MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvrf1 Unicode version

Theorem mvrf1 16416
Description: The power series variable function is injective if the base ring is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mvrf.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
mvrf.v  |-  V  =  ( I mVar  R )
mvrf.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
mvrf.i  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
mvrf.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
mvrf1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
mvrf1.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
mvrf1.n  |-  ( ph  ->  .1.  =/=  .0.  )
Assertion
Ref Expression
mvrf1  |-  ( ph  ->  V : I -1-1-> B
)

Proof of Theorem mvrf1
Dummy variables  h  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mvrf.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 mvrf.v . . 3  |-  V  =  ( I mVar  R )
3 mvrf.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
4 mvrf.i . . 3  |-  ( ph  ->  I  e.  W )
5 mvrf.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
61, 2, 3, 4, 5mvrf 16415 . 2  |-  ( ph  ->  V : I --> B )
7 mvrf1.n . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .1.  =/=  .0.  )
87adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) ) )  ->  .1.  =/=  .0.  )
9 simp2r 984 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  ( V `  x )  =  ( V `  y ) )
109fveq1d 5670 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  (
( V `  x
) `  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) )  =  ( ( V `  y
) `  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) ) )
11 eqid 2387 . . . . . . . . . 10  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
12 mvrf1.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
13 mvrf1.o . . . . . . . . . 10  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
1443ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  I  e.  W )
1553ad2ant1 978 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  R  e.  Ring )
16 simp2ll 1024 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  x  e.  I )
172, 11, 12, 13, 14, 15, 16mvrid 16414 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  (
( V `  x
) `  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) )  =  .1.  )
18 simp2lr 1025 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  y  e.  I )
1911mvridlem 16410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  W  ->  (
z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  e.  {
h  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } )
2014, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  (
z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  e.  {
h  e.  ( NN0 
^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin } )
212, 11, 12, 13, 14, 15, 18, 20mvrval2 16413 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  (
( V `  y
) `  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) ) )  =  if ( ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
2210, 17, 213eqtr3d 2427 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  .1.  =  if ( ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  ) )
23 simp3 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  -.  x  =  y )
24 mpteqb 5758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. z  e.  I  if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  e.  NN0  ->  ( ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) )  <->  A. z  e.  I  if (
z  =  x ,  1 ,  0 )  =  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) ) )
25 1nn0 10169 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  NN0
26 0nn0 10168 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  NN0
2725, 26keepel 3739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  e.  NN0
2827a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  I  ->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  e.  NN0 )
2924, 28mprg 2718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) )  <->  A. z  e.  I  if (
z  =  x ,  1 ,  0 )  =  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) )
30 iftrue 3688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  =  1 )
31 eqeq1 2393 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  x  ->  (
z  =  y  <->  x  =  y ) )
3231ifbid 3700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  x  ->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 )  =  if ( x  =  y ,  1 ,  0 ) )
3330, 32eqeq12d 2401 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  x  ->  ( if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  =  if ( z  =  y ,  1 ,  0 )  <->  1  =  if ( x  =  y ,  1 ,  0 ) ) )
3433rspcv 2991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  I  ->  ( A. z  e.  I  if ( z  =  x ,  1 ,  0 )  =  if ( z  =  y ,  1 ,  0 )  ->  1  =  if ( x  =  y ,  1 ,  0 ) ) )
3529, 34syl5bi 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  I  ->  (
( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) )  -> 
1  =  if ( x  =  y ,  1 ,  0 ) ) )
3616, 35syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  (
( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) )  -> 
1  =  if ( x  =  y ,  1 ,  0 ) ) )
37 ax-1ne0 8992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  =/=  0
38 eqeq1 2393 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1  =  if ( x  =  y ,  1 ,  0 )  -> 
( 1  =  0  <-> 
if ( x  =  y ,  1 ,  0 )  =  0 ) )
3938necon3abid 2583 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  =  if ( x  =  y ,  1 ,  0 )  -> 
( 1  =/=  0  <->  -.  if ( x  =  y ,  1 ,  0 )  =  0 ) )
4037, 39mpbii 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  =  if ( x  =  y ,  1 ,  0 )  ->  -.  if ( x  =  y ,  1 ,  0 )  =  0 )
41 iffalse 3689 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -.  x  =  y  ->  if ( x  =  y ,  1 ,  0 )  =  0 )
4240, 41nsyl2 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  =  if ( x  =  y ,  1 ,  0 )  ->  x  =  y )
4336, 42syl6 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  (
( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) )  ->  x  =  y )
)
4423, 43mtod 170 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  -.  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) ) )
45 iffalse 3689 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) )  ->  if ( ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
4644, 45syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  if ( ( z  e.  I  |->  if ( z  =  x ,  1 ,  0 ) )  =  ( z  e.  I  |->  if ( z  =  y ,  1 ,  0 ) ) ,  .1.  ,  .0.  )  =  .0.  )
4722, 46eqtrd 2419 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) )  /\  -.  x  =  y )  ->  .1.  =  .0.  )
48473expia 1155 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) ) )  ->  ( -.  x  =  y  ->  .1.  =  .0.  ) )
4948necon1ad 2617 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) ) )  ->  (  .1.  =/=  .0.  ->  x  =  y ) )
508, 49mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
x  e.  I  /\  y  e.  I )  /\  ( V `  x
)  =  ( V `
 y ) ) )  ->  x  =  y )
5150expr 599 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  I  /\  y  e.  I ) )  -> 
( ( V `  x )  =  ( V `  y )  ->  x  =  y ) )
5251ralrimivva 2741 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  I  A. y  e.  I 
( ( V `  x )  =  ( V `  y )  ->  x  =  y ) )
53 dff13 5943 . 2  |-  ( V : I -1-1-> B  <->  ( V : I --> B  /\  A. x  e.  I  A. y  e.  I  (
( V `  x
)  =  ( V `
 y )  ->  x  =  y )
) )
546, 52, 53sylanbrc 646 1  |-  ( ph  ->  V : I -1-1-> B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   {crab 2653   ifcif 3682    e. cmpt 4207   `'ccnv 4817   "cima 4821   -->wf 5390   -1-1->wf1 5391   ` cfv 5394  (class class class)co 6020    ^m cmap 6954   Fincfn 7045   0cc0 8923   1c1 8924   NNcn 9932   NN0cn0 10153   Basecbs 13396   0gc0g 13650   Ringcrg 15587   1rcur 15589   mPwSer cmps 16333   mVar cmvr 16334
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-of 6244  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-oadd 6664  df-er 6841  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-4 9992  df-5 9993  df-6 9994  df-7 9995  df-8 9996  df-9 9997  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-fz 10976  df-struct 13398  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-plusg 13469  df-mulr 13470  df-sca 13472  df-vsca 13473  df-tset 13475  df-0g 13654  df-mnd 14617  df-grp 14739  df-mgp 15576  df-rng 15590  df-ur 15592  df-psr 16344  df-mvr 16345
  Copyright terms: Public domain W3C validator