MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulre Unicode version

Theorem mulre 11909
Description: A product with a nonzero real multiplier is real iff the multiplicand is real. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
mulre  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  e.  RR  <->  ( B  x.  A )  e.  RR ) )

Proof of Theorem mulre
StepHypRef Expression
1 rereb 11908 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Re `  A )  =  A ) )
213ad2ant1 978 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  e.  RR  <->  ( Re `  A )  =  A ) )
3 recl 11898 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
43recnd 9098 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
543ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
6 simp1 957 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  A  e.  CC )
7 recn 9064 . . . . 5  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
87anim1i 552 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  -> 
( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )
983adant1 975 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )
10 mulcan 9643 . . 3  |-  ( ( ( Re `  A
)  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( ( B  x.  ( Re `  A ) )  =  ( B  x.  A )  <->  ( Re `  A )  =  A ) )
115, 6, 9, 10syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( B  x.  (
Re `  A )
)  =  ( B  x.  A )  <->  ( Re `  A )  =  A ) )
127adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
134adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  e.  CC )
14 ax-icn 9033 . . . . . . . . . . . 12  |-  _i  e.  CC
15 imcl 11899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
1615recnd 9098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
17 mulcl 9058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
1814, 16, 17sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
1918adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
2012, 13, 19adddid 9096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( B  x.  ( Re
`  A ) )  +  ( B  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
21 replim 11904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2221adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  A  =  ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
2322oveq2d 6083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  A
)  =  ( B  x.  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
24 mul12 9216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  (
Im `  A )  e.  CC )  ->  (
_i  x.  ( B  x.  ( Im `  A
) ) )  =  ( B  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
2514, 24mp3an1 1266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( B  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
267, 16, 25syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( B  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2726oveq2d 6083 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  +  ( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  +  ( B  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
2820, 23, 273eqtr4d 2472 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  A
)  =  ( ( B  x.  ( Re
`  A ) )  +  ( _i  x.  ( B  x.  (
Im `  A )
) ) ) )
2928fveq2d 5718 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( Re `  ( B  x.  A )
)  =  ( Re
`  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  +  ( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) ) ) ) )
30 remulcl 9059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( Re `  A )  e.  RR )  -> 
( B  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR )
313, 30sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR )
32 remulcl 9059 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( Im `  A )  e.  RR )  -> 
( B  x.  (
Im `  A )
)  e.  RR )
3315, 32sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  (
Im `  A )
)  e.  RR )
34 crre 11902 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  x.  (
Re `  A )
)  e.  RR  /\  ( B  x.  (
Im `  A )
)  e.  RR )  ->  ( Re `  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  +  ( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( B  x.  ( Re `  A ) ) )
3531, 33, 34syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( Re `  (
( B  x.  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( B  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )  =  ( B  x.  ( Re `  A ) ) )
3629, 35eqtr2d 2463 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  (
Re `  A )
)  =  ( Re
`  ( B  x.  A ) ) )
3736eqeq1d 2438 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  =  ( B  x.  A )  <->  ( Re `  ( B  x.  A
) )  =  ( B  x.  A ) ) )
38 mulcl 9058 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  A
)  e.  CC )
397, 38sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  x.  A
)  e.  CC )
40 rereb 11908 . . . . . 6  |-  ( ( B  x.  A )  e.  CC  ->  (
( B  x.  A
)  e.  RR  <->  ( Re `  ( B  x.  A
) )  =  ( B  x.  A ) ) )
4139, 40syl 16 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( B  x.  A )  e.  RR  <->  ( Re `  ( B  x.  A ) )  =  ( B  x.  A ) ) )
4237, 41bitr4d 248 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  =  ( B  x.  A )  <->  ( B  x.  A )  e.  RR ) )
4342ancoms 440 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  x.  ( Re `  A ) )  =  ( B  x.  A )  <->  ( B  x.  A )  e.  RR ) )
44433adant3 977 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  (
( B  x.  (
Re `  A )
)  =  ( B  x.  A )  <->  ( B  x.  A )  e.  RR ) )
452, 11, 443bitr2d 273 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  RR  /\  B  =/=  0 )  ->  ( A  e.  RR  <->  ( B  x.  A )  e.  RR ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2593   ` cfv 5440  (class class class)co 6067   CCcc 8972   RRcr 8973   0cc0 8974   _ici 8976    + caddc 8977    x. cmul 8979   Recre 11885   Imcim 11886
This theorem is referenced by:  sineq0  20412
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-op 3810  df-uni 4003  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-riota 6535  df-er 6891  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-div 9662  df-2 10042  df-cj 11887  df-re 11888  df-im 11889
  Copyright terms: Public domain W3C validator