MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mvridlem Structured version   Unicode version

Theorem mvridlem 16475
Description: A bag containing one element is a finite bag. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mvridlem.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
Assertion
Ref Expression
mvridlem  |-  ( I  e.  V  ->  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )  e.  D
)
Distinct variable groups:    y, h, I    y, V    h, X, y
Allowed substitution hints:    D( y, h)    V( h)

Proof of Theorem mvridlem
StepHypRef Expression
1 1nn0 10229 . . . . 5  |-  1  e.  NN0
2 0nn0 10228 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
31, 2keepel 3788 . . . 4  |-  if ( y  =  X , 
1 ,  0 )  e.  NN0
43a1i 11 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  I )  ->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 )  e.  NN0 )
5 eqid 2435 . . 3  |-  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) )  =  ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) )
64, 5fmptd 5885 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) : I --> NN0 )
7 nn0supp 10265 . . . 4  |-  ( ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) : I --> NN0  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) "
( _V  \  {
0 } ) )  =  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) " NN ) )
86, 7syl 16 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" ( _V  \  { 0 } ) )  =  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) " NN ) )
9 snfi 7179 . . . 4  |-  { X }  e.  Fin
10 eldifsni 3920 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( I  \  { X } )  -> 
y  =/=  X )
1110neneqd 2614 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( I  \  { X } )  ->  -.  y  =  X
)
12 iffalse 3738 . . . . . . 7  |-  ( -.  y  =  X  ->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 )  =  0 )
1311, 12syl 16 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( I  \  { X } )  ->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 )  =  0 )
1413adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  y  e.  ( I  \  { X } ) )  ->  if (
y  =  X , 
1 ,  0 )  =  0 )
1514suppss2 6292 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" ( _V  \  { 0 } ) )  C_  { X } )
16 ssfi 7321 . . . 4  |-  ( ( { X }  e.  Fin  /\  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) ) " ( _V  \  { 0 } ) )  C_  { X } )  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
179, 15, 16sylancr 645 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" ( _V  \  { 0 } ) )  e.  Fin )
188, 17eqeltrrd 2510 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin )
19 mvridlem.d . . 3  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
2019psrbag 16423 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  (
( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )  e.  D  <->  ( ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X , 
1 ,  0 ) ) : I --> NN0  /\  ( `' ( y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )
" NN )  e. 
Fin ) ) )
216, 18, 20mpbir2and 889 1  |-  ( I  e.  V  ->  (
y  e.  I  |->  if ( y  =  X ,  1 ,  0 ) )  e.  D
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {crab 2701   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312   ifcif 3731   {csn 3806    e. cmpt 4258   `'ccnv 4869   "cima 4873   -->wf 5442  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   Fincfn 7101   0cc0 8982   1c1 8983   NNcn 9992   NN0cn0 10213
This theorem is referenced by:  mvrid  16479  mvrf1  16481  mplcoe3  16521
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-er 6897  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214
  Copyright terms: Public domain W3C validator