = d) /\ (u = t /\ f = s)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(c .N t), (d .N s)>.)
27		opeq12 2493	. . . 4 |- (((w .N u) = (A .N C) /\ (v .N f) = (B .N D)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(A .N C), (B .N D)>.)
28		opreq12 3976	. . . 4 |- ((w = A /\ u = C) -> (w .N u) = (A .N C))
29		opreq12 3976	. . . 4 |- ((v = B /\ f = D) -> (v .N f) = (B .N D))
30	27, 28, 29	syl2an 456	. . 3 |- (((w = A /\ u = C) /\ (v = B /\ f = D)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(A .N C), (B .N D)>.)
31	30	an4s 510	. 2 |- (((w = A /\ v = B) /\ (u = C /\ f = D)) -> <.(w .N u), (v .N f)>. = <.(A .N C), (B .N D)>.)
32		df-mq 5052	. 2 |- .Q = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. Q. /\ y e. Q.) /\ E.aE.bE.cE.d((x = [<.a, b>.] ~Q /\ y = [<.c, d>.] ~Q ) /\ z = [(<.a, b>. .pQ <.c, d>.)] ~Q ))}
33		df-nq 5050	. 2 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
34		visset 1816	. . 3 |- a e. V
35		visset 1816	. . 3 |- b e. V
36		visset 1816	. . 3 |- c e. V
37		visset 1816	. . 3 |- d e. V
38		visset 1816	. . 3 |- g e. V
39		visset 1816	. . 3 |- h e. V
40		visset 1816	. . 3 |- t e. V
41		visset 1816	. . 3 |- s e. V
42	34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41	mulcmpblnq 5065	. 2 |- ((((a e. N. /\ b e. N.) /\ (c e. N. /\ d e. N.)) /\ ((g e. N. /\ h e. N.) /\ (t e. N. /\ s e. N.))) -> (((a .N d) = (b .N c) /\ (g .N s) = (h .N t)) -> <.(a .N g), (b .N h)>. ~Q <.(c .N t), (d .N s)>.))
43	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 15, 16, 21, 26, 31, 32, 33, 42	oprec 4324	1 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.A, B>.] ~Q .Q [<.C, D>.] ~Q ) = [<.(A .N C), (B .N D)>.] ~Q )

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960  <.cop 2415  (class class class)co 3969  [cec 4265  N.cnpi 4984   .N cmi 4986   .pQ cmpq 4989   ~Q ceq 4990  Q.cnq 4991   .Q cmq 4994

This theorem is referenced by:  mulclpq 5072  mulcompq 5076  mulasspq 5077  distrpq 5079  mulidpq 5081  recmulpq 5082  ltmpq 5089  prlem934b 5150

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-mi 5014  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-mq 5052

Copyright terms: Public domain