Theorem mulresr 5411

Description: Multiplication of real numbers in terms of intermediate signed reals.

Hypothesis

Ref	Expression
mulresr.1	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
mulresr	|- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (<.A, 0R>. x. <.B, 0R>.) = <.(A .R B), 0R>.)

Proof of Theorem mulresr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0r 5343	. . 3 |- 0R e. R.
2		mulcnsr 5408	. . . 4 |- (((A e. R. /\ 0R e. R.) /\ (B e. R. /\ 0R e. R.)) -> (<.A, 0R>. x. <.B, 0R>.) = <.((A .R B) +R (-1R .R (0R .R 0R))), ((0R .R B) +R (A .R 0R))>.)
3	2	an4s 511	. . 3 |- (((A e. R. /\ B e. R.) /\ (0R e. R. /\ 0R e. R.)) -> (<.A, 0R>. x. <.B, 0R>.) = <.((A .R B) +R (-1R .R (0R .R 0R))), ((0R .R B) +R (A .R 0R))>.)
4	1, 1, 3	mpanr12 715	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (<.A, 0R>. x. <.B, 0R>.) = <.((A .R B) +R (-1R .R (0R .R 0R))), ((0R .R B) +R (A .R 0R))>.)
5		mulclsr 5347	. . . . 5 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (A .R B) e. R.)
6		0idsr 5360	. . . . 5 |- ((A .R B) e. R. -> ((A .R B) +R 0R) = (A .R B))
7	5, 6	syl 10	. . . 4 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> ((A .R B) +R 0R) = (A .R B))
8		00sr 5362	. . . . . . . 8 |- (0R e. R. -> (0R .R 0R) = 0R)
9	1, 8	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (0R .R 0R) = 0R
10	9	opreq2i 4030	. . . . . 6 |- (-1R .R (0R .R 0R)) = (-1R .R 0R)
11		m1r 5345	. . . . . . 7 |- -1R e. R.
12		00sr 5362	. . . . . . 7 |- (-1R e. R. -> (-1R .R 0R) = 0R)
13	11, 12	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (-1R .R 0R) = 0R
14	10, 13	eqtri 1538	. . . . 5 |- (-1R .R (0R .R 0R)) = 0R
15	14	opreq2i 4030	. . . 4 |- ((A .R B) +R (-1R .R (0R .R 0R))) = ((A .R B) +R 0R)
16	7, 15	syl5eq 1562	. . 3 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> ((A .R B) +R (-1R .R (0R .R 0R))) = (A .R B))
17		00sr 5362	. . . . . 6 |- (B e. R. -> (B .R 0R) = 0R)
18	1	elisseti 1864	. . . . . . 7 |- 0R e. V
19		mulresr.1	. . . . . . 7 |- B e. V
20	18, 19	mulcomsr 5352	. . . . . 6 |- (0R .R B) = (B .R 0R)
21	17, 20	syl5eq 1562	. . . . 5 |- (B e. R. -> (0R .R B) = 0R)
22		00sr 5362	. . . . 5 |- (A e. R. -> (A .R 0R) = 0R)
23	21, 22	opreqan12rd 4038	. . . 4 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> ((0R .R B) +R (A .R 0R)) = (0R +R 0R))
24		0idsr 5360	. . . . 5 |- (0R e. R. -> (0R +R 0R) = 0R)
25	1, 24	ax-mp 7	. . . 4 |- (0R +R 0R) = 0R
26	23, 25	syl6eq 1566	. . 3 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> ((0R .R B) +R (A .R 0R)) = 0R)
27	16, 26	opeq12d 2560	. 2 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> <.((A .R B) +R (-1R .R (0R .R 0R))), ((0R .R B) +R (A .R 0R))>. = <.(A .R B), 0R>.)
28	4, 27	eqtrd 1550	1 |- ((A e. R. /\ B e. R.) -> (<.A, 0R>. x. <.B, 0R>.) = <.(A .R B), 0R>.)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 221   = wceq 992   e. wcel 994  Vcvv 1857  <.cop 2469  (class class class)co 4021  R.cnr 5147  0Rc0r 5148  -1Rcm1r 5150   +R cplr 5151   .R cmr 5152   x. cmul 5393

This theorem is referenced by:  axmulrcl 5428  axrrecex 5438  pre-axmulgt0 5444

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 998  ax-gen 999  ax-8 1000  ax-9 1001  ax-10 1002  ax-11 1003  ax-12 1004  ax-13 1005  ax-14 1006  ax-17 1007  ax-4 1009  ax-5o 1011  ax-6o 1014  ax-9o 1159  ax-10o 1177  ax-16 1247  ax-11o 1255  ax-ext 1500  ax-rep 2767  ax-sep 2777  ax-nul 2784  ax-pow 2818  ax-pr 2855  ax-un 3089  ax-inf2 4770

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 782  df-3an 783  df-ex 1017  df-sb 1209  df-eu 1421  df-mo 1422  df-clab 1506  df-cleq 1511  df-clel 1514  df-ne 1630  df-ral 1695  df-rex 1696  df-reu 1697  df-rab 1698  df-v 1858  df-sbc 1987  df-csb 2052  df-dif 2101  df-un 2102  df-in 2103  df-ss 2105  df-pss 2107  df-nul 2333  df-if 2416  df-pw 2459  df-sn 2470  df-pr 2471  df-tp 2473  df-op 2474  df-uni 2570  df-int 2601  df-iun 2635  df-br 2693  df-opab 2741  df-tr 2755  df-eprel 2910  df-id 2913  df-po 2918  df-so 2929  df-fr 2947  df-we 2962  df-ord 2978  df-on 2979  df-lim 2980  df-suc 2981  df-om 3219  df-xp 3265  df-rel 3266  df-cnv 3267  df-co 3268  df-dm 3269  df-rn 3270  df-res 3271  df-ima 3272  df-fun 3273  df-fn 3274  df-f 3275  df-fv 3279  df-opr 4023  df-oprab 4024  df-1st 4140  df-2nd 4141  df-rdg 4233  df-1o 4269  df-oadd 4271  df-omul 4272  df-er 4401  df-ec 4403  df-qs 4406  df-ni 5154  df-pli 5155  df-mi 5156  df-lti 5157  df-plpq 5189  df-mpq 5190  df-enq 5191  df-nq 5192  df-plq 5193  df-mq 5194  df-rq 5195  df-ltq 5196  df-1q 5197  df-np 5240  df-1p 5241  df-plp 5242  df-mp 5243  df-ltp 5244  df-plpr 5318  df-mpr 5319  df-enr 5320  df-nr 5321  df-plr 5322  df-mr 5323  df-0r 5325  df-m1r 5327  df-c 5394  df-mul 5400

Copyright terms: Public domain