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Theorem mzpcl1 26767
Description: Defining property 1 of a polynomially closed function set  P: it contains all constant functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
mzpcl1  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { F }
)  e.  P )

Proof of Theorem mzpcl1
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . 2  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  F  e.  ZZ )
2 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  P  e.  (mzPolyCld `  V )
)
3 elfvex 5750 . . . . . 6  |-  ( P  e.  (mzPolyCld `  V )  ->  V  e.  _V )
43adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  V  e. 
_V )
5 elmzpcl 26764 . . . . 5  |-  ( V  e.  _V  ->  ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  <->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V ) 
|->  ( g `  f
) )  e.  P
)  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( (
f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) ) ) ) )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  ( P  e.  (mzPolyCld `  V )  <->  ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V
) )  /\  (
( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) ) ) ) )
72, 6mpbid 202 . . 3  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  ( P 
C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V ) )  /\  ( ( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  ( g  e.  ( ZZ  ^m  V
)  |->  ( g `  f ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  (
( f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g
)  e.  P ) ) ) )
8 simprll 739 . . 3  |-  ( ( P  C_  ( ZZ  ^m  ( ZZ  ^m  V
) )  /\  (
( A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  P  /\  A. f  e.  V  (
g  e.  ( ZZ 
^m  V )  |->  ( g `  f ) )  e.  P )  /\  A. f  e.  P  A. g  e.  P  ( ( f  o F  +  g )  e.  P  /\  ( f  o F  x.  g )  e.  P ) ) )  ->  A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e.  P )
97, 8syl 16 . 2  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  A. f  e.  ZZ  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ f } )  e.  P )
10 sneq 3817 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  { f }  =  { F } )
1110xpeq2d 4894 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  =  ( ( ZZ  ^m  V
)  X.  { F } ) )
1211eleq1d 2501 . . 3  |-  ( f  =  F  ->  (
( ( ZZ  ^m  V )  X.  {
f } )  e.  P  <->  ( ( ZZ 
^m  V )  X. 
{ F } )  e.  P ) )
1312rspcva 3042 . 2  |-  ( ( F  e.  ZZ  /\  A. f  e.  ZZ  (
( ZZ  ^m  V
)  X.  { f } )  e.  P
)  ->  ( ( ZZ  ^m  V )  X. 
{ F } )  e.  P )
141, 9, 13syl2anc 643 1  |-  ( ( P  e.  (mzPolyCld `  V
)  /\  F  e.  ZZ )  ->  ( ( ZZ  ^m  V )  X.  { F }
)  e.  P )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   {csn 3806    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295    ^m cmap 7010    + caddc 8985    x. cmul 8987   ZZcz 10274  mzPolyCldcmzpcl 26759
This theorem is referenced by:  mzpincl  26772  mzpconst  26773
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fv 5454  df-ov 6076  df-mzpcl 26761
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