MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvridlem Unicode version

Theorem mvridlem 16166
Description: A bag containing one element is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mvridlem.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
Assertion
Ref Expression
mvridlem  |-  ( I  e.  V  ->  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )  e.  D
)
Distinct variable groups:    y, h, I    y, V    h, X, y
Allowed substitution hints:    D( y, h)    V( h)

Proof of Theorem mvridlem
StepHypRef Expression
1 1nn0 9983 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
2 0nn0 9982 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
31, 2keepel 3624 . . . 4  |-  if ( y  =  X , 
1 ,  0 )  e.  NN0
43a1i 10 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  I )  ->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 )  e.  NN0 )
5 eqid 2285 . . 3  |-  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) )  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) )
64, 5fmptd 5686 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) : I --> NN0 )
7 nn0supp 10019 . . . 4  |-  ( ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) : I --> NN0  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) "
( _V  \  {
0 } ) )  =  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) " NN ) )
86, 7syl 15 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) " NN ) )
9 snfi 6943 . . . 4  |-  { X }  e.  Fin
10 eldifsni 3752 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( I  \  { X } )  -> 
y  =/=  X )
1110neneqd 2464 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( I  \  { X } )  ->  -.  y  =  X
)
12 iffalse 3574 . . . . . . 7  |-  ( -.  y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 )  =  0 )
1311, 12syl 15 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( I  \  { X } )  ->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 )  =  0 )
1413adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  if (
y  =  X , 
1 ,  0 )  =  0 )
1514suppss2 6075 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" ( _V  \  { 0 } ) )  C_  { X } )
16 ssfi 7085 . . . 4  |-  ( ( { X }  e.  Fin  /\  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) " ( _V  \  { 0 } ) )  C_  { X } )  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
179, 15, 16sylancr 644 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
188, 17eqeltrrd 2360 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin )
19 mvridlem.d . . 3  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
2019psrbag 16114 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  (
( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )  e.  D  <->  ( ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin ) ) )
216, 18, 20mpbir2and 888 1  |-  ( I  e.  V  ->  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )  e.  D
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   {crab 2549   _Vcvv 2790    \ cdif 3151    C_ wss 3154   ifcif 3567   {csn 3642    e. cmpt 4079   `'ccnv 4690   "cima 4694   -->wf 5253  (class class class)co 5860    ^m cmap 6774   Fincfn 6865   0cc0 8739   1c1 8740   NNcn 9748   NN0cn0 9967
This theorem is referenced by:  mvrid  16170  mvrf1  16172  mplcoe3  16212
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-er 6662  df-map 6776  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-nn 9749  df-n0 9968
  Copyright terms: Public domain W3C validator